Teori kebarangkalian

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Teori kebarangkalian adalah cabang matematik berkenaan dengan analisis fenomena rawak.[1] Tujuan utama teori kebarangkalian ialah pembolehubah rawak, proses stokastik, dan peristiwa: peniskalaan matematik peristiwa tak-berketentuan atau kuantiti yang diukur yang mungkin merupakan kejadian tunggal atau berkembang mengikut masa tampaknya secara rawak. Walapun satu lambungan syiling atau balingan dadu merupakan satu kejadian rawak, jika diulang banyak kali satu urutan peristiwa rawak akan menunjukkan pola statistik tertentu, yang boleh dikaji dan diramal. Dua hasil matematik berperwakilan yang menerangkan pola seperti ini ialah hukum bilangan besar dan teorem had memusat.

Sebagai asas matematik untuk statistik, teori kebarangkalian amat penting untuk banyak aktiviti manusia yang melibatkan analisis kuantitatif set data yang besar. Teknik teori kebarangkalian turut boleh digunakan dalam penerangan suatu sistem kompleks di mana hanyak sebahagian keadaannya diketahui, seperti dalam mekanik statistik. Satu penemuan besar dalam fizik abad ke-20 ialah sifat berkebarangkalian fenomena fizik pada skala atom, yang diterangkan dalam mekanik kuantum.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Teori matematik kebarangkalian mempunyai akarnya dalam percubaan untuk menganalisis mainan kesempatan oleh Gerolamo Cardano pada abad keenam belas, dan oleh Pierre de Fermat dan Blaise Pascal pada abad ketujuhbelas (contohnya "masalah poin").

Pada asasnya, teori kebarangkalian secara utama dianggap peristiwa rahsia, dan caranya adalah utamanya combinatorial. Akhirnya, pertimbangan peanalisisan

Secara asas, teori kebarangkalian dianggap peristiwa discrete, dan kaedah-kaedahnya kebanyakannya kombinatorial. Akhirnya, penganggapan analitik compelled penggubahan pembolehubah berlanjutan pada teori. Ini culminated dalam teori kebarangkalian moden, yayasan pada mananya terletak oleh Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov menggabungkan tanggapan ruang sampel, introduced by Richard von Mises, dan teori ukuran dan menyampaikan sistem aksiom untuk teori kebarangkalian pada 1933. Agak cepat ini menjadi tidak asas aksiomatik yang tidak dipertikaikan.[2]

Layanan[sunting | sunting sumber]

Kebanyakan pengenalan pada teori kebarangkalian melayan pengedaran kebarangkalian discrete dan pengedaran kebarangkalian berlanjut secara terasing. Teori asas ukuran lebih maju secara matematik layanan kebarangkalian meliputi yang discrete, yang berlanjutan, mana-mana campuran dari kedua-dua ini dan lebih.

Pengedaran kebarangkalian discrete[sunting | sunting sumber]

Teori Kebarangkalian discrete diuruskan dengan peristiwa-peristiwa yang bermuncul di ruang-ruang sampel berkira.

Contoh: Membaling dadu, bereksperimen dengan set daun terup, dan jalan ganjil.

Takrifan klasik: Pada mulanya kebarangkalian suatu peristiwa bermuncul telah ditakrifkan sebagai bilangan perkara digemari untuk peristiwa itu, ke atas bilangan jumlah akibat dalam suatu ruang sampel equiprobable.

Contohnya, jika peristiwa itu adalah "kemunculan pada nombor genap apabila sebuah dadu digolekkan", kebarangkalian diberikan oleh \tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}, sejak 3 menghadap keluar dari 6 mempunyai nombor-bombor genap dan tiap muka mempunyai kebarangkalian sama pada kemunculan.

Takrifan moden: Takrifan moden bermula dengan suatu set bergelar ruang sampel, yang berkaitan dengan set pada semua akibat kemungkinan dari segi kalsik, ditandakan oleh \Omega=\left \{ x_1,x_2,\dots\right \}. Ia dianggapkan bahawa untuk tiap elemen x \in \Omega\,, sebuah nilai "kemungkinan " intrinsik f(x)\, bercantum, yang memuaskan ciri-ciri berikut:

  1. f(x)\in[0,1]\mbox{ untuk semua }x\in \Omega\,;
  2. \sum_{x\in \Omega} f(x) = 1\,.

