Matematik tulen

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Secara umum, matematik tulen ialah matematik yang dimotivasikan sepenuhnya untuk taakulan dan kesimpulan, bukan untuk aplikasi. Ia dibezakan dengan rigor, pengabstrakan, dan keindahan matematik. Sejak kurun ke-18 dan seterusnya, ia diiktiraf sebagai salah satu kategori dalam aktiviti matematik, kadang-kadang digambarkan sebagai matematik spekulatif ,[1] dan berbeza dengan trend memenuhi keperluan aplikasi dalam navigasi, astronomi, fizik, kejuruteraan dan sebagainya. Ada pandangan yang menyatakan matematik tulen itu sebagai matematik yang tidak semestinya diaplikasikan[2].

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Yunani Purba[sunting | sunting sumber]

Ahli matematik Yunani purba adalah antara yang pertama membezakan antara matematik tulen dan matematik gunaan. Plato membantu menetapkan jurang antara "aritmetik" (sekarang dipanggil teori nombor) dengan "logistik" (sekarang dipanggil aritmetik). Plato menganggap logistik (aritmetik) sesuai untuk ahli perniagaan dan pemimpin tentera yang "..mesti mempelajari seni nombor, jika tidak mereka tidak akan tahu bagaimana menyusun tentera mereka..", manakala aritmetik (teori nombor) hanya sesuai untuk ahli falsafah "..kerana mereka perlu keluar dari lautan perubahan dan mencari kebenaran."[3] Apabila Euclid dari Iskandariah ditanya oleh salah seorang pelajarnya tentang apa perlunya mempelajari geometri, beliau lantas menyuruh hambanya memberikan pelajar tersebut threepence (wang syiling), dan berkata "kerana dia memerlukan keuntungan untuk setiap apa yang dipelajarinya."[4] Ahli matematik Yunani Apollonius dari Perga pernah ditanya tentang kegunaan beberapa teoremnya dalam Buku IV kitab Konik", dengan bangganya beliau menjawab:[5]

Ia layak diterima demi untuk demonstrasi itu sendiri, sepertimana kita menerima banyak lagi perkara lain dalam matematik hanya kerana ini dan tanpa sebab lain.

Oleh kerana banyak dari keputusan-keputusannya tidak boleh diaplikasikan ke dalam sains atau kejuruteraan pada zamannya, Apollonius berhujah dalam kata pengantar kitab Konik yang subjek tersebut adalah salah satu subjek yang "..kelihatan layak dikaji untuk kepentingannya sendiri".[5]

Abad ke-19[sunting | sunting sumber]

Istilah ini sendiri diabadikan dalam judul penuh kursi Sadleir yang diasaskan (sebagai jawatan profesor) pada pertengahan kurun ke-19. Idea tentang disiplin berasingan untuk matematik tulen mungkin mula muncul pada masa ini. Generasi sezaman dengan Gauss tidak membuat perbezaan ketara antara tulen dan gunaan. Tahun-tahun berikutnya, pengkhususan dan pengikhtisasan (terutamanya dalam pendekatan Weierstrass untuk analisis matematik) telah mula membongkar selok belok bidang ini.

Abada ke-20[sunting | sunting sumber]

Pada permulaan abad ke-20, ahli matematik menggunakan kaedah aksiom yang mendapat pengaruh kuat dari contoh David Hilbert. Formulasi logik untuk matematik tulen dicadangkan oleh Bertrand Russell dalam bentuk satu struktur pengkuantiti proposisi yang menjadikannya kelihatan semakin munasabah kerana semakin banyak bahagian matematik yang diaksiomkan, dan oleh itu ia tertakluk pada kriteria bukti rigor.

Sesungguhnya dalam tetapan aksiomatik, rigor tidak menambah apa pun kepada idea bukti. Menurut satu pandangan yang berkaitan dengan kumpulan Bourbaki, matematik tulen ialah matematik yang dibuktikan. Ahli matematik tulen kemudiannya menjadi satu kerjaya yang diiktiraf, dan dapat dicapai melalui latihan.

