Logaritma asli

Dalam bidan matematik, logaritma asli ialah logaritma asas $e$ , di mana $e$ ialah pemalar bukan nisbah dengan anggaran nilai 2.718 281 828. Logaritma asli lazimnya ditulis $\ln(x)$ , $\log_e(x)$ atau kadang-kadang, jika asas $e$ adalah implisit, sekadar $\log(x)$ .

Logaritma asli bagi sebarang nombor $x$ (ditulis $\ln(x)$ ) ialah nombor kuasa bagi $e$ untuk memperoleh $x$ . Sebagai contoh, $\ln(7.389...)$ sama dengan 2, kerana $e^2 = 7.389...$ . Logaritma asli bagi $e$ itu sendiri ( $\ln(e)$ ) ialah 1 kerana $e^1 = e$ , manakala logaritma asli bagi 1 ( $\ln(1)$ ) ialah 0, kerana $e^0 = 1$ .

Takrif [sunting]

$\ln(x)$ ditakrifkan sebagai luas di bawah lengkung $f(x) = \frac{1}{x}$ dari 1 ke $x$ .

Takrif logaritma asli secara formal ialah luas di bawah graf $\frac{1}{x}$ dari 1 ke $a$ , iaitu kamiran,

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Ini adalah takrif logaritma kerana mematuhi sfat asas logaritma:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!$

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan $t=\tfrac xa$ seperti berikut:

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)$

Nombor $e$ ditakrifkan sebagai suatu nombor nyata unik di mana $\ln(a) = 1$ .

Secara alternatif, jika fungsi eksponen telah ditakrifkan terlebih dahulu menggunakan siri tak terhingga, logaritma asli boleh ditakrifkan sebagai fungsi songsangnya, iaitu ln ialah fungsi di mana $e^{\ln(x)} = x\!$ . Oleh kerana julat fungsi eksponen bagi argumen-argumen nyata ialah semua nombor nyata positif, dan fungsi eksponen meningkat secara khusus, yang demikian adalah tertakrif rapi bagi semua $x$ yang positif.