Siri Fourier

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Empat penganggapan siri yang pertama untuk sebuah gelombang segi empat sama.
Penjelmaan Fourier
Penjelmaan Fourier selanjar
Siri Fourier
Penjelmaan Fourier pertimbang
Penjelmaan Fourier pertimbang-masa
Penjelmaan berkaitan

Dalam matematik, siri Fourier menguraikan suatu fungsi kesemasaan atau tanda kesemasaan ke dalam jumlah fungsi berayun ringkas, digelarkan sinus dan kosinus (atau eksponensi kompleks). Kajian siri Fourier adalah secabang analisis Fourier. Siri Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768–1830) untuk tujuan menyelesaikan persamaan panas pada suatu plat logam.

Persamaan panas adalah persamaan kebezaan separuh. Sebelum karya Fourier, tiada jawapan yang dikenali pada persamaan panas pada suatu keadaan umum, walaupun jawapan khsus telah diketahui jika sumber panas berkelakukan dalam suatu cara yang mudah, pada khususnya, jika sumber panas adalah gelombang sinus atau kosinus. Jawapan ringkas ini kini kadang-kadang digelar eigensolutions. Gagasan Fourier adalah untuk memodelkan suatu sumber panas rumit sebagai kedudukan hebat (atau penggabungan lurus) sinus ringkas atau gelombang kosinus, dan untuk menulis jawapan sebagai kedudukan hebat eigensolution berkorespon. Penggabungan kedudukan hebat atau lurus digelarkan siri Fourier.

Walaupun dorongan asal adalah untuk menyelesaikan persamaan panas, ia kemudian menjadi jelas bahawa teknik-teknik sama dapat digunakan pada barisan lebar pada masalah matematik dan fizikal. Akibat asas adalah sangat mudah untuk memahami menggunakan teori moden.

Siri Fourier mempunyai banyak penggunaan dalam kejuruteraan elektrik, analisis getarak, akustik, optik, pemerosesan isyarat, pemerosesan imej, mekanik kuantum, dsb.

Perkembangan sejarah[sunting | sunting sumber]

Joseph Fourier memulakan kajian siri Fourier supaya dapat menyelesaikan persamaan panas.

Siri Fourier dinamakan pada hormatnya Joseph Fourier (1768-1830), yang membuat sumbangan penting pada kajian siri trigonometri, selepas siasatan pendahuluan oleh Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert, dan Daniel Bernoulli. Dia menggunakan teknik ini untuk mencari jawapan pada persamaan panas, menerbitkan keputusan permulaannya dalam Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides 1807 dan 1811, dan menerbitkan Théorie analytique de la chaleur pada 1822.

Dari sudut pandangan moden, keputusan Fourier adalah agak tidak rasmi, oleh kerana kekurangan suatu tanggapan tepat fungsi dan integral dalam awak abad kesembilanbelas. Kemudian, Dirichlet dan Riemann menjelaskan keputusan Fourier dengan ketepatan dan kerasmian.

Rencana revolusi[sunting | sunting sumber]

\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.

Mendarabkan kedua-dua belah dengan \cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}, dan kemudian menyatukan dari y=-1 to y=+1 menghasilkan:

a_i=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.


—Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, pp. 218–219.[1]

Dalam sedikit baris-baris ini, yang secara menghairankan dekat dengan kerasmian moden digunakan dalam siri Fourier, Fourier dengan cara tidak kepintaran akal menrevolusikan matematik dan fizik. Walaupun siri trigonometri mirip telah terdahulunya digunakan oleh Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli dan Gauss, Fourier mempercayai bahawa sebarangan siri trigonometri dapat mewakili fungsi sembarangan. Dalam apa segi yang sebenarnya benar adalah isu yang agak subtle dan percubaan ke atas beberapa tahun untuk menjelaskan gagasan ini telah membawa ke penemuan penting dalam teori pertumpuan, ruang fungsi, dan analisis berharmoni.