Iaitu, fungsi kebarangkalian f(x) terletak di antara kosong dan satu untuk setiap nilai x dalam ruang sampel Ω, dan jumlah f(x) ke atas semua nilai x dalam ruang sampel Ω sama dengan 1. Sebuah kejadian ditakrifkan sebagai mana-mana subset E\, ruang sampel \Omega\,. Kebarangkalian kejadian E\, ditakrifkan

P(E)=\sum_{x\in E} f(x)\,.

Oleh itu, kemungkinan keseluruhan ruang sampel adalah 1, dan kemungkinan yang tidak sah adalah 0.

Fungsi f(x)\, memetakan sebuah poin di ruang sampel pada nilai "kemungkinan" digelarkan sebuah fungsi massa kemungkinan diringkaskan pmf. Takrifan moden tidak cuba menjawab bagaimana fungsi massa kemungkinan diperolehi; daripadanya ia membina sebuah teori yang menganggapkan kemunculan mereka.

Pengedaran kemungkinan berlanjutan[sunting | sunting sumber]

Teori kemungkinan berlanjutan mengurus dengan peristiwa-peristiwa yang bermuncul dalam suatu ruang sampel berlanjutan.

Takrifan klasik: takrifan klasik memecah apabila dihadapi dengan perkara berlanjutan. Lihat Paradoks Bertrand.

Takrifan moden: If the outcome space of a random variable X adalah set real numbers (\mathbb{R}) atau suatu subsetyang disebutkan, kemudian suatu fungsi digelar fungsi pengedaran kumulatif (atau cdf) F\, bermuncul, ditakrifkan oleh F(x) = P(X\le x)  \,. Iaitu, F(x) berpulangkan kebarangkalian bahawa X akan menjadi kurang daripada atau sama dengan x.

Cdf secara perlu memuaskan ciri-ciri yang berikut.

  1. F\, adalah sebuah fungsi secara monotoni tidak-berkurangan, berlanjutan-kanan;
  2. \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0\,;
  3. \lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1\,.

Jika F\, adalah berlanjutan secara keseluruhan, i.e., derivatifnya wjud dan integrating derivatif memberikan kita cdf lagi, kemudian pembolehubah ganjil X dikatakan mempunyai suatu fungsi kepadatan kebarangkalian atau pdf atau hanya kepadatan f(x)=\frac{dF(x)}{dx}\,.

Untuk sebuah set E \subseteq \mathbb{R}, kebarangkalian pada pembolehubah ganjil X dijadikan E\, adalah

P(X\in E) = \int_{x\in E} dF(x)\,.

Sekiranya fungsi kepadatan kebarangkalian wujud, ini dapat dituliskan

P(X\in E) = \int_{x\in E} f(x)\,dx\,.

Di manaya pdf wujud hanya untuk pembolehubah ganjil berlanjutan, cdf wujud untuk semua pembolehubah (termasuk pembolehubah ganjil discrete) yang mengambil nilai-nilai di \mathbb{R}\,.

Konsep-konsep ini dapat diumumkan untuk perkara-perkara pelbagai dimensional pada \mathbb{R}^n dan ruang-ruang sampel berlanjutan lain.

Teori kemungkinan berteori-ukuran[sunting | sunting sumber]

Raison d'être pada layanan berteori-ukuran kebarangkalian adalah bahawa ia menyatukan perkara discrete dan berlanjutan, dan membuat perbezaan suatu soalan pada ukuran mana yang digunakan. Tambahan, ia meliputi pengedaran yang bukan discrete atau berlanjuatan atau campuran pada kedua-duanya.

Suatu contoh pada sebarang pengedaran boleh jadi suatu campuran pengedaran discrete dan berlanjutan, contohnya, suatu pembolehubah ganjil yang adalah 0 dengan kebarangkalian 1/2, dan mengambil nilai ganjil dari suatu pengedaran biasa dengan kebarangkalian 1/2. Ia dapat masih dipelajari ke sesetengah extent dengan menganggapnya mempunyai suatu pdf (\delta[x] + \varphi(x))/2, where \delta[x] adalah fungsi Dirac delta.

