Matematik kerelatifan am

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Kerelatifan am
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}
Pengenalan pada...
Rumusan matematik pada...
Sumber

Matematik kerelatifan am merujuk kepada pelbagai struktur dan teknik matematik yang digunakan dalam pengajian dan perumusan teori kerelatifan am Albert Einstein. Alat-alat utama digunakan dalam teori geometri pada graviti ini ialah medan tensor ditakrifkan pada Lipatan ganda Lorentz mewakili masa angkasa. Rencana ini merupakan penjelasan umum matematik kerelatifan am.

Nota: Rencana kerelatifan am menggunakan tensor akan menggunakan tatatanda indeks abstrak.

Mengapa tensor?[sunting | sunting sumber]

Prinsip perselisihan sama umum menyatakan bahawa undang-undang fizik seharusnya mengambila bentuk matematik sama dalam semua bingkai rujukan dan dalah salah satu prinsip pusat dalam perkembangan kerelatifan am. Istilah 'perselisihan sama umum' telah digunakan dalam perumusan awal kerelatifan am, tetapi kini dirujukkan oleh banyak orang sebagai perselisihan sama diffeomorfisme. Walaupun perselisihan sama diffeomorfisme tidak metakrifkan ciri kerelatifan am[1], dan kontroversi tetap mengenai kedudukan kininya di GR, ciri invariance undang-undang fizik digunakan dalam prinsip dipasangankan dengan faktanya bahawa teori adalah geometri secara penting dalam sifat (membuat guna geometri bukan-Euclidian) bercadangkan bahawa kerelatifan umum dapat dirumuskan menggunakan bahasa tensor. Ini akan dibincangkan lanjut di bawah.

Waktu angkasa sebagai lipatan ganda[sunting | sunting sumber]

Kebanyakan pencapaian moden pada kerelatifan am matematik bermula dengan konsep sebuah berlipat ganda. Lebih tepatnya, fizikal asas membina mewakili kegravitian - suatu masa angkasa melengkung - dimodelkan selepas suatu lipatan ganda Lorentzian yang berdimensi empat, licin dan berhubung. Penjelasan fizikal lain diwakili oleh pelbagai tensor, dibincangkan di bawah.

Rasional untuk memilih suatu berlipat ganda sebagai stuktur matematik asas adalah untuk mencerminkan ciri-ciri fizikal diinginkan. Contohnya, dalam teori berlipat ganda, tiap titik dikandungi dalam sebuah carta koordinat (dengan cara yang tidak terburu-buru yang unik) dan dapat difikirkan sebagai menwakili 'ruangmasa tempatan' di keliling pemerhati (diwakili oleh titik). Prinsip perselisihan sama Lorentz tempatan, yang mengatakan bahawa hukum kerelatifan khas memegang secara tempatan tiao titik ruangmasa, meminjam pilihan suatu struktur berlipat ganda untuk mewakili ruangmasa, sebagai secara tempatan di sekitar suatu titik pada berlipat ganda umum, rantau itu 'kelihatan seperti', atau lebih kurang sangat berhampiran ruang Minkowski (ruangmasa leper).

Gagasan carta koordinat sebagai 'pemerhati tempatan yang dapat mengukur di kawasan sekitar mereka' juga membuatkan dari segi fizikal yang baik, kerana ini adalah bagaimana seorang sebenarnya menerima data fizikal - secara tempatan. Untuk masalah kosmologi, suatu carta koordinat mungkin agak besar.

Stuktur tempatan lawan global[sunting | sunting sumber]

Suatu pembezaan penting dalam fizik adalah perbezaan di antara struktur tempatan dan global. Ukuran pada fizik dilakukan dalam secara relatif rantau kecil ruangmasa dan ini adalah satu alasan untuk mengajikan struktur tempatan ruangmasa dalam kerelatifan umum, sedangkan menentukan struktur ruangmasa global adalah penting, khususnya dalam masalah kosmologi.

Suatu masalah penting dalam kerelatifan umum adalah untuk memberitahu apabila dua ruangmasa adalah 'sama', sekurang-kurangnya secara tempatan. Masalah ini mempunyai akarnya dalam teori berlipat ganda di mana menentu jika dua berlipat ganda Riemannian dimensi sama adalah isometri tempatan ('secara tempatan sama'). Masalah yang kedua telah diselesaikan dan kegunaannya untuk kerelatifan umum digelar algoritma Cartan-Karlhede.

