Rumus jisim separa empirik

Dalam fizik nuklear, rumus jisim separa empirik, kadang kala dikenali sebagai rumus Weizsäcker, iaitu rumus untuk menganggarkan jisim dan ciri lain bagi nukleus atom. Seperti juga namanya, ia sebahagiannya diasaskan daripada teori dan sebahagian lagi pengukuran empirik; teori berdasarkan "model titisan cecair", dan boleh digunakan bagi kebanyakan sebutan dalam rumus, dan memberikan anggaran secara kasar bagi nilai pekali. Ia dirumuskan pada kali pertama pada 1935 oleh ahli fizik Jerman, Carl von Weizsäcker, dan walaupun pengubahsuaian telah dilakukan terhadap pekali saban tahun, bentuk rumus masih tidak berubah hingga kini.

Rumus ini tidak sepatutnya dikelirukan dengan rumus jisim oleh pelajar Weizsäcker, Burkhard Heim.

Rumus ini memberikan penganggaran yang baik bagi jisim atom dan beberapa kesan yang lain, tetapi tidak menerangkan kewujudan bilangan ajaib.

Model titisan cecair dan analisisnya

Model titisan cecair adalah satu model dalam fizik nuklear yang menganggap nukleus sebagai satu titis bendalir nukleus yang tidak termampat, kali pertama dicadangkan oleh George Gamow dan dibangunkan oleh Niels Bohr dan John Archibald Wheeler. Bendallir ini terdiri daripada nukleon (proton dan neutron), yang terikat oleh daya nuklear kuat.

Walau bagaimanapun, daya ini adalah secara kasar yang tidak menerangkan semua ciri nukleus, tetapi menerangkan bentuk sfera bagi kebanyakan nukleus. Ia juga membantu meramalkan tenaga ikatan bagi nukleus.

Analisis matematik bagi teori ini memberikan persamaan yang cuba meramalkan tenaga ikatan bagi nukleus dalam sebutan bilangan proton dan neutron yang dikandungnya. Persamaan ini mempunyai lima sebutan di bahagian kanan. Ia berikutan kejelekitan ikatan bagi semua nukleon oleh daya nuklear kuat, saling penolakan elektrostatik proton, sebutan tenaga permukaan, sebutan asimetri (diterbitkan daripada proton dan neutron yang mengisi keadaan momentum kuantum bebas) dan sebutan berpasangan (sebahagiannya diterbitkan daripada daripada proton dan neutron yang mengisi keadaan spin kuantum bebas).

Jika kita pertimbangkan jumlah lima jenis tenaga ini, maka gambaran bagi nukleus sebagai titisan cecair adalah disebabkan pemerhatian bagi tenaga ikatan nukleus:

Tenaga isipadu. Apabila sehimpunan nukleon dengan saiz yang sama dipadatkan bersama menjadi isipadu yang terkecil, setiap nukleon dalaman mempunyai bilangan yang tertentu bagi nukleon lain yang bersentuhan dengannya. Maka, tenaga nuklear ini berkadaran dengan isipadu.

Tenaga permukaan. Nukleon di permukaan nukleus bertindak balas dengan beberapa nukleon lain tetapi dalam bilangan yang sedikit berbanding yang di bahagian dalam nukleus, maka tenaga ikatannya adalah kurang. Sebutan tenaga permukaan ini diambil kira sebagai negatif dan berkadaran dengan luas permukaan.

Tenaga Coulomb. Tolakan elektrik antara setiap pasangan proton dalam nukleus menyumbang kepada pengurangan tenaga ikatan.

Tenaga asimetri (juga dipanggil Tenaga Pauli). Tenaga yang dikaitkan dengan prinsip pengecualian Pauli. Jika bukan disebabkan oleh tenaga Coulomb, bentuk yang paling stabil bagi jirim nuklear adalah N=Z, memandangkan nilai yang tidak sama bagi N dan Z menandakan pengisian aras tenaga yang lebih tinggi bagi satu jenis zarah, manakala meninggalkan aras tenaga yang lebih rendah kekosongan bagi jenis yang lain.

Tenaga berpasangan. Tenaga yang merupakan pembetulan, timbul daripada kecenderungan bagi pasangan proton dan pasangan neutron untuk terbentuk. Bilangan genap bagi zarah adalah lebih stabil berbanding bilangan ganjil.