Pengedaran lain mungkin bukan pun suatu campuran, contohnya, pengedaran Cantor tidak mempunyai kebarangkalian positif untuk mana-mana poin satu, tidak pun ia mempunyai suatu kepadatan. Kecapaian moden pada teori kebarangkalian menyelesai masalah-masalah ini menggunakan teori ukuran untuk mentakrifkan ruang kebarangkalian:

Diberikan mana-mana set \Omega\,, (juga digelar ruang sampel) dan suatu σ-algebra \mathcal{F}\, padanya, suatu ukuran P\, ditakrifkan di \mathcal{F}\, digelar suatu ukuran kebarangkalian jika P(\Omega)=1.\,

Jika \mathcal{F}\, adalah Algebra-σ Borel pada set real numbers, oleh itu adanya ukuran kebarangkalian unik pada \mathcal{F}\, untuk mana-mana cdf, dan sebaliknya. Ukuran berkorespon dengan cdf dikatakan didorongkan oleh cdf. Ukuran ini bersesuaian dengan pmf untuk pembolehubah discrete, dan pdf untuk pembolehubah berlanjutan, membuatkan pencapaian berteori-ukuran bebas dari kesilapan.

Kebarangkalian suatu set E\, dalam algebra-σ \mathcal{F}\, ditakrifkan

P(E) = \int_{\omega\in E} \mu_F(d\omega)\,

di mana integrasi tertentunya dengan ukuran \mu_F\, didorong oleh F\,.

Bersama dengan memberikan kefahaman lebih baik dan penyatuan kebarangkalian discrete dan berlanjutan, layanan berteori-ukuran juga membenarkan kita untuk bertugas pada kebarangkalian di luar \mathbb{R}^n, seperti dalam teori pemerosesan stokastik. Contohnya untuk mempelajari mosi Brownian, kebarangkalian ditakrifkan pada ruang fungsi.

Pengedaran kemungkinan[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Pengedaran kemungkinan

Sesetengah pemboleh ubah ganjil bermuncul sangat sering dalam teori kebarangkalian kerana mereka menjelaskan banyak pemeroresan semulajadi atau fizikal. Pengedaran mereka oleh itu memperolehi kepentingan khas dalam teori kebarangkalian. Sesetengah pengedaran discrete asas adalah pengedaran seragam discrete, Bernoulli, binomial, binomial negatif, Poisson dan geometri. Pengeradan berlanjutan penting termasuk pengedaran seragam berlanjutan, biasa, eksponen, gamma dan beta.

Pertumpuan pembolehubah ganjil[sunting | sunting sumber]

Teori kebarangkalian, ada beberapa tanggapan bersesuaian untuk pembolehubah ganjil. Mereka disenaraikan di bawah turutan kekuatan, iaitu, apa-apa tanggapan berikut bersesuaian dalam senarai menandakan bersesuaian menurut semua tanggapan yang sebelum ini.

Pertumpuan lemah: Suatu langkah pembolehubah ganjil X_1,X_2,\dots,\, secocok dengan pelemah pada pembolehubah ganjil X\, jika kumulatif tertentu fungsi pengedaran mereka F_1,F_2,\dots\, bertumpu pada fungsi pengedaran kumulatif F\, pada X\,, di mana-mana sahaja F\, adanya berlanjutan. Pertumpuan lemah juga digelar pertumpuna pada pengedaran.
Catatan tulis pendek terumum: X_n \, \xrightarrow{\mathcal D} \, X\,.
Pertumpuan pada kebarangkalian: Langkah pembolehubah ganjil X_1,X_2,\dots\, dikatakan bertumpu terhadap pembolehubah ganjil X\, dalam kebarangkalian jika \lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0 untuk tiap ε > 0.
Catatan tulis pendek terumum: X_n \, \xrightarrow{P} \, X\,.
Pertumpuan kuat: Langkah pembolehubah ganjil X_1,X_2,\dots\, dikatakan bertumpu terhadap pembolehubah ganjil X\, secara kuat jika P(\lim_{n\rightarrow\infty} X_n=X)=1. Pertumpuan kuat juga digelarkan pertumpuan hampir pasti.
Catatan tulis pendek terumum: X_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \, X\,.