Tensor dalam GR[sunting | sunting sumber]

Salah satu akibat teori kerelatifan adalah abolition bingkai rujukan diutamakan. Penjelasan fenomena fizikal tidak harus bergantung pada yang membuatkan ukuran - satu bingkai rujukan seharusnya menjadi sebaik yang lain. Kerelatifan khas menunjukkan bahawa tiada bingkai rujukan inertia telah disukai pada bingkai rujukan intertia lain, tetapi bingkai rujukan intertia yang disukai ke atas bingkai rujukan yang bukan intertia. Kerelatifan umum dikurangkan untuk bingkai rujukan intertia dengan menunjukkan bahawa tiada bingkai rujukan disukai (inertia atau bukan) untuk menjelaskan sifat.

Mana-mana pemerhati dapat membuat ukuran dan kuantiti angka tepat diperolehi hanya bergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Ini mencadangkan suatu cara merumuskan kerelatifan menggunakan 'struktur invariant', yang adalah berdikari dari yang berdikari dari sistem koordinat (diwakili oleh pemerhati) digunakan, namun masih mempunyai kewujudan berdikari. Struktur matematik yang tersesuai kelihatan sebuah tensor. Contohnya, apabila mengukur jurusan elektrik dan magnetik dihasilkan oleh suatu charge accelerating, nilai-nilai jurusan akan bergantung pada sistem koordinat digunakan, tetapi jurusan dianggap mempunyai suatu kewujudan berdikari, kedikarian ini diwakili oleh tensor jurusan elektromagnetik.

Secara matematik, tensor adalah pejalan linear dimumumkan - multilinear peta. Oleh itu, gagasan algebra lineardigunakan untuk mempelajari tensor.

Di tiap titik \, p suatu lipatan ganda, ruang tangen dan kotangen pada lipatan handa pada peringkat itu harus dibina. Vektor (kadang-kadang dirujukkan vektor kontravarian) ditakrifkan sebagai elemen-elemen ruang tengen dan kovektor (kadang-kadang diistilah kovarian vektor, tetapi lebih umumnya vektor dua atau one-forms) adalah elemen-elemen dari ruang kotangen.

Di \, p, dua ruang vektor ini dapat digunakan untuk membina jesnis \, (r,s) tensor, yang mana adalah peta multilinear bernilai real bertindak pada jumlah lanjut dari \, r salinan ruang kotangen dengan \, s salinan ruang tangen. Set semua peta pelbagai linear seperti itu membentukkan suatu ruang vektor, digelar ruang hasil tensor jenis \, (r,s) at \, p dan denoted oleh \, (T_p)^r{}_sM. Jika ruang tangen adalah dimentsi-n, ia dapat menunjukkan bahawa \dim (T_p)^r{}_sM = n^{r+s}.

Dalam sastera kerelatifan umum, ia adalah lazim untuk menggunakan sintaks komponen untuk tensor.

Suatu jenis (r,s) tensor dapat dikarang sebagai

 T \;\! = \;\! {T^{a_1 \ldots a_r}}_{{b_1} \ldots {b_s}} \frac {\partial} {\partial x^{a_1}} \otimes \ldots \otimes \frac {\partial} {\partial x^{a_r}} \otimes dx^{b_1} \otimes \ldots \otimes dx^{b_s}

di mana \;\!\frac {\partial} {\partial x^{a_i}} adalah suatu asas untuk ruang tangen ke-i dan \;\!dx^{b_j} suatu dasar untuk ruang kotengen ke-j.

Apabila spacetime ditanggap berdimensi empat, tiap indeks pada sebah tensor dapat menjadi satu dari empat nilai. Oleh itu, jumlah bilangan elemen sebuah tensor memiliki adalah sama dengan 4R, di mana R adalah jumlah bolangan indeks kovarian dan kontravarian pada tensor (sebuang angka digelarkan penempatan tensor).

Tensor simetri dan antisimetri[sunting | sunting sumber]

Sesetengah kuantiti fizikal diwakili oleh tensor bukan semua yang komponennya berdikari. Contoh-contoh penting sesetengah tensor termasuk tensor simetri dan antisimetri. Tensor antisimetri biasanya digunakan untuk mewakili giliran (contohnya, tensor vorticity).