Sifat umum dan pengabstrakan[sunting | sunting sumber]

Konsep utama dalam matematik tulen ialah idea sifat umum; matematik tulen sering menunjukkan kecenderungan pada penambahan sifat umum.

  • Teorem atau struktur matematik yang bersifat umum boleh memberi pemahaman lebih mendalam tentang teorem dan struktur asli.
  • Sifat umum boleh meringkaskan persembahan bahan, menghasilkan bukti atau hujah yang lebih pendek dan mudah diikuti.
  • Sifat umum boleh digunakan untuk mengelakkan usaha berganda, ia dapat membuktikan keputusan yang umum berbanding perlu membuktikan kes-kes berasingan satu persatu, atau menggunakan keputusan dari bidang matematik yang lain.
  • Sifat umum boleh memudahkan hubungan antara cabang matematik yang berbeza. Teori kategori ialah salah satu bidang matematik yang meneroka kesamaan struktur ini, kerana ia berhubung dengan beberapa bidang dalam matematik.

Kesan sifat umum ke atas intuisi atau gerak hati adalah bergantung kepada subjek serta keutamaan atau gaya pembelajaran peribadi. Sering juga sifat umum dilihat sebagai halangan kepada gerak hati, walaupun ia sepatutnya berfungsi sebagai bantuan kepadanya, terutamanya apabila ia memberikan kiasan-kiasan untuk bahan bagi seseorang yang sudah memiliki gerak hati yang baik.

Sebagai contoh utama sifat umum, program Erlangen melibatkan pengembangan subjek geometri yang memberi ruang kepada sub bidang seperti geometri bukan Euclid dan bahagian topologi, serta bentuk lain geometri, dengan melihat geometri sebagai kajian ruang bersama-sama dengan kumpulan transformasi. Subjek algebra dalam cabang nombor pada peringkat siswazah, boleh berkembang kepada algebra abstrak pada peringkat yang lebih tinggi; dan subjek kalkulus dalam cabang fungsi pada peringkat terawal kolej, akan menjadi analisis matematik dan analisis fungsi pada peringkat yang lebih tinggi. Hakikatnya, setiap cabang-cabang matematik yang lebih abstrak ini mungkin mempunyai banyak sub-pengkhususan dan terdapat banyak kaitan antara disiplin matematik tulen dan matematik gunaan. Bagaimanapun, tidak dinafikan yang terdapat peningkatan yang besar dalam pengabstrakan seperti dilihat pada pertengahan kurun ke-20.

Dalam praktik, perkembangan ini menyebabkan penyimpangan yang besar dari fizik, terutamanya seperti yang terjadi antara tahun 1950 hingga 1980. Hal ini mendapat kritikan contohnya dari Vladimir Arnold yang berpendapat, ia terlalu banyak mengambil kaedah Hilbert, dan kurang mengambil kaedah Poincaré. Inti perdebatan ini nampaknya tidak dapat diselesaikan (tidak seperti kontrovesi asas mengenai teori set), dengan teori rentetan menjauhi ke satu arah, sementara matematik diskret menariknya kembali ke arah bukti sebagai pusat.

Purisme (ketulenan)[sunting | sunting sumber]

Ahli matematik sentiasa memiliki pendapat berlainan tetang perbezaan antara matematik tulen dan gunaan. Antara contoh moden untuk perdebatan ini yang terkenal (tetapi mungkin juga disalah tafsir) boleh didapati dalam karya G.H. Hardy, A Mathematician's Apology.

Adalah dipercayai ramai yang Hardy menganggap matematik gunaan sebagai hodoh dan kusam. Walaupun adalah benar Hardy memilih matematik tulen yang beliau bandingkan dengan seni lukis dan sajak, Hardy melihat perbezaan antara matematik tulen dan gunaan dengan ringkas: matematik gunaan cenderung untuk mengungkap kebenaran fizikal dalam rangka kerja matematik, sementara matematik tulen mengungkap kebenaran yang tidak bergantung pada dunia fizikal. Hardy membuat perbezaan berasingan dalam matematik antara apa yang beliau gelar matematik "sebenar" (matematik tulen), "yang mempunyai nilai estetik yang berkekalan", dan "bahagian asas dan kusam dalam matematik" yang dapat dipraktikkan (matematik gunaan).

