Kaedah chakravala

Kaedah chakravala ialah suatu algoritma kitaran untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tak tentu, tarmasuk persamaan Pell. Kaedah ini telah dibangunkan di India dan akarnya dapat dikesan hingga ke abad ke-5, diringkas oleh Aryabhata, yang kemudiannya dilanjutkan oleh Brahmagupta, Jayadeva, dan Bhaskara. Kaedah ini digelar sebagai kaedah kitaran dan mengandungi kesan-kesan induksi matematik.

Masalah Brahmagupta, pada 628, menggunakan kaedah chakravala untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tak tentu, termasuk persamaan Pell

$\,61x^2 + 1 = y^2,$

untuk integer minimum x dan y.

Jayadeva (abad ke-9) dan Bhaskara (abad ke-12) memberikan jawapan lengkap untuk persamaan ini dengan menggunakan kaedah chakravala untuk mencari

$\,x = 226 153 980$ dan $\,y = 1 766 319 049.$

Masalah ini tidak dapat diselesaikan di Eropah sehingga zaman Lagrange pada 1767. Kaedah Lagrange bagaimanapun, memerlukan pengiraan 21 tumpu berturut-turut pecahan lanjar untuk punca kuasa dua 61, sementara kaedah chakravala adalah lebih mudah. Selenius, dengan taksirannya pada kaedah chakravala, menyatakan

"Kaedah ini mewakili algoritma penganggaran terbaik panjang minimal yang, disebabkan oleh beberapa ciri peminimuman, dengan usaha minimal dan menghindari bilangan besar secara automatik menghasilkan jawapan terbaik untuk persamaan. Kaedah chakravala mendahului kaedah Eropah selama lebih seribu tahun. Tetapi tiada pelaksanaan Eropah dalam seluruh bidang algebra daripada Bhaskara pada masa kemudiannya, tidak hampir sama dengan waktu kita, menunjukkan kerumitan dan kepintaran chakravala."Hermann Hankel memanggil kaedah chakravala

"benda yang terunggul dicapai dalam teori bilangan sebelum Lagrange."

Contoh

Anggapkan kita harus menyelesaikan $67x^2 + 1 = y^2$ bagi $x$ dan $y$. Langkah pertama adalah mencari mana-mana jawapan untuk $67x^2 + k = y^2$ dengan cara lain; dalam kes ini, kita menyamakan $x$ dengan 1, lalu menghasilkan $67\cdot 1^2 + (-3) = 8^2$.

Sekarang, kita menggunakan Lemma Bhaskara (bukti), yang mengatakan bahawa

jika $\, Nx^2 + k = y^2$, oleh itu

$\,N\left(\frac{mx + y}{k}\right)^2 + \frac{m^2 - N}{k} = \left(\frac{my + Nx}{k}\right)^2.$

Dengan lemma Bhaskara, kita sekarang ada

$67\left(\frac{1m + 8}{-3}\right)^2 + \frac{m^2 - 67}{-3} = \left(\frac{8m + 67\cdot 1}{-3}\right)^2.$

Sekarang, buat $(1m+8)/-3$ suatu integer, dengan membiarkan $m = 3t+1$, dan mengambil $t$ supaya nilai mutlak $m^2 - 67$ dikurangkan. Penilaiannya adalah $t = 2$, $m = 7$, $m^2 - 67 = -18$.

Menggantikan nilai pengiraan $m = 7$, persamaan sekarang dikurangkan kepada:

$67\left(\frac{7 + 8}{-3}\right)^2 + \frac{49 - 67}{-3} = \left(\frac{56 + 67\cdot 1}{-3}\right)^2$, or

$67\cdot (-5)^2 + 6 = (-41)^2$

Kita boleh abaikan tanda-tanda $x$ dan $y$, mengetahui bahawa mereka telah dikuasa duakan, dan anggap mereka masing-masing sebagai 5 dan 41.

Pada titik ini, satu pusingan algoritma kitaran adalah lengkap. Kita sekarang mengulangi proses ini lagi, menggunakan lemma Bhaskara:

$67\left(\frac{5m + 41}{6}\right)^2 + \frac{m^2 - 67}{6} = \left(\frac{41m + 67\cdot 5}{6}\right)^2$

Sekarang, buat $(5m+41)/6$ sebuah integer, dengan membiarkan $m = 6t+5$, dan membuat $t$ supara nilai mutlak $m^2 - 67$ dikecilkan. Nilainya adalah $t = 0$, $m = 5$, $m^2 - 67 = -42$.

$67\cdot 11^2 + (-7) = 90^2$

Leleran ketiga:

$67\left(\frac{11m + 90}{-7}\right)^2 + \frac{m^2 - 67}{-7} = \left(\frac{90m + 67\cdot 11}{-7}\right)^2$

Buat $(11m+90)/-7$ sebuah integer, dengan membiarkan $m = -7t+2$, dan ambil $t$ supaya nilai mutlak $m^2 - 67$ dikecilkan. Nilainya adalah $t = -1$, $m = 9$, $m^2 - 67 = 14$.

$67\cdot 27^2 + (-2) = 221^2$

Leleran keempat:

$67\left(\frac{27m + 221}{-2}\right)^2 + \frac{m^2 - 67}{-2} = \left(\frac{221m + 67\cdot 27}{-2}\right)^2$

Buat $(27m+221)/-2$ sebuah integer, dengan membiarkan $m = -2t+1$, dan ambil $t$ supaya nilai mutlak $m^2 - 67$ dikecilkan. Nilainya adalah $t = -4$, $m = 9$, $m^2 - 67 = 14$.

$67\cdot(-232)^2 + (-7) = (-1899)^2$

Leleran kelima:

$67\left(\frac{232m + 1899}{-7}\right)^2 + \frac{m^2 - 67}{-7} = \left(\frac{1899m + 67\cdot 232}{-7}\right)^2$

Buat $(232m+1899)/-7$ sebuah integer, dengan membiarkan $m = -7t+5$, dan ambil $t$ supaya nilai mutlak $m^2 - 67$ dikecilkan. Nilainya adalah $t = 0$, $m = 5$, $m^2 - 67 = -42$.

$67\cdot 437^2 + 6 = (-3577)^2$

...Akhirnya kita dibawa ke jawapannya, iaitu

$67\cdot 5967^2 + 1 = 48842^2.$

Kemaskinikan dan semak jika perlu.

Rujukan

• Florian Cajori (1918), Origin of the Name "Mathematical Induction", The American Mathematical Monthly 25 (5), p. 197-201.
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).
• G. R. Kaye, "Indian Mathematics", Isis 2:2 (1919), p. 326–356.
• C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica 2 (1975), pp. 167-184.
• C. O. Selenius, "Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung", Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).

Pautan luar

• Pengenalan pada chakravala