Walaupun suatu tensor R penempatan generik dalam 4 dimensi mempunyai 4R komponen, paksaan pada tensor seperti simetri atau antisimetri berkhidmat untuk mengurangkan bilangan komponen berbeza. Contohnya, suatu penempatan simetri menempatkan dua tensor T memuaskan Tab = Tba dan memiliki 10 komponen berdikari, di mana sebuah antisimetri (skew-symmetric) menempatkan dua tensor P memuaskan Pab = -Pba dan mempunyai 6 komponen berdikari. Untuk penempatan lebih hebat dari dua, pasangan indeks simetri atau antisimetri seharusnya dikenalkan secara eksplisit.

Tensor antisimetrik penempatan 2 memainkan peranan penting dalam teori kerelatifan. Muatan tensor seperti itu - sering digelar bivektor - membentuk suatu ruang vektor dimensi 6, kadang-kadang digelar ruang bivektor.

Tensor metrik[sunting | sunting sumber]

Tensor metrik adalah suatu objek berpusat dalam kerelatifan umum yang menjelaskan geometri tempatan ruangmasa (sebagai akibat menyelesaikan persamaan medan Einstein‎). Menggunakan anggaran jurusan lemah, metrik dapat juga difikirkan sebagai mewakili 'potensi kegravitian'. Tensor metrik sering digelarkan 'metrik'.

Metrik adalah suatu tensor simetri dan adalah suatu alat matematik penting. Dan juga digunakan adalah sebuah tensor simetri dan adalah suatu alat matematik penting. Dan juga digunakan pada menambah dan mengurang kandungan tensor, ia juga menjalankan perkaitan yang digunakan untuk membina persamaan geodesik mosi dan tensor kelengkungan Riemann.

Suatu cara mudah menjelaskan tensor metrik dengan menggabung dengan tambahan jarak waktu jarak koordinat yang ia berkaitan padanya melalui elemen baris:

ds^2 = g_{ab} \, dx^a \, dx^b

Cara menjelaskan metrik ini digunakan oleh perintis geometri pembezaan. Sementara perelatif menganggap catatan adalah agak fesyen lama, banyak telah bersedia bertukaran ini dan catatan bersilih ganti:

g = g_{ab} \, dx^a \otimes dx^b

Tensor metrik biasanya ditulis sebagai matriks 4 kali 4. Disebabkan simetri metrik, matriks ini adalah bersimteri dan mempunyai 10 komponen berdikari.

Ketidakvarian[sunting | sunting sumber]

Salah satu cirit berpusat GR adalah gagasan ketidakvarian hukum fizik. Ketidakvarian ini dapat dijelaskan dalam banyak cara, contohnya, dari segi kovarian Lorentz tempatan, prinsip umum kerelatifan, atau kovarian diffeomorfisme.

Suatu penjelasan lebih eksplisit dapat diberikan menggunakan tensor. Ciri crucial tensor digunakan dalam capai ini dalah ternyata bahawa (sekali suatu metrik diberikan) operasi mengecutkan sebuah tensor penempatan R melebihi semua kandungan R memberikan sebuah number - suatu ketidakvarian - iaitu adalah bebas dari carta koordinat satu menggunakan untuk melakukan pengecutan. Secara fizikal, ini bermakna bahawa jika ketidakvarian dikira oleh mana-mana dari dua pemerti, mereka akan mendapatkan bilangan yang sama, oleh itu mencadangkan bahawa ketidakbarian mempunyai sesetengah kepentingan bebas. Sesetengah ketidakvarian penting dalam kerelatifan termasuk:

Contoh-contoh lain ketidakvarian dalam kerelatifan termasuk ketidakvarian electromagnetik, dan pelbagai ketidakvarian lengkungan lain, sesetengah penggunaan carian yang kemudiannya dalam kajian entropi bergraviti dan Hipotesis lengkungan Weyl.

Klasifikasi tensor[sunting | sunting sumber]

Klasifikasi tensor adalah cuma masalah matematik. Dalam GR, meskipun, sesetengah tensor yang mempunyaiu terjemahan fizikal dapat diklasifikasikan dengan bentu=bentuk lain tensor biasanya berkorespon dengan sesetengah fizik. Contoh-contoh klasifikasi tensor berguna dalam kerelatifan umum termasuk klasifikasi Segre dari tensor momentum tenaga dan klasifikasi Petrov dari tensor Weyl. Ada berbagai kaedah mengklasifikasikan tensor-tensor ini, sesetengah dari mana menggunakan ketidakvarian tensor.

