Persamaan gelombang

Jangan dikelirukan dengan Fungsi gelombang.

Persamaan gelombang ialah persamaan pembezaan separa linear tertib kedua penting bagi menggambarkan gelombang - seperti mana keadaannya dalam fizik - seperti gelombang bunyi, gelombang cahaya dan gelombang air. Ia muncul dalam bidang-bidang seperti akustik, keelektromagnetan dan dinamik bendalir. Mengikut sejarah, masalah tali yang bergetar seperti tali alat muzik telah dikaji oleh Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli dan Joseph-Louis Lagrange.

Satu denyut bergerak melalui seutas tali dengan titik hujung tetap seperti yang dimodelkan oleh persamaan gelombang.

Gelombang sfera dari sumber titik.

Pengenalan

Persamaan gelombang merupakan contoh persamaan pembezaan separa hiperbolik, tetapi ia mempunyai banyak variasi.

Dalam bentuknya yang paling ringkas, persamaan gelombang melibatkan pembolehubah masa t, satu atau lebih pembolehubah ruang x₁, x₂, …, x_n, dan fungsi skalar u = u (x₁, x₂, …, x_n; t), yang nilainya boleh memodel sesaran satu gelombang. Persamaan gelombang bagi u ialah

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u$

di mana ∇² merupakan pengendali Laplace (ruang) dan c ialah pemalar tetap.

Penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan ini yang asalnya sifar di luar sesetengah kawasan terhalang merambat keluar dari kawasan itu pada kelajuan tetap ke semua arah ruang, begitu juga dengan gelombang fizikal dari gangguan setempat; pemalar c dikenalpasti dengan kelajuan perambatan gelombang itu. Persamaan ini linear kerana hasil tambah mana-mana dua penyelesaian juga adalah penyelesaian: dalam fizik, ciri ini dinamakan prinsip superposisi.

Persamaan ini sahaja tidak menyatakan satu penyelesaian; satu persamaan unik biasanya diperoleh dengan menetapkan satu masalah dengan syarat-syarat lanjut, seperti syarat asal, yang memberi nilai dan halaju gelombang. Satu lagi kelas masalah menyatakan syarat sempadan, yang baginya penyelesaian menggambarkan gelombang pegun, atau harmonik, yang serupa dengan harmonik alat-alat muzik.

Untuk memodel fenomena gelombang terserak, iaitu gelombang yang kelajuan perambatan gelombangnya berbeza mengikut frekuensi gelombang itu, pemalar c digantikan dengan halaju fasa:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$

Persamaan gelombang elastik dalam tiga dimensi menggambarkan perambatan gelombang dalam bahantara elastik homogen isotropik. Kebanyakan bahan pepejal adalah elastik, oleh itu persamaan ini menggambarkan fenomena-fenomena seperti gelombang seismos di dalam Bumi dan gelombang ultrabunyi yang digunakan untuk mengesan kecacatan dalam bahan-bahan. Meskipun ia linear, persamaan ini mempunyai bentuk yang lebih rumit daripada persamaan yang diberikan di atas, kerana ia perlu meliputi kedua-dua pergerakan longitud dan lintang:

$\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

di mana:

• λ dan μ merupakan apa yang digelar parameter Lamé yang menggambarkan ciri-ciri elastik sesuatu bahantara,
• ρ ialah kepadatan,
• f ialah fungsi sumber (daya penggerak),
• dan u ialah vektor sesaran.

Perhatikan dalam persamaan ini, kedua-dua daya dan sesaran merupakan nilai vektor. Oleh itu, persamaan ini kadang kala dikenali sebagai persamaan gelombang vektor.

Bentuk-bentuk lain fungsi gelombang juga ditemui dalam mekanik kuantum, fizik plasma dan kerelatifan am.