Rumus

Dalam persamaan berikut, A adalah jumlah bilangan nukleon, Z bilangan proton, dan N bilangan neutron.

Jisim bagi nukleus atom diberikan oleh

$m=Zm_{p}+Nm_{n}-{\frac {E_{B}}{c^{2}}}$

iaitu $m_{p}$ dan $m_{n}$ adalah jisim rehat bagi proton dan neutron, dan $E_{B}$ adalah tenaga ikatan bagi nukleus. Rumus jisim separa empirik menyatakan bahawa tenaga ikatan adalah:

$E_{B}=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}+\delta (A,Z)$

Sebutan

Sebutan isipadu

Sebutan $a_{V}A$ dikenali sebagai sebutan isipadu. Isipadu nukleus adalah berkadaran dengan A, maka sebutan ini berkadaran dengan isipadu.

Asas bagi sebutan ini adalah daya nuklear kuat. Data kuat mempengaruhi kedua-dua proton dan neutron, dan seperti yang dijangka, sebutan ini adalah bebas Z. Disebabkan bilangan pasangan yang boleh diambil dari A zarah ialah ${\frac {A(A-1)}{2}}$, kita boleh jangkakan sebutan yang berkadaran dengan $A^{2}$. Walau bagaimanapun, daya kuat mempunyai julat yang sangat terhad, dan nukleon yang diberi mungkin hanya bertindak balas dengan kuat dengan jiran terdekat dan yang disebelahnya. Maka, bilangan pasangan zarah yang benar-benar bertindak balas lebih kurang berkadaran dengan A, yang memberikan bentuk sebutan isipadu.

Pekali $a_{V}$ adalah lebih kecil berbanding tenaga ikatan nukleon terhadap jirannya $E_{b}$, yang merupkan tertib 40 MeV. Ini disebabkan lebih besar bilangan nukleon dalam nukleus, lebih besar tenaga kinetiknya, disebabkan prinsip pengecualian Pauli. Jika kita menganggap nukleus sebagai bola Fermi bagi $A$ nukleon, dengan bilangan yang sama bagi proton dan neutron, maka jumlah tenaga kinetik adalah ${3 \over 5}A\epsilon _{F}$, dengan $\epsilon _{F}$ tenaga Fermi yang dianggarkan sebagai 38 MeV. Maka, nilai yang dijangka bagi $a_{V}$ model ini ialah $E_{b}-{3 \over 5}\epsilon _{F}\sim 17\;\mathrm {MeV}$, tidak jauh dari nilai yang diukur.

Sebutan permukaan

Sebutan $a_{S}A^{2/3}$ dikenali sebagai sebutan permukaan. Istilah ini, juga diasaskan oleh daya kuat, merupakan pembetulan kepada sebutan isipadu.

Sebutan isipadu mencadangkan bahawa setiap nukleon berinteraksi dengan bilangan nukleon yang tetap, tidak bergantung kepada A. Walaupun ini hampir benar bagi nukleon yang berada di bahagian dalam nukleus, nukleon yang berada di permukaan nukleus mempunyai jiran terdekat yang kurang, mengesahkan pembetulan ini. Ia juga boleh dianggap sebagai sebutan ketegangan permukaan, malah mekanisme yang sama juga menyebabkan ketegangan permukaan dalam cecair.

Jika isipadu nukleus berkadaran dengan A, maka jejarinya patut berkadaran dengan $A^{1/3}$ dan luas permukaannya dengan $A^{2/3}$. Ini menerangkan mengapa sebutan permukaan berkadaran dengan $A^{2/3}$. Ia juga boleh ditahkikkan bahawa $a_{S}$ sepatutnya mempunyai tertib magnitud yang sama dengan $a_{V}$.

Sebutan Coulomb

Sebutan $a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}$ dikenali sebagai sebutan Coulomb atau elektrostatik.