Medan tensor dalam kerelatifan am[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Medan tensor

Medan Tensor pada berlipat ganda adalah peta-peta yang mencantum suatu tensor pada tiap titik berlipat ganda. Tanggapan ini dapat dilakukan lebih tepat dengan memperkenalkan gagasan suatu bungkusan seratr , yang dalam konteks kini bermakna untuk mengumpul sama semua tensor pada tiap titik berlipat ganda, oleh itu 'membungkus' mereka ke dalam sebuah objek mewah yang digelar bungkusan tensor. Suatu jurusan tensor ditakrifkan sebagai sebuah peta dari berlipat ganda ke bungkusan tensor, tiap titik p berkaitan dengan suatu tensor di p.

Tanggapan jurusan tensor adalah suatu kepentingan utama dalam GR. Contohnya, geometri di keliling sebuah bintang dijelaskan oleh suatu tensor metrik di tiap titik, jadi di tiap titik ruangmasa nilai metrik seharusnya diselesaikan untuk laluan habuk-habuk bahan. Suatu lagi contoh adalah nilai elektrik dan jurusan magnetik (diberikan oleh tensor jurusan elektromagnetik) dan metrik di tiap titik di keliling suatu lohong hitam untuk menentukan mosi habuk dikenakan dalam sebarang jurusan.

Jurusan vektor adalah kontravarian rank one tensor fields. Jurusan vektor penting dalam kerelatifan termasuk empat-kevelositian, U^a = \dot{x}^a, yang adalah jarak koordinat mengembawa tiap unit waktu sesuai, four-acceleration A^a = \ddot{x}^a dan empat-karan \, J^a menjelaskan kenaan dan kepadatan kini. Jurusan tensor fizikal penting lain dalma kerelatifan termasuk yang berikut:

Walaupun perkataan 'tensor' merujukkan pada sebuah objek di suatu titik, ia adalam amalan umum untuk merujukkan pada jurusan tensor pada suatu ruangmasa (atau suatu rantaunya) hanya sebagai 'tensor'.

Di tiap titik suatu ruangmasa di mana sebuah metrik ditakrifkan, metrik dapat dikurangkan ke bentuk Minkowski menggunakan Hukum Inertia Sylvester.

Tensorial derivatives[sunting | sunting sumber]

Sebelum bermulanya kerelatifan am, perubahan pada proses fizikal biasanya dijelaskan oleh derivatif separuh, contohnya, dengan menjelaskan perubahan dalam bidang elektromagnetik (lihat persamaan Maxwell). Walaupun dalam kerelatifan khas, derivatif separuh masih cukup untuk menjelaskan sebarang perubahan. Meskipun, dalam kerelatifan am, ia didapati bahawa derivatif yang juga tensor harus digunakan. Derivatif telah mempunyai ciri-ciri umum termasuk bahawa mereka adalah derivatif bersama dengan lengkung integral bidang vektor.

Masalah dalam mentakrifkan derivatif pada berlipat ganda yang bukan leper adalah bahawa tiada cara semulajadi untuk membandingkan vektor di berlainan titik. Sebuah struktur tambahan pada berlipat ganda am diperlukan untuk mentakrifkan derivatif. Di bawah menjelaskan dua derivatif penting yang dapat ditakrifkan dengan imposing sebuah struktur tambahan pada berlipat ganda dalam tiap hal.

Hubungan affine[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Hubungan affine

Kelengkungan sebuah angkasa masa dapat dicirikan dengan mengambil sebuah vektor di suatu peringkat dan mengangkut selarinya di sepanjang sebuah lengkung pada masa angkasa. Sebuah perkaitan affine adalah suatu peraturan yang menjelaskan bagaimana untuk secara sah memindahkan sebuah vektor di sepanjang sebuah lengkung pada litapan ganda tanpa mengubah arahannya.

Mengikut takrifan, suatu hubungan affine adalah sebuah peta dwi garis lurus \Gamma(TM)\times\Gamma(TM)  \rightarrow  \Gamma(TM), where \,\Gamma(TM) adalah sebuah angkasa dari semua jurusan vektor pada masa angkasa. Peta dwi garis lurus dapat dijelaskan dari segi suatu set koefisien hubungan (juga digelarkan tanda Christoffel) mengkhususkan apa berlaku pada komponen-komponen dari vektor asas di bawah angkutan selari amat kecil:

\nabla _{e_i} e_j = \Gamma ^k _{ji} e_k

Sungguhpun kemunculan memikat mereka, koefisien hubungan bukan komponen-komponen sebuah tensor.