Apabila Fourier menyerahkan kertas kerjanya pada 1807, jawatankuasa (yang termasuk Lagrange, Laplace, Malus adan Legendre, di kalangan yang lain) menutupkan: ...dengan cara yang mana pengarang tiba pada persamaan ini tidak dikecualikan dari kesusahan dan [...] analisisnya untuk menyatukan mereka masih meninggalkan suatu yang dipuaskan pada skor keumuman dan juga keketatan.

Kelahitan analisis berharmoni[sunting | sunting sumber]

Sejak zaman Fourier, banyak pencapaian berlainan untuk mentakrifkan dan memahami konsep siri Fourier telah ditemukan, kesemuanya konsisten dengan satu sama lain, tetapi tiapnya yang beremfasiskan aspek berlainan topik. Sesetengah kecapaian lebih berkuasa dan mewah berasaskan gagasan dan alat matematik yang tidak ada sewaktu Fourier menyelesaikan karya asalnya. Fourier terdahulunya mentakrifkan siri Fourier untuk fungsi nilai benar perdebatan benar, dan menggunakan fungsi sinus dan kosinussebagai set asas untuk decomposition.

penukaran berkaitan Fourier telah sejak ditakrifkan, mengembangkan gagasan permulaan pada penggunaan lain. Kawasan umum pertanyaan ini sekarang kadang-kadang digelar analisis berharmoni. Siri Fourier, meskipun, hanya dapat digunakan untuk isyarat kesemasaan.

Takrifan[sunting | sunting sumber]

Dalam bahagian ini, ƒ(x) menandakan fungsi pembolehubah asli x. Fungsi ini biasanya diambilkan kesemasaan tempoh 2π, yang dikatakan bahawa ƒ(x + 2π) = ƒ(x), untuk semua nombor asli x. Kita akan cuba untuk menulis fungsi sebarang sebagai jumlah tidak terhad, atau siri fungsi tempoh 2π lebih ringkas. Kita akan bermula dengan menggunakan jumlah terhad fungsi sinus dan kosinus pada interval [−ππ], seperti Fourier telah lakukan (lihat petikan di atas), dan kita akan kemudian membincangkan rumusan dan pengumuman berlainan.

Rumusan Fourier untuk fungsi kesemasaan 2π menggunakan sinus dan kosinus[sunting | sunting sumber]

Untuk suatu fungsi kesemasaan 2π ƒ(x) yang menyatukan pada [−ππ], angka-angkanya

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos(nt)\, dt, \quad n \ge 0

dan

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t) \sin(nt)\, dt, \quad n \ge 1

digelar koefisien Fourier ƒ. Seorang memperkenalkan jumlah separuh siri Fourier untuk ƒ, sering dilambangkan oleh

(S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0.

Jumlah separuh untuk ƒ adalah polinomial trigonometri. Seorang menganggapkan bahawa fungsi SN ƒ lebih kurang fungsi ƒ, dan penganggaran itu memperbaiki apabila N lebih mirip kepada infiniti. jumlah tidak terbatas

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]

digelarkan siri Fourier pada ƒ.

Siri Fourier tidak sentiasa bertumpuan, dan juga apabila ia bertumpuan untuk suatu nilai khas x0 of x, jumlah siri pada x0 boleh berlainan dari nilai ƒ(x0) fungsi. Ia adalah satu dari soalan-soalan utama dalam analisis berharmoni untuk berkeputusan apabila siri Fourier bertumpuan, dan apabila jumlah sama dengan fungsi asal. Jika sebuah fungsi adalah penyatuan segi empat sama pada ketibaan [−ππ], kemudian siri Fourier bertumpuan di hampir tiap sudut. Pada penggunaan kejuruteraan, siri Fourier biasanya dianggapkan untuk bertumpuan di mana-mana kecuali di ketidaksinambungan, sejak fungsi encountered dalam kejuruteraan adalah lebih berkelakuan lebih baik daripada yang ahli matematik dapat memperolehi contoh balas pada anggapan ini. Pada khususnya, siri bertumpuan secara keseluruhan dan mengikut seragam dengan ƒ(x) apabila derivatif ƒ(x) (yang mungkin belum bermuncul di mana-mana) penyatuan segi empat sama.[2] See Convergence of Fourier series.

