Kebarangkalian

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Kebarangkalian adalah kemungkinan atau kesempatan pada sesuatu keadaan yang akan atau telah berlaku. Teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam bidang seperti statistik, matematik, kewangan, sains dan falsafah untuk mendapat kesimpulan berkaitan kebarangkalian peristiwa terjadi dan mekanik dasar sistem kompleks.

Tafsiran[sunting | sunting sumber]

Perkataan kebarangkalian tidak mempunyai tafsiran secara terus yang konsisten. Ternyata, ada dua kategori besar pada terjemahan kebarangkalian':

  1. Frequentists membicara tentang kebarangkalian hanya apabila ia berkaitan dengan eksperimen yang dilakukan secara rawak dan ditakrifkan dengan sempurna. Kebarangkalian pada suatu peristiwa rawak mewakili kewujudan frekuensi relatif pada suatu kesudahan atau hasil eksperimen, apabila mengulangi eksperimen. Beliau mempertimbangkan kebarangkalian sebagai frekuensi relatif dalam hasil jangka panjang.
  2. Bayesian, meskipun, melantik kebarangkalian pada mana-mana situasi sahaja, walaupun apabila tiada proses rawak terlibat. Kebarangkalian, untuk seorang Bayesian, adalah satu cara untuk mewakili darjah kepercayaan seseorang pada suatu keterangan, apabila diberikan buktinya.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Kajian saintifik pada kebarangkalian adalah suatu pengembangan moden. Aktiviti perjudian menunjukkan bahawa adanya suatu minat pada menjumlahkan gagasan kebarangkalian untuk milenia, tetapi penjelasan matematik tetap pada kegunaan pada masalah tersebut hanya berpunca kemudian.

Menurut Richard Jeffrey, "Sebelum pertengahan abad ketujuh belas, istilah 'probable' (barangkali) (Bahasa Latin probabilis) bermakna diluluskan, dan digunakan pada segi itu, univocally, pada pendapat dan tindakan. Tindakan atau pendapat berkemungkinan adalah satu yang orang bertimbang rasa akan memegang, dengan akibatnya."[1]

Selain dari sesetengah anggapan elementari dilakukan oleh Girolamo Cardano pada abad ke-16, doktrin kebarangkalian bermula dengan korespondens Pierre de Fermat dan Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) memberikan rawatan saintifik terawal pada judul itu. Ars Conjectandi Jakob Bernoulli (posthumous, 1713) dan Doctrine of Chances Abraham de Moivre (1718) melayankan judul itu sebagai suatu cabang matematik. Lihat The Emergence of Probability Ian Hacking untuk suatu sejarah pada perkembangan awal pada konsepnya kebarangkalian matematik.

Teori kesilapan dapat dikesankan kembali ke Opera Miscellanea Roger Cotes (posthumous, 1722), tetapi suatu memoir disediakan oleh Thomas Simpson pada 1755 (dicetakan 1756) pertama menggunakan teori pada perbincangan kesilapan pada pemerhatian. Cetakan semula (1757) pada memoir ini meletakkan aksiom kesilapan yang positif dan negatif adalah barangkali sama, dan adanya sesetengah had assignable dalam mana setiap kesilapan mungkin gugur; kesilapan berlanjutan dibincangkan dan sebuah lengkung kebarangkalian diberikan.

Pierre-Simon Laplace (1774) membuat percubaan pertama untuk menyimpulkan bahawa suatu peraturan untuk penggabuhan pemerhatian dari prinsip-prinsip teori kebarangkalian. Dia mewakili peraturan kesilapan kebarangkalian dengan sebuah lengkung y = \phi(x), x being any error and y kebarangkaliannya, dan meletakkan tiga ciri pada lengkung ini:

  1. ia adalah bersimetri pada paksi-y;
  2. paksi-x adalah sebuah asimptot, kebarangkalian kesilapan \infty jadikan 0;
  3. kawasan berpagar adalah 1, ia ditentukan bahawa se buah kesilapan wujud.