Persamaan gelombang skalar dalam satu dimensi

Penerbitan persamaan gelombang

Daripada hukum Hooke

Persamaan gelombang dalam keadaan satu dimensi boleh diterbitkan daripada hukum Hooke dalam cara berikut: Bayangkan satu barisan pemberat-pemberat kecil berjisim m yang dihubungkan oleh spring-spring tidak berjisim dengan panjang h. Spring-spring ini mempunyai pemalar spring k:

Di sini, u(x) mengukur jarak dari keseimbangan jisim yang terletak di x. Daya yang dikenakan ke atas jisim m pada jarah x+h ialah:

$F_{\mathit {Newton}}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}$

$F_{\mathit {Hooke}}=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]$

Persamaan pergerakan bagi pemberat pada kedudukan x+h diberikan dengan menyamakan kedua-dua daya ini:

$m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

di mana kebergantungan pada masa u(x) telah dijelaskan.

Sekiranya barisan pemberat ini terdiri daripada N pemberat yang dijarakkan secara sama rata sepanjang jarakL = Nh jisim keseluruhan M = Nm, dan jumlah pemalar spring barisan ini K = k/N, kita boleh menulis persamaan di atas seperti ini:

${\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}$

Dengan mengambil had N → ∞, h → 0 dan mengandaikan kelicinan, persamaan berikut boleh diperoleh:

${\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}$

(KL²)/M ialah kuasa dua kelajuan perambatan dalam kes ini.

Penyelesaian umum

Persamaan gelombang 1-D kesan daripada gelombang kembara.

Persamaan gelombang satu dimensi adalah luar biasa bagi persamaan pembezaan separa kerana penyelesaian umum yang agak ringkas boleh diperoleh. Pentakrifan pembolehubah-pembolehubah baru:

$\xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct$

mengubah persaman gelombang itu kepada

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0$

yang membawa kepada penyelesaian umum

$u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )$

atau yang sepadan dengannya:

$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$

Dengan erti kata lain, penyelesaian persamaan gelombang 1D adalah hasil tambah fungsi kembara kanan F dan fungsi kembara kiri G. "Kembara" membawa maksud bentuk fungsi-fungsi rambang tersendiri ini mengikut x adalah malar, namun fungsi-fungsi ini bergerak ke kiri dan kanan mengikut masa pada kelajuan c. Ini ditakrifkan oleh Jean le Rond d'Alembert.

Satu lagi cara unutk memperoleh hasil ini adalah dengan memerhatikan bahawa persamaan gelombang ini boleh "difaktorkan":

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0$

dan oleh itu:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{dan}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

Dua persamaan akhir ini adalah persamaan alir lintang, satu kembara kiri dan satu lagi kembara kanan, kedua-duanya dengan kelajuan malar c.

Bagi satu masalah nilai asal, fungsi-fungsi rambang F dan G boleh ditentukan untuk memuaskan syarat-syarat asal:

$u(x,0)=f(x)\,$

$u_{t}(x,0)=g(x)\,$

Hasilnya ialah formula d'Alembert:

$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

Dalam pengertian klasiknya, jika f(x) ∈ C^k dan g(x) ∈ C^k−1, maka u(t, x) ∈ C^k. Namun, bentuk-bentuk gelombang F dan G boleh juga jadi fungsi itlak seperti fungsi delta. Dalam keadaan ini, penyelesaiannya boleh ditakrifkan sebagai satu impuls yang bergerak ke kanan atau kiri.

Persamaan gelombang asas ialah satu persamaan pembezaan linear dan oleh itu ia akan mematuhi prinsip superposisi. Ini bermaksud sesaran bersih yang disebabkan oleh dua atau lebih gelombang ialah hasil tambah sesaran-sesaran yang setiap gelombang sebabkan. Tambahan lagi, sifat satu gelombang boleh dianalisa dengan memecahkan gelombang itu kepada komponen-komponen, misalnya jelmaan Fourier memecahkan satu gelombang kepada komponen-komponen sinusoidnya.

Lihat juga

• Persamaan gelombang akustik
• Pemerosotan akustik
• Persamaan gelombang elektromagnet
• Persamaan Helmholtz
• Persamaan gelombang elektromagnet tidak homogen
• Pengendali Laplace
• Persamaan Schrödinger
• Gelombang pegun
• Getaran dram bulat
• Jelmaan Bateman
• Persamaan Maxwell
• Teori penyerap Wheeler-Feynman

Rujukan

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• L. Evans, "Partial Differential Equations". American Mathematical Society Providence, 1998.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions Diarkibkan 2012-03-16 di Wayback Machine", Project PHYSNET.