Pada umumnya, ada D3 koefisien hubungan berdikari di tiap sudut masa angkasa. Hubungan digelar bersimetri jika \Gamma^k_{ji} = \Gamma^k_{ij}. Suatu hubungan mempunyai D2(D+1)/2 koefisien.

Untuk mana-mana lengkung \gamma dan dua titik A=\gamma(0) dan B=\gamma(t) pada lengkung ini, sebuah hubungan affine memberikan kenaikan pada sebuah peta vektor di angkasa tangen di A ke dalam vektor di angkasa tangen di B:

X(t) \, = \Pi_{0,t,\gamma} X(0),

dan \, X(t) dapat dikira dari segi komponen dengan menyelesaikan persamaan perbezaan

\frac{d}{dt} X^i(t) = \nabla_{C(t)} X^i(t) = \Gamma^i_{jk} X^j(t) C^k(t)

\, C^j(t) menjadikan tangen vektor pada lengkung di titik \gamma(t).

Sebuah hubungan affine dalam kerelatifan am suatu hubungan adalah hubungan Levi-Civita, yang adalah suatu hubungan simetri diperolhi dari mengangkut selari sebuah vektor tangen di sepanjang sebuah lengkung sementara menyimpan hasil bahagian dalam dari konstan vektor itu di sepanjang lengkung. Koefisien hubungan akibat (tanda Christoffel) dapat menjadi dikira secara langjut dari metrik. Untuk alasan ini, jenis ini dari hubungan sering digelar sebuah hubungan metrik.

Derivatif kovarian[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Derivatif kovarian

Biarkan X menjadi sebuah titik, \vec A sebuah vektor terletak di X, dan \vec B sebuah jurusan vektor. Gagasan membezakan \vec B di X di sepanjang arahan \vec A dalam suatu cara yang bermakna fizikal dapat dilakukan masuk akal dengan memilih suatu hubungan affine dan sebuah lengkung licin diparameter \gamma\,(t) sebarang mana X \,= \gamma(0) dan \vec A = {d \over dt}\gamma(0). Rumusan

\nabla _{\vec A} \vec B(X) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\Pi_{(\epsilon,0,\gamma)} \vec B(\gamma(\epsilon)) - \vec B(X)}{\epsilon}

untuk sebuah derivatif kovarian \vec B di sepanjang \vec A berkaitan dengan hubungan \,\Pi kelihatan memberikan keputusan lengkung berdikari dan dapati digunakan sebagai suatu "takrifan fizikal" derivatif kovarian.

Ia dapat dijelaskan menggunakan koefisien hubungan:

\nabla _{\vec Y} \vec X = X^a{}_{;b}Y^b \frac {\partial} {\partial x^a} = (X^a{}_{,b}+\Gamma ^a _{bc}X^c)Y^b \frac {\partial} {\partial x^a}

Penjelasan dalam tanda kurun, digelar sebuah derivatif kovarian X (tertentu dengan perkaitan) dan dilambangkan oleh \nabla \vec X, adalah lebih sering digunakan dalam pengiraan:

\nabla \vec X = X^a{}_{;b} \frac {\partial} {\partial x^a} \otimes dx^b = (X^a{}_{,b}+\Gamma ^a _{bc}X^c) \frac {\partial} {\partial x^a} \otimes dx^b

Suatu derivatif kovarian X oleh itu dapat dilihat sebagai suaut tindakan operator kebezaan bertindak pada sebuah jurusan vektor mengirimnya ke suatu jenis (1,1) tensor ('menambahkan indeks kovarian oleh 1') dan dapat diumumkan untuk bertindak pada jenis (r,s) jurusan tensor mengirim mereka pada jenis (r, s+1) jurusan tensor. Tanggapan angkutan selari dapat kemudian ditakrifkan secara mirip seperti dengan perkara jurusan vektor. Dengan takrifan, suatu derivatif kovarian sebuah jurusan skalar sama dengan derivatif jurusan.