Dia juga memberikan (1781) sebuah rumusan untuk peraturan kemudahan kesilapan (sebuah istilah disebabkan Lagrange, 1774), tetapi satu yang membawa ke persamaan yang tidak dapat diuruskan. Daniel Bernoulli (1778) memperkenalkan prinsip-prinsip barangan maksimum pada kebarangkalian sebuah sistem kesilapan serentak.

Kaedah paling sedikit punca kuasa dua adalah disebabkan Adrien-Marie Legendre (1805), yang memperkenalkannya dalam Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Kaedah baru untuk Menentukan Orbit Tahi Bintang). Kejahilannya pada sumbangan Legendre, seorang pengarang Irish-Amerika, Robert Adrain, penerbit "The Analyst" (1808), pertama menyimpulkan peraturan kesilapan,

\phi(x) = ce^{-h^2 x^2},

h menjadi suatu konstan bergantung pada ketepatan pemerhatian, dan c sebuah fakta skala memastikan bahawa luasnya di bawah lengkung sama dengan 1. Dia memberikan dua bukti, yang kedua menjadi pada asasnya sama dengan yang pada John Herschel (1850). Gauss memberikan bukti pertama yang dilihat telah diketahui di Eropah (ketiga selepas yang pada Adrain) pada 1809. Bukti lanjutnya diberikan oleh Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856), dan Morgan Crofton (1870). Sumbangan lain adalah Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), dan Giovanni Schiaparelli (1875). Rumusan Peters (1856) untuk r, kebarangkalian kesilapan pada suatu pemerhatian satu, diketahui.

Pada abad kesembilanbelas para pengarang pada teori umum termasuk Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, and Karl Pearson. Augustus De Morgan dan George Boole memperbaikikan eksposisi teori.

Pada belah geometri (see integral geometry) penyumbang ke The Educational Times adalah berpengaruh (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson, and Artemas Martin).

Pengolahan matematik[sunting | sunting sumber]

Dalam matematik, kebarangkalian event /peristiwa A diwakili oleh suatu nombor nyata daripada 0 hingga 1 dan ditulis sebagai P(A), p(A) atau Pr(A). Peristiwa yang tidak mungkin berlaku mempunyai nilai kebarangkalian 0, dan peristiwa yang pasti berlaku mempunyai nilai kebarangkalian 1. Walau bagaimanapun, teorem akas tidak selalunya betul: peristiwa berkebarangkalian 0 tidak selalunya mustahil, begitu juga peristiwa berkebarangkalian 1 adalah pasti. Perbezaan yang lebih ketara antara "pasti" dan "kebarangkalian 1" dapat diperolehi dengan lebih mendalam di dalam artikel "hampir pasti".

Pelengkap atau lawan kepada peristiwa A adalah peristiwa [bukan A] (iaitu peristiwa A tidak berlaku); kebarangkaliannya diberi sebagai P(bukan A) = 1 - P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak mendapat golekan enam pada sebiji dadu bermuka enam adalah 1 - (peluang mendapat angka enam) = {1} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}. Lihat Peristiwa pelengkap untuk terjemahan yang lebih lengkap.

Sekiranya dua peristiwa, A dan B adalah bebas, maka kebarangkalian tercantum ialah

P(A \mbox{ dan }B) =  P(A \cap B) = P(A) P(B),\,

sebagai contoh sekiranya dua keping duit syiling dilambung, peluang untuk kedua-duanya kepala adalah \tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}.

Sekiranya dua peristiwa adalah Saling eksklusif maka kebarangkalian salah satu daripadanya berlaku ialah

P(A\mbox{ atau }B) =  P(A \cup B)= P(A) + P(B).

Sebagai contoh, peluang mendapat angka 1 atau 2 apabila sebiji dadu digolekkan ialah P(1\mbox{ atau }2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.

Sekiranya peristiwa-peristiwa tersebut adalah tidak saling eksklusif maka

\mathrm{P}\left(A \hbox{ atau } B\right)=\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\right)-\mathrm{P}\left(A \mbox{ dan } B\right).