Ia boleh jadi untuk mentakrifkan koefisien Fourier untuk fungsi umum atau penyumbangan, dalam sesetengah perkara dalam norma atau pertumpuan lemah adalah biasanya pada kecenderungan.

Contoh: suatu siri Fourier ringkas[sunting | sunting sumber]

Plot fungsi pengenalan kesemasaan—gelombang gigi gergaji
Plot beranimasi pertama dari lima siri Fourier separuh berturutan

Kita sekarnag gunakan rumusan di atas untuk memberikan pemanjangan siri Fourier pada fungsi yang sangat ringkas. Anggapkan gelombang sawtooth

f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,
f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for }   -\infty < x < \infty.

Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan dengan

\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}

Ia dapat dibuktikan bahawa siri Fourier menumpu dengan ƒ(x) di tiap sudut x di mana ƒ adalah kebezaan, dan oleh itu:


\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.
\end{align}

 

 

 

 

(Eq.1)

Apabila x = π, siri Fourier menumpu dengan 0, yang adalah jumlah separuh had kiri dan kanan ƒ di x = π. Ini adalah contoh khusus teorem Dirichlet untuk siri Fourier.

Pengedaran panas di sebuah plat logam, menggunakan kaedah Fourier

Seorang menyatakan bahawa pemanjangan siri Fourier dari fungsi kita lihat kurang ringkas daripada rumusan ƒ(x) = x, dan oleh itu ia tidak selanjutnya ketara mengapa seorang memerlukan siri Fourier ini. Sementara ada banyaknya penggunaan, kita memetik dorongan Fourier pada penyelesaian persamaan panas. Contohnya, anggapkan sebuah plat logam dalam bentuk segi empat sama yang tepinya berukuran π meter, dengan koordinat (xy) ∈ [0, π] × [0, π]. Jika tiadanya sumber panas di dalam plat, dan jika tiga dari empat tepi ditahankan pada 0 darjah Selsius, sementara tepi keempat, diberikan oleh y = π, dikekalkan di kecerunan suhu darjah T(xπ) = x darjah Selsius, untuk x dalam (0, π), kemudian seorang dapat menunjukkan bahawa pengedaran panas tidak bergerak (atau pengedaran panas selepas suatu jangka panjang waktu telah elapsed) diberikan oleh

T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.

Di sini, sinh adalah fungsi sinus hyperbolik. Jawapan ini pada persamaan panas diperolehi dengan mendarabkan tiap terma  Eq.1 oleh sinh(ny)/sinh(nπ). Sementara fungsi contoh kita f(x) kelihatan telah mempunyai siri Fourier susah yang tidak berguna, pengedaran panas T(xy) is nontrivial. Fungsi T tidak dapat dituliskan sebagai penjelasan bentuk tutup. Kaedah menyelesaikan masalah panas ini hanya dilakukan oleh karya Fourier.

Satu lagi penggunaan siri Fourier ini adalah untuk menyelesaikan masalah Basel dengan menggunakan teorem Parseval. Contoh ini mengumumkan dan seorang dapat mengirakan ζ(2n), untuk mana-mana integer positif n.

Siri Fourier Eksponensi[sunting | sunting sumber]

Kita gunakan rumusan Euler,

 e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx), \,

di mana i adalah unit bayangan, untuk memberikan rumusan yang lebih ringkas:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}.

Koefisien Fourier diberikan oleh:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx.

