Induksi matematik

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Induksi matematik merupakan pembuktian deduktif, meskipun namanya induksi. Induksi matematik atau disebut juga induksi lengkap sering digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan berkenaan nombor tabii.

Pembuktian cara induksi matematik ingin membuktikan bahawa teori atau sifat itu benar untuk semua nombor asli atau semua nombor dalam himpunan bahagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahawa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahawa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu turut benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).

Contoh[sunting | sunting sumber]

Buktikan bahwa jumlah n nombor ganjil pertama adalah n2.

Pembuktian yang diperlukan:

S(n) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2n-1 = n^2

untuk n = 1, memang benar bahawa S(1) = n2 = (12) = 1.

Jadi andaikan pernyataan ini benar untuk n = k, iaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2k-1 = k^2 , maka perlu dibuktikan benar pula untuk n = k+1, iaitu
S(k+1) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2k-1 + 2(k+1) - 1 = (k + 1)^2

Sehingga:

1 + 3 + 5 +\cdots + 2k-1 + [2(k+1) - 1] = k^2 + 2(k+1) - 1
\; = k^2 + 2(k+1) - 1
\; = (k + 1)^2 (terbukti benar)

Jadi, S(n) benar untuk semua nombor asli.

Rujukan[sunting | sunting sumber]

Pengenalan
Sejarah