Sebagai contoh, apabila mengambil sekeping kad secara rawak daripada satu dek 52 keping kad, peluang untuk mendapat kad "heart" ataupun kad J,Q,K atau kedua-dua nya ialah \tfrac{13}{52} + \tfrac{12}{52} - \tfrac{3}{52} = \tfrac{11}{26}, kerana daripada 52 keping kad, 13 adalah "heart", 12 adalah J,Q,K dan 3 adalah kedua-duanya: disini kemungkinan "3 adalah kedua-duanya" telah pun dimasukkan dalam setiap " 13 keping heart" dan "12 kad J,Q,K" tetapi hanya patut dikira sekali sahaja.

Kebarangkalian bersyarat adalah kebarangkalian peristiwa A berlaku, jika peristiwa lain B juga berlaku. Kebarangkalian bersyarat ditulis sebagai P(A|B), dan dibaca "kebarangkalian A, bersyarat B". Ianya ditakrifkan sebagai

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\,

Sekiranya P(B)=0 maka P(A \mid B) ialah tidak tertakrif.

Ringkasan Kebarangkalian
Peristiwa Kebarangkalian
A P(A)\in[0,1]\,
bukan A P(A')=1-P(A)\,
A atau B \begin{align}
P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
& = P(A)+P(B) \qquad\mbox{sekiranya A dan B adalah saling eksklusif}\\
\end{align}
A dan B \begin{align}
P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) \\
& = P(A)P(B) \qquad\mbox{sekiranya A dan B adalah bebas}\\
\end{align}
A bersyarat B P(A|B)\,

Teori[sunting | sunting sumber]

{{utama|Teori kebarangkalian Seperti teori-teori yang lain, teori kebarangkalian adalah perwakilan kepada teori berkebarangkalian dalam terma formal-iaitu dalam terma yang boleh dipertimbangkan secara berasingan daripada maksudnya. Terma formal ini dimanipulasikan oleh hukum matematik dan logik, dan sebarang hasil kemudiannya ditafsir atau diterjemahkan semula ke dalam domain masalah.

Terdapat sekurang-kurangnya dua percubaan yang berjaya memberikan takrifan kebarangkalian secara formal, iaitu ungkapan Kolmogorov dan ungkapan Cox. Dalam ungkapan Kolmogorov (lihat ruang kebarangkalian), set ditakrifkan sebagai peristwiwa dan kebarangkalian itu sendiri sebagai ukuran dalam sekumpulan set. Dalam teori Cox, kebarangkalian dianggap sebagai primitif (iaitu, tiada analisa selanjutnya) dan penekanannya adalah kepada pembinaan agihan nilai kebarangkalian yang konsisten kepada suatu pernyataan. Dalam kedua-dua kes, hukum kebarangkalian adalah sama, kecuali untuk huraian teknikal.

Terdapat kaedah-kaedah lain untuk menyatakan ketidakpastian, seperti teori Dempster-Shafer dan teori kemungkian, tetapi pada dasarnya ia adalah berbeza dan tidak bersesuaian dengan hukum kebarangkalian sebagaimana pemahaman pada kebiasaannya.

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Dua aplikasi utama teori kebarangkalian dalam kehidupan seharian adalah dalam penilaian risiko dan dalam dagangan pasaran komoditi. Kerajaan mengaplikasikan kaedah berkebarangkalian dalam penjagaan alam sekitar yang dipanggil "analisis laluan", kebiasaannya mengukur kesejahteraan dengan menggunakan kaedah-kaedah stokastik, dan memilih projek yang ingin dijalankan berdasarkan analisis statistik terhadap kesan yang mungkin dihadapi oleh populasi secara keseluruhannya. Adalah tidak tepat untuk mengatakan statistik terlibat dalam pemodelan, kerana penilaian risiko adalah hanya sekali sahaja dan oleh itu memerlukan model kebarangkalian yang lebih asas, e.g. "kebarangkalian berlakunya lagi peristiwa 9/11". Hukum nombor kecil dilihat dapat diaplikasikan kepada semua pilihan-pilihan yang mungkin berserta maksud/pandangan terhadap kesan-kesan pilihan tersebut, yang mana ini menjadikan sukatan kebarangkalian suatu yang amat penting

A good example is the effect of the perceived probability of any widespread Middle East conflict on oil prices - which have ripple effects in the economy as a whole. An assessment by a commodity trader that a war is more likely vs. less likely sends prices up or down, and signals other traders of that opinion. Accordingly, the probabilities are not assessed independently nor necessarily very rationally. The theory of behavioral finance emerged to describe the effect of such groupthink on pricing, on policy, and on peace and conflict.

