Induksi matematik

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Induksi matematik merupakan pembuktian deduktif, meskipun namanya induksi. Induksi matematik atau disebut juga induksi lengkap sering digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan berkenaan nombor tabii.

Pembuktian cara induksi matematik ingin membuktikan bahawa teori atau sifat itu benar untuk semua nombor asli atau semua nombor dalam himpunan bahagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahawa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahawa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu turut benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).

Contoh[sunting | sunting sumber]

Buktikan bahwa jumlah n nombor ganjil pertama adalah n2.

Pembuktian yang diperlukan:

S(n) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2n-1 = n^2

untuk n = 1, memang benar bahawa S(1) = n2 = (12) = 1.

Jadi andaikan pernyataan ini benar untuk n = k, iaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2k-1 = k^2 , maka perlu dibuktikan benar pula untuk n = k+1, iaitu
S(k+1) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2k-1 + 2(k+1) - 1 = (k + 1)^2

Sehingga:

1 + 3 + 5 +\cdots + 2k-1 + [2(k+1) - 1] = k^2 + 2(k+1) - 1
\; = k^2 + 2(k+1) - 1
\; = (k + 1)^2 (terbukti benar)

Jadi, S(n) benar untuk semua nombor asli.

Rujukan[sunting | sunting sumber]

Pengenalan
  • Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (edisi ke-3rd). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.  (Section 1.2.1: Mathematical Induction, pp. 11-21.)
  • Kolmogorov, Andrey N. (1975). Introductory Real Analysis. Silverman, R. A. (trans., ed.). New York: Dover. ISBN 0-486-61226-0.  Unknown parameter |couauthors= ignored (bantuan) (Section 1.3.8: Transfinite induction, pp. 28-29.)
  • Franklin, J. (1996). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Quakers Hill Press. ISBN 1-876192-00-3.  Unknown parameter |couauthors= ignored (bantuan) (Ch. 8.)
Sejarah
  • Acerbi, F. (2000). "Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?". Archive for History of Exact Sciences 55: 57–76. doi:10.1007/s004070000020. 
  • Bussey, W. H. (1917). "The Origin of Mathematical Induction". The American Mathematical Monthly 24 (5): 199–207. 
  • Cajori, Florian (1918). "Origin of the Name "Mathematical Induction"" 25 (5). ms. 197–201.  Unknown parameter |jounal= ignored (bantuan)
  • Ralat Lua pada baris 250 di Modul:Citation/CS1: Dipanggil dengan keadaan ralat tidak ditetapkan.
  • Freudenthal, Hans (1953). "Zur Geschichte der vollständigen Induction". Archives Internationales d'Histiore des Sciences 6: 17–37. 
  • Rabinovitch, Nachum L. (1970). "Rabi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction". Archive for the History of Exact Science 6: 237–248. doi:10.1007/BF00327237. 
  • Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Sciences 9: 1–12. doi:10.1007/BF00348537. 
  • Ungure, S. (1991). "Greek Mathematics and Mathematical Induction". Physis. XXVIII: 273–289. 
  • Ungure, S. (1994). "Fowling after Induction". Physis XXXI: 267–272. 
  • Vacca, G. (1909). "Maurolycus, the First Discoverer of the Principle of Mathematical Induction". Bulletin of the American Mathematical Society 16: 70–73. 
  • Yadegari, Mohammad (1978). "The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā' Ibn Aslam (850-930)". Isis 69 (2): 259–262. 
  • Kuntarti, Sri Kurnianingsih (2007). Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA. Sulistiyono. Jakarta: Esis. ISBN 978-979-015-297-7.  Unknown parameter |couauthors= ignored (bantuan)