Koefisien Fourier an, bn, cn berkaitan melalui

a_n = { c_n + c_{-n} }\text{ for }n=0,1,2,\dots,\,

dan

b_n = i( c_{n} - c_{-n} )\text{ for }n=1,2,\dots\,

Catatan cn tidak cukup membincangkan koefisien Fourier pada beberapa fungsi berlainan. Oleh itu ia secara kelaziman digantikan dengan bentuk yang diubahsuai ƒ (dalam hal ini), sepertinya F or \scriptstyle\hat{f},  dan catatan berfungsi sering menggantikan langganan.  Thus:


\begin{align}
f(x) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\cdot e^{inx} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F[n]\cdot e^{inx} \quad \mbox{(kejuruteraan)}.
\end{align}

Dalam kejuruteraan, khususnya apabila pembolehubah x mewakili waktu, langkah koefisien digelar perwakilan domain frekuensi. Tanda kurung segi empat sering digunakan untuk mengemfasiskan bahawa domain fungsi ini adalah suatu set pertimbang frekuensi.

Siri Fourier pada jarak waktu am [ab][sunting | sunting sumber]

Rumusan berikut dengan koefisien nilai kompleks sesuai G[n], adalah fungsi fungsi kesemasaan τ pada semua R:

g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G[n]\cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\ .

Jika fungsi adalah square-integrable dalam interval [aa + τ], ia dapat diwakili dalam interval itu dengan rumusan di atas. Jika g(x) integrable, oleh itu koefisien Fourier diberikan oleh:

G[n] = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx.

Nyatakan bahawa jika fungsi diwakili juga kesemasaan τ, oleh itu a adalah pilihan arbitrary. Dua pilihan masyhur adalah a = 0, dan a = −τ/2.

Suatu lagi perwakilan domain frekuensi digunakan umum menggunakan koefisien siri Fourier untuk memindanadakan sikat Dirac:


G(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)

di mana pembolehubah ƒ mewakili sebuah domain frekuensi berterusan. Apabila pembolehubah x mempunyai unitan saat, ƒ mempunyai unitan hertz. "Gigi" sikat diruangkan di darab (iaitu harmonik) 1/τ, yang digelarkan frekuensi asas. G(x) terdahulunya dapat dipulihkan dari kewakilan ini dengan pemindahan Fourier terbalik:


\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{G(f)\} &=
\mathcal{F}^{-1}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\left\{\delta\left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}}_{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\delta (f)\}}_{1}}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x} \quad = \ \ g(x).
\end{align}

Fungsi G(ƒ) oleh itu pada umumnya dirujukkan pemindahan Fourier, walaupun integral Fourier pada fungsi kesemasaan tidak bertumpu.[3]

Siri Fourier pada sebuah segi empat sama[sunting | sunting sumber]

Kita juga dapat mentakrifkan siri Fourier untuk fungsi dua pembolehubah x dan y dalam segi empat sama [−ππ]×[−ππ]:

f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbb{Z}\text{ (integer)}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},
c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy.

Selain dari menjadi berguna untuk menyelesaikan persamaan kebezaan seperti persamaan panas, satu penggunaan terkenal siri Fourier pada segi empat sama adalah kemampatan imej. Khususnya, piawai imej kemampatan jpeg menggunakan penukaran kosinus pertimbang dua dimensi, yang adalah penukaran Fourier menggunakan fungsi asas kosinus.

Terjemahan ruang Hilbert[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Ruang Hilbert

Dalam bahasa ruang Hilbert, set fungsi \{ e_n = e^{i n x},n\in\mathbb{Z}\} adalah asas ortobiasa untuk ruang L^2([-\pi,\pi]) fungsi square-integrable [-\pi,\pi]. Ruang ini sebenarnya adalah ruang Hilbert dengan hasil bahagian dalam diberikan oleh:

\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

Siri Fourier asas mengakibatkan untuk ruang Hilbert dapat dituliskan sebagai

f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle \, e_n.