Asas bagi sebutan ini ialah tolakan elektrostatik antara proton. Sebagai anggaran kasar, nukleus boleh dianggapkan satu sfera dengan ketumpatan cas yang seragam. Tenaga keupayaan bagi taburan cas tersebut boleh ditunjukkan menjadi

$E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}$

iaitu Q adalah jumlah cas dan R adalah jejari sfera. Mengenalpasti Q dengan $Ze$, dan memerhatikan bahawa jejari adalah berkadaran dengan $A^{1/3}$, kita menghampiri kepada bentuk sebutan Coulomb. Walau bagaimanapun, disebabkan tolakan elektrostatik hanya wujud bagi proton yang lebih daripada satu, $Z^{2}$ menjadi $Z(Z-1)$. Nilai $a_{C}$ boleh dikira dengan anggaran seperti persamaan di bawah:

Jejari nuklear empirikal:

$R=r_{0}A^{\frac {1}{3}}$

Integer cas kuantum:

$Q=Ze\ .$

$Z^{2}=Z(Z-1)\ .$

Kamiran melalui penggantian: $E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\right){\frac {(Ze)^{2}}{(r_{0}A^{\frac {1}{3}})}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \epsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}={\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \epsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}=a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}$

Tenaga keupayaan bagi taburan cas:

$E={\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \epsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}$

Pemalar Coulomb Elektrostatik:

$a_{C}={\frac {3e^{2}}{20\pi \epsilon _{0}r_{0}}}$

Nilai $a_{C}$ menggunakan pemalar struktur halus:

$a_{C}={\frac {3}{5}}\left({\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}\right)$

iaitu $\alpha$ adalah pemalar struktur halus dan $r_{0}A^{1/3}$ adalah jejari nukleus, diberikan $r_{0}$ menghampiri 1.25 femtometer. Ini memberikan $a_{C}$ menjadi nilai teori anggaran 0.691 MeV, tidak jauh dari nilai yang diukur.

$a_{C}=0.691\;{\text{Mev}}$

Sebutan asimetri

Ilustrasi asas bagi sebutan asimetri

Sebutan $a_{A}{\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}$ dikenali sebagai sebutan asimetri. Pengesahan secara teori bagi sebutan ini adalah lebih rumit. Perhatikan apabila $A=N+Z$, pernyataan yang dikurungkan itu boleh dituliskan semula sebagai $(N-Z)$. Bentuk $(A-2Z)$ digunakan untuk mengekalkan kebergantungan terhadap A supaya jelas, kerana ia amat penting bagi rumus.

Prinsip pengecualian Pauli menyatakan dua fermion tidak boleh berada pada keadaan kuantum yang sama. Pada sebarang aras tenaga yang diberi, hanya terdapat bilangan yang tertentu bagi keadaan kuantum yang boleh diisi bagi zarah. Maknanya dalam aspek nukleus adalah semakin banyak zarah yang "ditambah", zarah ini akan mengisi aras tenaga yang lebih tinggi, dan meningkatkan jumlah tenaga nukleus (dan menguruangkan tenaga ikatan). Perhatikan yang kesan ini tidak diasaskan oleh daya asas (kegravitian, elektromagnet, dll.) tetapi hanya prinsip pengecualian Pauli.

Proton dan neutron, zarah yang lain jenisnya, menduduki keadaan kuantum yang berbeza. Kita boleh menganggap yang terdapatnya dua "kolam" keadaan, satu untuk proton dan satu untuk neutron. Kini, sebagai contoh, jika neutron lebih dari proton dalam sesuatu nukleus, sesetengah neutron akan mempunyai tenaga yang lebih tinggi berbanding keadaan dalam kolam proton. Jika kita boleh memindahkan bberapa zarah dari kolam neutron ke kolam proton, dalam kata lain, menukar neutron menjadi proton, kita akan mengurangkan tenaganya dengan ketara. Ketidak seimbangan antara bilangan proton dan neutron menyebabkan tenaga menjadi lebih tinggi dan ia adalah perlu, bagi bilangan nukleon yang diberi. Inilah asas bagi sebutan asimetri.

Bentuk sebenar sebutan asimetri boleh diterbitkan oleh memodelkan nukleus sebagai bola Fermi yang mengandungi proton dan neutron. Jumlah tenaga kinetiknya ialah

$E_{k}={3 \over 5}(N_{p}{\epsilon _{F}}_{p}+N_{n}{\epsilon _{F}}_{n})$

iaitu $N_{p}$, $N_{n}$ adalah bilangan proton dan neutron dan ${\epsilon _{F}}_{p}$, ${\epsilon _{F}}_{n}$ adalah tenaga Fermi masing-masing. Memandangkan yang kemudian itu berkadaran dengan ${N_{p}}^{2/3}$ dan ${N_{n}}^{2/3}$, kita akan mendapati

$E_{k}=C(N_{p}^{5/3}+N_{n}^{5/3})$ bagi sesetengah pemalar C.