Dalam sastera, ada tiga kaedah umum dari kebezaan kovarian:

 D_a T^{b\dots c}_{d\dots e} = \nabla_a T^{b\dots c}_{d\dots e} = T^{b\dots c}_{d\dots e;a}

Banyak ciri piawai derivatif separuh dapat juga digunakan pada derivatif kovarian:

 \nabla_a (X^b + Y^b) \,= \nabla_a X^b + \nabla_a Y^b

 \nabla_a (X^b Y^c) \,= Y^c (\nabla_a X^b) + X^b (\nabla_a Y^c)

 \nabla_a (f(x) X^b) \,= f \nabla_a X^b + X^b \nabla_a f = f \nabla_a X^b + X_b {\partial f \over \partial x^a}

 \nabla_a (c X^b) \,= c \nabla_a X^b, jika c adalah sebuah konstan

Dalam Kerelatifan Umum, seorang biasanya merujukkan pada derivatif kovarian, di mana seorang berkaitan dengan hubungan affine Levi-Civita. Mengikut takrifan, hubungan Levi-Civita mengekalkan metrik di bawah angkutan selari, oleh itu, derivatif kovarian memberikan kosong apabila berintdak pada sebuah tensor metrik (dan juga songsangnya). Ia bermakna bahawa kita dapat mengambil tensor metrik (songsang) dalam dan luar derivatif dan menggunanya untuk menambah dan mengurang keindeksan:

\nabla_a T^b = \nabla_a (T_c g^{bc}) = g^{bc} \nabla_a T_c

Derivatif Lie[sunting | sunting sumber]

Suatu lagi derivatif bertensor penting adalah derivatif Lie. Manakala derivatif kovarian memerlukan suatu hubungan affine untuk membenarkan perbandingan di antara vektor di berlainan titik, derivatif Lie menggunakan suatu kesesuaian dari suatu jurusan vektor untuk mencapai tujuan yang sama. Gagasan heretan Lie suatu fungsi di sepanjang sebuah kesesuaian membawa ke suatu takrifan derivatif Lie, di mana fungsi diheret dibandingkan dengan nilai fungsi asal di suatu peringkat yang diberikan. Derivatif Lie dapat ditakrifkan untuk jenis (r,s) jurusan tensor dan dalam penentuan ini dapat dilihat sebagai sebuah peta yang memberikan suatu jenis (r,s) pada sebuah jenis (r,s) tensor.

Derivatif Lie adalah biasanya ditandakan oleh \mathcal L_X, where X adalah jurusan vektor di sepanjang yang kesesuian derivatif Lie diambil.

Derivatif Lie dari mana-mana tensor di sepanjang sebuah jurusan vektor dapat dijelaskan melalui derivatif kovarian pada tensor itu dan jurusan vektor. (Ternyata, mana-mana derivatif akan berhasil, tetapi derivatif kovarian adalah mudah kerana ia berulang-alik dengan keindeksan bertambah dan berkurang.) Derivatif Lie suatu skalar adalah hanya derivatif berarahan:

 \mathcal L_X \phi = X^a \nabla_a \phi = X^a \frac{\partial \phi}{ \partial x^a}

Bahan tingkat lebih tinggi mengumpul istilah tambahan apabila derivatif Lie diambil. Contohnya, derivatif Lie dari sejenis (0,2) adalah

 \mathcal L_X T_{ab} = X^c \nabla_c T_{ab} + (\nabla_a X^c)T_{cb} + (\nabla_b X^c) T_{ac} = X^c T_{ab,c} +  X^c_{,a} T_{cb} + X^c_{,b} T_{ac}

Lebih umumnya,

 \mathcal L_X T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} = X^c(\nabla_cT^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s}) - (\nabla_cX ^{a_1}) T ^{c \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} - \ldots - (\nabla_cX^{a_r}) T ^{a_1 \ldots a_{r-1}c}{}_{b_1 \ldots b_s} +
+  (\nabla_{b_1}X^c) T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{c \ldots b_s} + \ldots + (\nabla_{b_s}X^c) T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_{s-1} c}

Salah satu dari kegunaan utama derivatif Lie dalam kerealtifan am adalah kajian simetri masa angkasa di mana tensor atau benda geometri lain dikekalkan. Pada khususnya, simetri Killing (simetri tensor metrik di bawah heretan Lie) bermuncul sangat sering dalam kajian masa angkasa. Menggunakan rumusan di atas, kita dapat menuliskan keadaan yang harus dipuaskan untuk sebuah jurusan vektor untuk menjalankan sebuah simetri Killing:

 \mathcal L_X g_{ab} = 0
 \nabla_a X_b + \nabla_b X_a = 0, which is equivalent to  X^c g_{ab,c} +  X^c_{,a} g_{bc} + X^c_{,b} g_{ac}\, = 0.