Ini berkorespon tepat dengan rumusan eksponensi kompleks diberikan di atas. Versi ini dengan sinus dan kosinus juga dipertahankan dengan terjemahan ruang Hilbert. Sudah tentu, sinus dan kosinus membantukkan suatu set ortogonal:

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \,
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1

(di mana \delta_{mn} adalah delta Kronecker), dan

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0 \, ;\,

tambahan, sinus dan kosinus adalah orthogonal dengan fungsi tetap 1. Suatu asas ortobiasa untuk L2([−ππ]) terdiri dari fungsi asli dibentuk oleh fungsi 1, dan √2 cos(n  x),  √2 sin(n x) for n = 1, 2,...  Kepadatan spana mereka adalah akibatnya The density of their span is teorem Stone–Weierstrass, tetapi diikuti juga dari ciri-ciri intisari klasik seperti intisari Fejér.

Ciri-ciri[sunting | sunting sumber]

Kita mengatakan bahawa ƒ dipunyai   C^k(\mathbb{T})  jika ƒ adalah sebuah fungsi kesemasaan 2π pada R yang adalah k kali differentiable, dan derivatif ke-k adalah berlanjutan.

  • Jika ƒ adalah sebuah fungsi ganjil kesemasaan 2π, kemudian a_n=0  untuk semua n.
  • Jika ƒ adalah fungsi genap kesemasaan 2π, kemudian b_n=0  untuk semua n.
  • Jika f \in C^1(\mathbb{T}), kemudian koefisien Fourier \hat{f'}(n) pada derivatif f'(t) dapat dijelaskan dalam segi koefisien Fourier \hat{f}(n) fungsi f(t), melalui rumusan \hat{f'}(n) = in \hat{f}(n).
  • Jika f \in C^k(\mathbb{T}), kemudian \widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n). Khususnya, sejak \widehat{f^{(k)}}(n) berlebih kepada kosong, kita mempunyai yang |n|^k\hat{f}(n) lebih kepada kosong, yang bermakna bahawa koefisien Fourier bertumpuan dengan kosong lebih cepat daripada kuasa ke-k dari n.
  • Teorem Plancherel. Jika c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots adalah koefisien dan \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty kemudian adanya fungsi unik f\in L^2([-\pi,\pi]) yang bahawa \hat{f}(n) = c_n untuk tiap n.
  • Teorem perlingkaran menyatakan bahawa jika ƒ dan g adalah dalam L1([−π, π]), kemudian \widehat{f*g}(n) = \hat{f}(n)\hat{g}(n), di mana ƒ ∗ g menandakan perlingkaran kesemasaan 2π ƒ dan g.

Perkara umum[sunting | sunting sumber]

Ada banyak lebuh kemungkinan untuk mengumumkan siri Fourier. Pengajian siri Fourier dan pengumumannya digelarkan analisis harmonik.

Fungsi mengumumkan[sunting | sunting sumber]

Seorang dapat memanjang tanggapan koefisien Fourier pada fungsi yang bukan penyatuan punca kuasa dua, dan juga pada benda yang tidak berfungsi. Ini sangat berguna dalam kejuruteraan dan penggunaan kerana kita sering perlu mengambil siri Fourier dari suatu perulangan kesemasaan sebuah fungsi delta Dirac. Dirac delta δ bukanlah sebenarnya sebuah fungsi; masih, ia mempunyai penjelmaan Fourier dan perulangan kesemasaannya mempunyai siri Fourier:

\hat{\delta}(n)={1 \over 2\pi}\text{ for every }n.\,

Pengumuman ini pada pengedaran membesarkan domain takrifan penjelmaan Fourier dari L2([−ππ]) pada suatu set hebat L2. Siri Fourier bertumpuan secara lemah.

Kelompok padat[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Kelompok padat dan Kelompok tipu

Salah satu ciri-ciri menarik penjelmaan Fourier adalah bahawa kita telah menyebutkan, adalah bahawa ia mengangkat konvolusi pada produk dari segi sudut. Jika itulah ciri yang kita ningin mengekalkan, seorang dapat menghasilkan siri Fourier pada mana-mana kelompok padat. Contoh-contoh kebiasaan termasuk pada kelompok klasik yang padat. Ini mengumumkan penjelmaan Fourier pada semua ruang bentuk L2(G), di mana G adalah sebuah kelompok padat, sebarang cara yang penjelmaan Fourier mengangkat perlingkaran ke produk dari segi sudut. Siri Fourier wujud dan bertumpu dalam cara-cara mirip dengan hal [−ππ].