Seperti nama-nama tersebut mengidinkasi, pertumpuan lemah adalah lebih lemah daripada pertumpuan kuat. Ternyata, pertumpuan kuat pada kebarangkalian menandakan pertumpuan lemah. Pernyataan yang sebaliknya tidak selalunya benar.

Peraturan bilangan besar[sunting | sunting sumber]

Intuition umum bercadang bahawa jika suatu duit syiling dibaling banyak kali, kemudian roughly setengah waktu ia akan bermuncul heads, dan belah yang lagi satu akan menjadi ekor. Tambahan, sering duit syiling dibaling, lebih-lebih lagi ia seharusnya bahawa purata bilangan kepala pada bilangan ekor akan mencapai kesatuan. Kebarangkalian moden memberikan versi rasmi pada gagasan berintuitif, digelarkan peraturan bilangan besar. Peraturan ini adalah sangat menakjubkan kerana ia tiada mana-mana dianggapkan asas teori kebarangkalian, tetapi daripada itu berpunca luar dari asas ini sebagai suatu teorem. Sejak ia berkait dengan kebrangkalian berasal-teori pada frekuensi sebenarnya pada kemunculan dalam dunia benar, peraturan bilangan besar dianggap suatu tiang dalam sejarah teori statistik.[1]


Peraturan bilangan besar (LLN) menyatakan pukul rata sampel \overline{X}_n=\tfrac1n{\sum X_n} pada X_1,X_2,\dots\, (pembolehubah ganjil bebas dan secara serupa dengan jangkaan terhad \mu) bertumpu terhadap jangkaan teori \mu.

Ia berada dalamberlainan bentuk pertumpuan pemboleh ubah ganjil yang memisahkan peraturan lemah dan kuat pada bilangan besar


\begin{array}{lll}
\text{Hukum lemah:}   & \overline{X}_n \, \xrightarrow{P}               \, \mu & \text{for } n \to \infty \\
\text{Hukum kuat:} & \overline{X}_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.\,s.}} \, \mu & \text{for } n \to \infty .
\end{array}

Ia mengikutkan dari LLN bahawa jika suatu peristiwa kebarangkalian p dilihatkan secara berulangan sewaktu eksperimen berdikari, ratio frekuensi dilihatkan pada peristiwa itu pada bilangan jumlah berulangan converges terhadap p.

Meletakkan ini dari segi pembolehubah ganjil dan LLN kita mempunyai Y_1,Y_2,...\, adalah pembolehubah ganjil Bernoulli bebas mengambil nilai-nilai 1 dengan kebarangkalian p dan 0 dengan kebarangkalian 1-p. \textrm{E}(Y_i)=p untuk semua i dan megikuti dari LLN bahawa \frac{\sum Y_n}{n}\, bertumpuan dengan p secara hampir pasti.

Teorem had memusat[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Teorem had memusat

Teorem had memusat menjelaskan kemunculan ubiquitous pengedaran biasa pada sifatnya; ia adalah teorem yang paling dirayakan pada kebarangkalian dan statistik.[perlu rujukan]

Teorem ini menyatakan bahawa average banyak penbolehubah ganjil bebas dan secara serupa diedarkan dengan pembolehubah terhad terhadap pengedaran biasa tidak terkira pada pengedaran diikuti oleh pembolehubah ganjil asli. Secara rasmi, biarkan X_1,X_2,\dots\, menjadi pembolehubah ganjil bebas dengan mean \mu_\, dan pembolehubah \sigma^2 > 0.\, Kemudian langkah pembolehubah ganjil

Z_n=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)}{\sigma\sqrt{n}}\,

bertumpu dalam pengedaran pada suatu pembolehubah ganjil biasa piawai.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

Bibliografi[sunting | sunting sumber]

  • Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability. 
The first major treatise blending calculus with probability theory, originally in French: Théorie Analytique des Probabilités.
  • Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability. 
The modern measure-theoretic foundation of probability theory; the original German version (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung) appeared in 1933.
  • Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. 
  • Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press. 
A lively introduction to probability theory for the beginner.
  • Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.