Tensor kelengkungan Riemann[sunting | sunting sumber]

Suatu ciri penting kerelatifan am adalah konsep suatu berlipat ganda berlengkung. Suatu cara berguna mengukur kelengkungan suatu berlipat ganda adalah dengan sebuah objek digelar tensor Riemann (kelengkungan).

Tensor ini mengukur kelengkungan dengan menggunakan suatu affine connection dengan menganggap kesan angkutan selari suatu vektor di antara dua titik bersama dua lengkung. Percanggahan di antara keputusan jalan angkutan selari adalah secara penting quantified oleh tensor Riemann.

Ciri ini dari tensor Riemann dapat digunakan untuk menjelaskan bagaimana pada mulanya geodesik selari menyimpang. Ini dijelaskan oleh persamaan penyelewengan geodesik dan bermakna bahawa kuasa tidal mengalami dalam sebuah jurusan kegravitian adalah suatu keputusan kelengkungan masa angkasa.

Menggunakan tatacara di atas, tensor Riemann ditakrifkan sebagai sejenis (1,3) tensor dan apabila dituliskan secara jelas mengandungi tanda Christoffel dan derivatif separuh pertamanya. Tensor Riemann mempunyai 20 komponen berdikari. Keghaiban kesemua kompoen ini ke atas suatu rantau mengindikasikan bahawa masa angkasa adalah datar di rantau itu. Dari sudut pendangan penyelewangan geodesik, ini bermakna bahawa secara mulanya geodesik selari dalam rantau itu masa angkasa akan tetap selari.

Tensor Riemann mempunyai suatu bilangan ciri kadang-kadang dirujukkan sebagai tensor simetri tensor Riemann. Dari perkaitan khusus dengan kerelatifan am adalah pengenalan beralgebra dan kebezaan are Bianchi.

Hubungan dan kelengkungan mana-mana lipatan ganda Riemannian adalah berkaitan dekat, teori kelompok holonomy, yang dibentuk dengan mengambil peta garis lurus ditakrifkan oleh angkutan selari di keliling lengkung di lipatan ganda, memberikan suatu penjelasan hubungan ini.

Tensor kederasan tanaga[sunting | sunting sumber]

Sumber-sumber mana-mana jurusan kegravitian (jirim dan tenaga) diwakili dalam kerelatifan dengan sejenis (0,2) tensor simetri digelar tensor kederasan tenaga. Ia secara berhampiran berkaitan dengan tensor Ricci. Menjadi suatu tensor penempatan kedua dalam empat dimensi, tensor kederasan tenaga dapat dilihat sebagai suatu 4 kali 4 matriks. Pelbagai jenis matriks dapat diterima, bergelar bentuk Jordan tidak dapat semua berlaku, oleh kerana keadaan tenaga yang tensor kederasan tenaga dipaksa untuk memuaskan peraturan sesetengah bentuk.

Pemuliharaan tenaga[sunting | sunting sumber]

Dalam GR, ada suatu hukum tempatan untuk pemuliharaan kederasan tenaga. Ia dapat disecara ringkas dan padat dijelaskan oleh persamaan tensor:

T^{ab}{}_{;b} \, =0.

Kenyataan berkorespon pemuliharaan tenaga tempatan dalam kerelatifan khas adalah:

T^{ab}{}_{,b} \, =0.

Ini mengilustrasikan rule of thumb yang 'derivatif separuh pergi ke derivatif kovarian'.

Persamaan medan Einstein‎[sunting | sunting sumber]

Persamaan medan Einstein‎ (EFE) adalah teras teori kerelatifan umum. EFE menjelaskan bagaimana massa dan tenaga (seperti diwakili dalam tensor tenaga tekanan) berkaitan dengan kelengkungan ruangmasa (seperti diwakili dalam tensor Einstein). Dalam notasi indeks abstrak, EFE membaca seperti yang berikut:

G_{ab} + \Lambda g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}

di mana G_{ab} adalah tensor Einstein, \Lambda adalah konstan kosmologi, c adalah kelajuan cahaya dalam sebuah vakum dan G adalah konstan kegravitian, yang datang dari Hukum kegravitian alam semesta Newton.