It can reasonably be said that the discovery of rigorous methods to assess and combine probability assessments has had a profound effect on modern society. Accordingly, it may be of some importance to most citizens to understand how odds and probability assessments are made, and how they contribute to reputations and to decisions, especially in a democracy.

Antara aplikasi teori kebarangkalian yang bererti dalam kehidupan seharian ialah kebolehpercayaan. Kebanyakan produk pengguna, seperti automobil dan alat elektronik, menggunakan teori kebolehpercayaan dalam perekaan produk dalam usaha untuk mengurangkan kebarangkalian produk yang rosak. Kebarangkalian produk yang rosak juga berkaitan dengan waranti produk.

Hubungan dengan keganjilan[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Kerawakan

Dalam sebuah alam beketentuan, berasaskan konsep Newtonian, tiadak kebarangkalian jika semua syaratnya diketahui. Pada perkara sebuah roda rolet, jika kuasa tangan dan pada tempoh ke itu diketahui, kemudian nombor pada mana bola akan berhenti akan menjadi suatu kepastian. Sudah tentu, ini juga menganggapkan ilmu intertia dan friksyen pada roda, berat, kelicinan dan kebulatan bola, variasi pada kelajuan tangan sewaktu kepusingan dan sebagainya. Suatu penjelasan kebarangkalian oleh itu dapat menjadi lebih berguna daripada mekanik Newtonian untuk menganalisiskan corak akibat golekan berulang roda rolet. Ahli fizik menghadapi keadaan sama dalam teori kinetik pada gas, di mana sistem, sementara berketentuan dalam prinsip, adalah sangat kompleks (wdengan bilangan molekul secara kebiasaan dalam urutan magnitud konstant Avogadro (6\cdot 10^{23}) yang hanya penjelasan statistik pada ciri-cirinya adalah dapat dikerjakan.

Suatu penemuan revolusi fizik abad ke-20 adalah ciri ganjil pada pemerosesan fizik yang bermuncul di skala mikroskopik dan ditadbirkan oleh peraturan mekanik kuantum. Fungsi gelombang sendiri berpunca secara berketentuan selagi tiada pemerhatian dilakukan, tetapi, menurut Copenhagen interpretation yang mengatasi, keganjilan disebabkan oleh keruntuhan fungsi gelombang apabila suatu pemerhatian dilakukan, adalah asas. Ini bermakna bahawa teori kebarangkalian diperlukan untuk menjelaskan sifat. Yang lain tidak pernah tiba terma dengan kehilangan berketentuanan. Albert Einstein secara masyhur berkata-kata dalam sebuah surat ke Max Born: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Saya yakin bahawa Tuhan tidak bermain dadu). Walaupun sudut pandangan alternatif wujud, yang pada quantum decoherence dijadikan penyebab keruntuhan ganjil ketara, kini adanya suatu sepersetujuan di kalangan ahli fizik bahawa kebarangkalian diperlukan untuk menjelaskan fenomena kuantum.[perlu rujukan]

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Nota kaki[sunting | sunting sumber]

  1. Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). pp. 54-55 . ISBN 0-521-39459-7

Sumber[sunting | sunting sumber]

  • Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
  • Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2

Petikan[sunting | sunting sumber]

  • Damon Runyon, "It may be that the race is not always to the swift, nor the battle to the strong - but that is the way to bet."
  • Pierre-Simon Laplace "It is remarkable that a science which began with the consideration of games of chance should have become the most important object of human knowledge." Théorie Analytique des Probabilités, 1812.
  • Richard von Mises "The unlimited extension of the validity of the exact sciences was a characteristic feature of the exaggerated rationalism of the eighteenth century" (in reference to Laplace). Probability, Statistics, and Truth, p 9. Dover edition, 1981 (republication of second English edition, 1957).

Pautan luar[sunting | sunting sumber]