Lipatan berganda Riemannian[sunting | sunting sumber]

Orbit atomik kimia adalah harmonik bersferi dan dapat digunakan untuk menghasilkan siri Fourier pada sfera.

Jika domain bukan sebuah kelompok, oleh itu tidak adanya perlingkaran yang ditakrifkan secara intrinsik. Meskipun, jika X adalah sebuah berlipat ganda Riemannian padat, ia mempunyai sebuah operator Laplace-Beltrami. Pejalan Laplace-Beltrami adalah operator kebezaan yang berkorespon dengan operator Laplace operator untuk berlipat ganda Riemannian X. Oleh itu, mengikut analogi, seorang dapat menganggapkan persamaan panas pada X. Sejak Fourier tiba di asasnya dengan cuba menyelesaikan persamaan panas, pengumuman asli adalah dengan menggunakan eigensolutions operator Laplace-Beltrami sebagai suatu asas. Ini mengumumkan siri Fourier ke ruang-ruang jenis L2(X), where X adalah sebuah berlipat ganda Riemannian. Siri Fourier bertumpu dalam cara-cara mirip dengan hal [−ππ]. Sebuah contoh kebiasaan adalah dengan mengambil X untuk dijadikan sfera dengan metrik biasa, hal di mana asas Fourier terdiri dari harmonik sfera.

Kelompok Abelian padat mengikut tempatan[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Kedwian Pontryagin

Pengumuman pada kelompok padat dibincangkan di atas tidak diumumkan pada bukan padat, kelompok bukan abelian. Meskipun, adanya pengumuman lurus pada kelompok Locally Compact Abelian (LCA).

Ini mengumumkan penjelmaan Fourier pada L1(G) atau L2(G), di mana G adalah sebuah kelompok LCA. Jika G adalah padat, satu juga memperolehi siri Fourier, yang bertumpu secara mirip dengan hal [−ππ], tetapi jika G adalah bukan padat, darpida itu satu memperolehi sebuah integral Fourier. Pengumuman ini menghasilkan penjelmaan Fourier biasa apabila kelompok Abelian yang padat secara tempatan dijadikan asas adalah \mathbb{R}.

Penganggaran dan pertumpuan siri Fourier[sunting | sunting sumber]

Suatu soalan penting untuk teori dan juga penggunaan adalah yang pada pertumpuan. Pada khususnya, ia sering diperlukan pada penggunaan untuk menggantikan siri tidak terhad \sum_{-\infty}^\infty  dengan satu yang terhad,

(S_N f)(x) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}.

Ini digelarkan jumlah separuh. Kita ingin tahu, pada segi apa yang (SN ƒ)(x) bertumpu dengan ƒ(x) sebagai N lebih mirip kepada ketidakterhadan.

Ciri punca kuasa dua yang terkurang[sunting | sunting sumber]

Kita mengatakan bahawa p adalah polinomial trigonometri darjah N apabila ia pada bentuk

p(x)=\sum_{n=-N}^N p_n e^{inx}.

Nyatakan bahawa SN ƒ adalah polinomial trigonometri darjah N. Teorem Parseval bahawa

Teorem. Polinomial trigonometri SN ƒ adalah polinomial trigonometri terbaik unik pada darjah N menganggarkan ƒ(x), dalam segi itu bahawa, untuk mana-mana polinomial trigonometri p\neq S_N f darjah N, kita mempunyai  \|S_N f - f\|_2 < \|p - f\|_2.

Di sini, bentuk ruang Hilbert adalah

\| g \|_2 = \sqrt{{1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |g(x)|^2 \, dx}.