Hardy menganggap beberapa ahli fizik seperti Einstein dan Dirac, antara ahli matematik "sebenar", tetapi ketika beliau menulis Apology beliau juga menganggap kerelatifan am dan mekanik kuantum sebagai "tak berguna", membenarkan beliau berpegang pada pendapat yang hanya matematik "kusam" yang berguna. Selain itu, Hardy secara ringkas mengakui yang - sepertimana aplikasi teori matriks dan teori kumpulan dalam fizik yang tidak dijangka - mungkin akan sampai masanya beberapa jenis matematik "sebenar" yang indah, dapat dipraktikkan juga.

Pandangan lain diberikan oleh Magid[2]:

"Saya sentiasa menganggap model yang baik ini boleh diperolehi dari teori gelanggang. Dalam subjek tersebut, salah satunya memiliki sub bidang teori gelanggang komutatif dan teori gelanggang tak komutatif. Seorang pemerhati yang tidak diberitahu mungkin terfikir yang ini mungkin mewakili satu pembahagian dua, tetapi hakikatnya satu gelanggang tak komutatif ialah gelanggang yang tak semestinya komutatif. Jika kita menggunakan perumpamaan yang sama, maka kita merujuk kepada matematik gunaan dan matematik tak gunaan, dengan matematik tak gunaan bermaksud matematik yang tak semestinya diaplikasikan… [emphasis added]"

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  1. Lihat contoh tajuk karya-karya Thomas Simpson dari pertengahan kurun ke-18: Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mixed Mathematicks, Miscellaneous Tracts on Some Curious and Very Interesting Subjects in Mechanics, Physical Astronomy and Speculative Mathematics.[1]
  2. 2.0 2.1 Andy Magid, Letter from the Editor, in Notices of the AMS, November 2005, American Mathematical Society, p.1173. [2]
  3. Boyer, Carl B. (1991). "The age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (edisi Second Edition). John Wiley & Sons, Inc.. m/s. 86. ISBN 0471543977. "Plato is important in the history of mathematics largely for his role as inspirer and director of others, and perhaps to him is due the sharp distinction in ancient Greece between arithmetic (in the sense of the theory of numbers) and logistic (the technique of computation). Plato regarded logistic as appropriate for the businessman and for the man of war, who "must learn the art of numbers or he will not know how to array his troops." The philosopher, on the other hand, must be an arithmetician "because he has to arise out of the sea of change and lay hold of true being."" 
  4. Boyer, Carl B. (1991). "Euclid of Alexandria". A History of Mathematics (edisi Second Edition). John Wiley & Sons, Inc.. m/s. 101. ISBN 0471543977. "Evidently Euclid did not stress the practical aspects of his subject, for there is a tale told of him that when one of his students asked of what use was the study of geometry, Euclid asked his slave to hive the student threepence, "since he must make gain of what he learns."" 
  5. 5.0 5.1 Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (edisi Second Edition). John Wiley & Sons, Inc.. m/s. 152. ISBN 0471543977. "It is in connection with the theorems in this book that Apollonius makes a statement implying that in his day, as in ours, there were narrow-minded opponents of pure mathematics who pejoratively inquired about the usefulness of such results. The author proudly asserted: "They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason." (Heath 1961, p.lxxiv).
    The preface to Book V, relating to maximum and minimum straight lines drawn to a conic, again argues that the subject is one of those that seem "worthy of study for their own sake." While one must admire the author for his lofty intellectual attitude, it may be pertinently pointed out that s day was beautiful theory, with no prospect of applicability to the science or engineering of his time, has since become fundamental in such fields as terrestrial dynamics and celestial mechanics."
     

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Pautan luar[sunting | sunting sumber]