Jawapan EDE adalah tensor metrik. EFE, dijadikan persamaan kebezaan bukan lurus untuk metrik, sering sukar diselesaikan. Ada sebilangan strategi digunakan untuk menyelesaikan mereka. Contohnya, satu strategi bermula dengan suatu ansatz (atau suatu agak yang berpendidikan) metrik akhir, dan menghalusnya hingga ia cukup khusus untuk menyokong suatu sistem koordinat tetapi masih cukup umum untuk menghasil suatu set persamaan kebezaan serentak dengan yang tidak diketahui yang dapat diselesaikan. Tensor metrik disebabkan dari hal-hal di mana persamaan kebezaan yang mengakibatkan dapat diselesaikan secara tepat untuk untuk suatu pengedaran berpatutan fizikal kederasan tenaga digelar jawapan tepat. Contoh jawapan tepat penting termasuk jawapan Schwarzschild dan jawapan Friedman-Lemaître-Robertson-Walker.

Anggaran EIH tambahnya rujukkan lain (contohnya Geroch and Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Jilid 16 Isu 1).

Persamaan geodesik[sunting | sunting sumber]

Sekali EFE diselesaikan untuk memperolehi suatu metrik, ia ditinggalkan untuk menentukan mosi objek intertial dalam ruangmasa. Dalam kerelatifan umum, ia dianggapkan bahawa mosi intertial wujud bersama dengan geodesik seperti masa dan tidak sah ruangmasa seperti diparameterkan oleh masa sesuai. Geodesik adalah lengkung yang angkut selari vektor tangen mereka sendiri  \vec U, iaitu \nabla_ {\vec U} \vec U =0. Keadaan ini - persamaan geodesik - dapat dituliskan dari segi suatu sistem koordinat x ^a dengan vektor tangen U^a= \frac{dx^a}{d \tau}:

\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \, \dot{x}^c = 0

di mana \dot{} = d/d\tau, τ memparameterkan masa sesuai bersama dengan lengkung dan kehadiran tanda Christoffel dibuat diketarakan.

Suatu ciri prinsip kerelatian umum adalah untuk menentukan laluan habuk dan pancaran dalam jurusan kegravitian. Ini dicapai dengan menyelesaikan persamaan geodesik.

EFE mengaitkan pengedaran jumlah jirim (tenaga) dengan kelengkungan masa angkasa. Ketidaklurusan mereka membawa ke suatu masalah dalam menentukan mosi khusus dalam ruangmasa mengakibatkan. Contohnya, dalam suatu sistem terdiri dari satu planet mengelilingi sebuah bintang, mosi planet ditentukan dengan menyelesaikan persamaan jurusan dengan tensor momentum tenaga jumlah dari itu untuk planet dan bintang. Jurusan kegravitian planet mengesankan jumlah geometri ruangmasa dan oleh itu mosi objek-objek. Ia oleh sebab itu berpatutan untuk menganggapkan bahawa persamaan jurusan dapat digunakan untuk menibakan persamaan geodesik.

Apabila tensor kederasan tenaga untuk suatu sistem adalah yang pada debu, ia dapat ditunjukkan denga menggunakan hukum pemuliharaan tempatan untuk kederasan tenaga yang persamaan geodesik dipuaskan secara tepat.

Kerumusan Lagrangian[sunting | sunting sumber]

Isu persamaan mosi atau persamaan jurusan dalam mana-mana teori fizikal dianggap oleh banyak penyelidik adalah menarik. Suatu cara cukup sejagat melaksanakan derivasi ini adalah dengan menggunakan teknik-teknik kalkulus kevariasian, objek-obejk utama digunakan dalam ini dijadikan Lagrangian.

Banyak menganggap kecapaian ini adalah suatu cara anggun membinakan suatu teori, yang lain melihatnya sebagai cara rasmi menjelaskan suatu teori (biasanya, pembinaan Lagrangian dilaksanakan selepas teori telah dibangunkan).

Nota[sunting | sunting sumber]

[1] Ciri mentakrifkan (gagasan fizikal berpusat) kerelatifan umum adalah bahawa jirim dan tenaga menyebabkan geometri ruangmasa di keliling untuk diukirkan.

Rujukan[sunting | sunting sumber]

[1] Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8. 
[2] Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 
[3] Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7. 
Subbidang am dalam Fizik

Elektromagnetisme | Fizik atom, molekul, dan optik | Fizik jirim termeluwap | Fizik zarah | Kerelatifan am | Kerelatifan khas | Mekanik klasik | Mekanik kontinuum | Mekanik kuantum | Mekanik statistik | Teori medan kuantum | Termodinamik