Pertumpuan[sunting | sunting sumber]

Because of the least squares property, and because of the completeness of the Fourier basis, we obtain an elementary pertumpuan result.

Theorem. If ƒ belongs to L2([−π, π]), then the Fourier series converges to ƒ in L2([−π, π]), that is,  \|S_N f - f\|_2 converges to 0 as N goes to infinity.

We have already mentioned that if ƒ is continuously differentiable, then  i n \hat{f}(n)  is the nth Fourier coefficient of the derivative ƒ′. It follows, essentially from the Cauchy-Schwarz inequality, that the Fourier series of ƒ is absolutely summable. The sum of this series is a continuous function, equal to ƒ, since the Fourier series converges in the mean to ƒ:

Theorem. If  f \in C^1(\mathbb{T}), then the Fourier series converges to ƒ secara seragam (and hence also pointwise.)

This result can be proven easily if ƒ is further assumed to be C2, since in that case n^2\hat{f}(n) tends to zero as n\to\infty. More generally, the Fourier series is absolutely summable, thus converges uniformly to ƒ, provided that ƒ satisfies a Hölder condition of order α > ½. In the absolutely summable case, the inequality  \sup_x |f(x) - (S_N f)(x)| \le \sum_{|n| > N} |\hat{f}(n)|  proves uniform pertumpuan.

Many other results concerning the pertumpuan of Fourier series are known, ranging from the moderately simple result that the series converges at x if ƒ is differentiable at x, to Lennart Carleson's much more sophisticated result that the Fourier series of an L2 function actually converges almost everywhere.

These theorems, and informal variations of them that don't specifty the pertumpuan conditions, are sometimes referred to generically as "Fourier's theorem" or "the Fourier theorem".[4][5][6][7]

Penyimpangan[sunting | sunting sumber]

Sejak siri Fourier mempunyai ciri-ciri penyimpanan baik, banyak orang sering hairan dengan keputusan negatif. Contohnya, siri Fourier pada fungsi kesemasaan T mengikut sudut berterusan tidak perlu bertumpu.

Pada 1922, Andrey Kolmogorov menerbitkan sebuah rencana berjudul "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout" di mana dia memberikan contoh sebuah fungsi Lebesgue-integrable yang siri Fourier menyimpang hampir mana-mana. Dia kemudian membina sebuah contoh fungsi menyatu yang mana siri Fourier menyimpan di mana-mana (Katznelson 1976).

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Nota[sunting | sunting sumber]

  1. Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888
  2. Georgi P. Tolstov (1976). Fourier Series. Courier-Dover. ISBN 0486633179. 
  3. sejak integral mentakrifkan pemindahan Fourier fungsi kesemasaan tidak bertumpu, ia diperlukan untuk memandang fungsi kesemasaan dan pemindahannya sebagai [pengedaran. Dalam segi ini \mathcal{F}\{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\} adalah fungsi delta Dirac, yang adalah sebuah contohnya pengedaran.
  4. William McC. Siebert (1985). Circuits, signals, and systems. MIT Press. ms. 402. ISBN 9780262192293. 
  5. L. Marton and Claire Marton (1990). Advances in Electronics and Electron Physics. Academic Press. ms. 369. ISBN 9780120146505. 
  6. Hans Kuzmany (1998). Solid-state spectroscopy. Springer. ms. 14. ISBN 9783540639138. 
  7. Karl H. Pribram, Kunio Yasue, and Mari Jibu (1991). Brain and perception. Lawrence Erlbaum Associates. ms. 26. ISBN 9780898599954. 

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  • William E. Boyce and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Eighth edition. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2005. ISBN 0-471-43338-1
  • Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (published 1822, translated 1878, re-released 2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
  • Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to harmonic analysis (edisi ke-Second corrected), New York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4 
  • Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, Third edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. ISBN 0-07-054235-X

Pautan luar[sunting | sunting sumber]

Rencana ini menggabung bahan dari example of Fourier series on PlanetMath, yang dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution/Share-Alike License.