Ini membawa kepada pengembangan dalam perbezaan $N_{n}-N_{p}$ is then

$E_{k}={C \over 2^{2/3}}\left((N_{p}+N_{n})^{5/3}+{5 \over 9}{(N_{n}-N_{p})^{2} \over (N_{p}+N_{n})^{1/3}}\right)+O((N_{n}-N_{p})^{2})$

Pada pengembangan tertib sifar, tenaga kinetiknya hanyalah tenaga Fermi $\epsilon _{F}\equiv {\epsilon _{F}}_{p}={\epsilon _{F}}_{n}$ didarabkan dengan ${3 \over 5}(N_{p}+N_{n})^{2/3}$. Maka kita akan peroleh

$E_{k}={3 \over 5}\epsilon _{F}(N_{p}+N_{n})^{2/3}+{1 \over 3}\epsilon _{F}{(N_{n}-N_{p})^{2} \over (N_{p}+N_{n})}+O((N_{n}-N_{p})^{4})={3 \over 5}\epsilon _{F}A^{2/3}+{1 \over 3}\epsilon _{F}{(A-2Z)^{2} \over A}+O((A-2Z)^{4})$

Sebutan pertama menyumbang kepada sebutan isipadu dalam rumus jisim separa empirik, dan sebutan kedua adalah negatif kepada sebutan asimetri (tenaga kinetik menyumbang kepada jumlah tenaga ikatan dengan tanda negatif).

$\epsilon _{F}$ adalah 38 MeV, maka kira $a_{A}$ daripada persamaan di atas, kita hanya mendapat setengah nilai dari yang diukur. Percanggahan ini diterangkan oleh model yang sebenarnya tidak begitu tepat: nukleon sebenarnya berinteraksi antara satu sama lain, dan tidak ditaburi secara seragam di dalam nukleus. Sebagai contoh, model petala, satu proton dan neutron fungsi gelombang yang bertindih akan mempunyai interaksi kuat antara mereka dan tenaga ikatan yang lebih kuat. Ini membuatkannya lebih bertenaga bagi proton dan neutron untuk mempunyai nombor kuantum yang sama (selain isospin), lantas meningkatkan tenaga yang disebabkan asimetri antara mereka.

Kita juga perlu memahami sebutan asimetri secara mendalam. Ia patut bergantung kepada beza mutlak $|N-Z|$, dan bentuk $(A-2Z)^{2}$ adalah mudah dan mampu dibezakan, yang amat penting bagi sesetengah penggunaan bagi rumus ini. Tambahan pula, perbezaan kecil antara Z dan N tidak melibatkan tenaga tinggi. A di pembawah menunjukkan perbezaan yang diberi $|N-Z|$ adalah kurang ketara bagi nilai A yang lebih besar.

Sebutan berpasangan

Sebutan $\delta (A,Z)$ dikenali sebagai sebutan berpasangan (mungkin juga dikenali sebagai tindak balas berpasangan). Sebutan ini melibatkan kesan gandingan spin. Ia diberi oleh:

$\delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&Z,N{\mbox{ genap }}(A{\mbox{ genap }})\\0&A{\mbox{ ganjil }}\\-\delta _{0}&Z,N{\mbox{ ganjil }}(A{\mbox{ genap}})\end{cases}}$

iaitu

$\delta _{0}={\frac {a_{P}}{A^{1/3}}}$

Disebabkan oleh prinsip pengecualian Pauli, nukleus akan mempunyai tenaga yang lebih rendah jika bilangan proton dengan spin atas sama dengan bilangan proton dengan spin bawah. Ini juga benar bagi neutron. Hanya jika Z dan N genap, kedua-dua proton dan neutron boleh mempunyai bilangan zarah spin atas dan spin bawah yang sama. Ini adalah kesan yang serupa dengan sebutan asimetri.

