Siri Taylor

"Pengembangan siri" dilencongkan ke sini. Untuk tanggapan lain istilah ini, sila lihat siri (matematik).

Apabila darjah polinomial Taylor meningkat, ia menghampiri fungsi sebenar. Imej ini menunjukkan $\sin x$ (hitam) dan penghampiran Taylor, polinomial dengan darjah 1, 3, 5, 7, 9, 11 dan 13.

Fungsi eksponen (biru), dan jumlah istilah n+1 pertama siri Taylor pada 0 (merah).

Dalam matematik, siri Taylor ialah perwakilan fungsi sebagai hasil tambah tak terhingga bagi sebutan yang dihitung daripada nilai terbitan-terbitan pada suatu titik. Ia boleh dianggap sebagai had bagi polinomial Taylor. Siri Taylor mendapat nama daripada seorang ahli matematik berbangsa Inggeris, Brook Taylor. Jika siri ini berpusat di sifar, ia juga dipanggil siri Maclaurin, bersempena ahli matematik berbangsa Scotland, Colin Maclaurin.

Takrif

Siri Taylor bagi suatu fungsi nyata atau kompleks $f(x)$ yang licin dalam jiranan nombor nyata atau kompleks $a$ ialah siri kuasa yang boleh ditulis sebagai

$\sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}$

di mana:

• $n!$ bererti faktorial bagi $n$
• $f^{(n)} (a)\,$ bererti terbitan ke-$n$ bagi $f$ yang dihitung pada titik $a$
• $f^{(0)}\,$ ialah sama dengan $f$
• $(x - a)^0$ dan 0! sama dengan 1.

Dalam kes di mana $a = 0$, siri ini juga dipanggil siri Maclaurin.

Contoh-contoh

Siri Maclaurin bagi sebarang polinomial ialah polinomial itu sendiri.

Siri Maclaurin bagi $(1 - x)^{-1}$ ialah janjang geometri

$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\!$

jadi, siri Taylor bagi $x^{-1}$ pada $a = 1$ ialah

$1 - (x - 1) + (x - 1)^2 - (x - 1)^3 + \cdots.\!$

Selepas mengamirkan siri Maclaurin di atas kita mendapati bahawa siri Maclaurin bagi $-\log(1 - x)$ di mana log ialah tatatanda untuk logaritma asli:

$x + \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + \frac{x^4}4 + \cdots\!$

dan siri Taylor bagi $\log(x)$ pada $a = 1$ ialah

$(x - 1) - \frac{(x-1)^2}2 + \frac{(x-1)^3}3 - \frac{(x-1)^4}4 + \cdots.\!$

Siri Taylor bagi fungsi eksponen $e^x$ pada $a = 0$ ialah

$1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \quad = \quad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!$

Pengembangan di atas adalah sah kerana terbitan bagi $e^x$ adalah $e^x$ juga, dan $e^0$ adalah bersamaan degan 1. Yang tinggal adalah sebutan-sebutan $(x - 0)^n$ di pengangka dan $n!$ di penyebut bagi setiap sebutan dalam hasil tambah tak terhingga tersebut.

Untuk lebih terperinci berkenaan dengan topik ini, sila lihat [[{{{1}}}]].

Lihat juga

• Teorem Taylor
• Penghampiran linear
• Siri kuasa
• Siri Laurent
• Keanalisisan fungsi holomorfi — bukti bahawa fungsi holomorfi boleh diungkapkan sebagai siri kuasa Taylor
• interpolasi beza terbahagi Newton
• Enjin Beza (Difference Engine)
• Teorem nilai min

Rujukan

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing 
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 

Pautan luar

• Eric W. Weisstein, Taylor Series di MathWorld.
• Madhava of Sangamagramma
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method"
• Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate