Siri Taylor

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Apabila darjah polinomial Taylor meningkat, ia menghampiri fungsi sebenar. Imej ini menunjukkan \sin x (hitam) dan penghampiran Taylor, polinomial dengan darjah 1, 3, 5, 7, 9, 11 dan 13.
Fungsi eksponen (biru), dan jumlah istilah n+1 pertama siri Taylor pada 0 (merah).

Dalam matematik, siri Taylor ialah perwakilan fungsi sebagai hasil tambah tak terhingga bagi sebutan yang dihitung daripada nilai terbitan-terbitan pada suatu titik. Ia boleh dianggap sebagai had bagi polinomial Taylor. Siri Taylor mendapat nama daripada seorang ahli matematik berbangsa Inggeris, Brook Taylor. Jika siri ini berpusat di sifar, ia juga dipanggil siri Maclaurin, bersempena ahli matematik berbangsa Scotland, Colin Maclaurin.

Takrif[sunting | sunting sumber]

Siri Taylor bagi suatu fungsi nyata atau kompleks f(x) yang licin dalam jiranan nombor nyata atau kompleks a ialah siri kuasa yang boleh ditulis sebagai

 \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

di mana:

  • n! bererti faktorial bagi n
  • f^{(n)} (a)\, bererti terbitan ke-n bagi f yang dihitung pada titik a
  • f^{(0)}\, ialah sama dengan f
  • (x - a)^0 dan 0! sama dengan 1.

Dalam kes di mana a = 0, siri ini juga dipanggil siri Maclaurin.

Contoh-contoh[sunting | sunting sumber]

Siri Maclaurin bagi sebarang polinomial ialah polinomial itu sendiri.

Siri Maclaurin bagi (1 - x)^{-1} ialah janjang geometri

1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\!

jadi, siri Taylor bagi x^{-1} pada a = 1 ialah

1 - (x - 1) + (x - 1)^2 - (x - 1)^3 + \cdots.\!

Selepas mengamirkan siri Maclaurin di atas kita mendapati bahawa siri Maclaurin bagi -\log(1 - x) di mana log ialah tatatanda untuk logaritma asli:

x + \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + \frac{x^4}4 + \cdots\!

dan siri Taylor bagi \log(x) pada a = 1 ialah

(x - 1) - \frac{(x-1)^2}2 + \frac{(x-1)^3}3 - \frac{(x-1)^4}4 + \cdots.\!

Siri Taylor bagi fungsi eksponen e^x pada a = 0 ialah

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \quad = \quad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!

Pengembangan di atas adalah sah kerana terbitan bagi e^x adalah e^x juga, dan e^0 adalah bersamaan degan 1. Yang tinggal adalah sebutan-sebutan (x - 0)^n di pengangka dan n! di penyebut bagi setiap sebutan dalam hasil tambah tak terhingga tersebut.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

Pautan luar[sunting | sunting sumber]