Faktor $A^{-1/3}$ tidak mudah diterangkan secara teori. Pengiraan bola Fermi yang kita gunakan di atas, yang berdasarkan model titisan cecair tetapi mengabaikan interaksi, akan memberikan kebergantungan terhadap $A^{-1}$, seperti dalam sebutan asimetri. Ini bermakna kesan yang sebenar bagi nukleus yang lebih besar adalah lebih besar dari yang dijangkakan oleh model tersebut. Ini harus diterangkan oleh interasi antara nukleon; sebagai contoh dalam model petala, dua proton dengan nombor kuantum yang sama (selain daripada spin) akan mempunyai fungsi gelombang yang bertindih dan akan mempunyai interaksi kuat antara mereka serta tenaga ikatan yang lebih kuat. Ini membuatkan ia bertenaga bagi proton untuk berpasangan dalam pasangan spin yang berlawanan. Perkara yang sama juga berlaku pada neutron.

Mengira pekali

Pekali dikira secara menyesuaikannya dengan jisim nukleus yang diukur secara eksperimen. Nilainya boleh berubah bergantung kepada bagaimana ia disesuaikan dengan data. Beberapa contoh ditunjukkan seperti di bawah, dengan unit megaelektronvolt (MeV):

	Penyesuaian ganda dua terkecil	Wapstra	Rohlf
$a_{V}$	15.8	14.1	15.75
$a_{S}$	18.3	13	17.8
$a_{C}$	0.714	0.595	0.711
$a_{A}$	23.2	19	23.7
$a_{P}$	12	n/a	n/a
$\delta$ (genap-genap)	n/a	-33.5	+11.18
$\delta$ (ganjil-ganjil)	n/a	+33.5	-11.18
$\delta$ (genap-ganjil)	n/a	0	0

• Wapstra: Atomic Masses of Nuclides, A. H. Wapstra, Springer, 1958
• Rohlf: Modern Physics from a to Z0, James William Rohlf, Wiley, 1994

Rumus jisim separa empirik memberikan penyesuaian yang baik untuk nukleus berat, tetapi kurang bagus untuk nukleus yang sangat ringan, terutamanya ⁴He. Ini disebabkan rumus tidak mengambil kira struktur petala dalaman bagi nukleus. Bagi nukleus ringan, ia lazimnya lebih sesuai untuk menggunakan model yang mengambil kira struktur tersebut.

Contoh bagi penggunaan r umus

Dengan memaksimumkan B(A,Z) terhadap Z, kita akan mencari bilangan proton Z bagi nukleus yang stabil dengan jisim atom A. Kita dapati

$Z={1 \over 2}A{1 \over 1+A^{2/3}{a_{C} \over 4a_{A}}}$

Ini lebih kurang A/2 bagi nukleus ringan, tetapi bagi nukleus berat, terdapat persetujuan yang bagus dengan semula jadi.

Dengan menggantikan nilai Z di atas ke dalam B, kita akan memperolehi tenaga ikatan sebagai fungsi jisim atom, B(A). Dengan memaksimumkan B(A)/A terhadap A akan memberikan nukleus ikatan yang paling kuat atau stabil. Nilai yang kita dapat ialah A=63 (tembaga), hampir dengan nilai yang diukur bagi A=62 (nikel) dan A=58 (besi).

Lihat juga

• Struktur nuklear
• Model boson bertindak balas
• Model petala

Rujukan

1. R.Freedman, H.Young (2004), University Physics with Modern Physics, 11th international edition, Sears and Zemansky, 1633-4. ISBN 0-8053-8768-4.
2. S.E.Liverhant (1960), Elementary Introduction to Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons, 58-62.
3. RADIOCHEMISTRY and NUCLEAR CHEMISTRY Diarkibkan 2007-01-04 di Wayback Machine, Gregory Choppin, Jan-Olov Liljenzin, and Jan Rydberg, 3rd Edition, 2002, the chapter on nuclear stability (PDF)

Pautan luar

• Nuclear liquid drop model
• The semi-empirical mass formula Diarkibkan 2009-05-01 di Wayback Machine
• Liquid drop model in the hyperphysics online reference at Georgia State University.
• Liquid drop model with parameter fit from First Observations of Excited States in the Neutron Deficient Nuclei ^160,161W and ¹⁵⁹Ta, Alex Keenan, PhD thesis, University of Liverpool, 1999 (HTML version).