Darab tak terhingga

Dalam matematik, untuk urutan nombor kompleks a ₁, a ₂, a ₃, ... hasil darab tak terhingga

$\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$

ditakrifkan sebagai had hasil separa a₁a₂...a_n apabila n bertambah tanpa terikat. Darab dikatakan menumpu apabila had wujud dan bukan sifar. Jika tidak, produk dikatakan menyimpang. Had sifar diperlakukan secara khusus untuk mendapatkan hasil yang serupa dengan jumlah yang tidak terhingga. Sesetengah sumber membenarkan penumpuan kepada 0 jika terdapat hanya bilangan terhingga bagi faktor sifar dan hasil darab bagi faktor bukan sifar adalah bukan sifar, tetapi untuk kesederhanaan kami tidak akan membenarkannya di sini. Jika hasil darab menumpu, maka had jujukan a_n apabila n bertambah tanpa terikat mestilah 1, manakala sebaliknya secara amnya tidak benar.

Contoh darab tak terhingga yang paling terkenal mungkin ialah beberapa formula untuk π, seperti dua darab berikut, masing-masing oleh Viète ( formula Viète, produk tak terhingga pertama yang diterbitkan dalam matematik) dan John Wallis (darab Wallis):

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots$

${\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).$

Kriteria penumpuan

Darab tak terhingga ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ boleh dikatakan bertumpu jika nilai hadnya bukan sifar jika dan hanya jika ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n}}$ bertumpu.