Fungsi lantai dan siling

Graf fungsi floor

Dalam bidang matematik, fungsi floor (atau fungsi lantai) ialah fungsi dimana input nyata x dan menghasilkan integer yang terbesar kurang atau sama dengan x. Sempadannya, fungsi ceiling (juga dieja fungsi siling) ialah fungsi yang memberi output integer terkecil lebih atau sama dengan x.

Fungsi floor ditandai dengan ⌊x⌋ manakala fungsi ceiling ditandai dengan ⌈x⌉. Tatatanda berikut mencerminkan nama fungsinya, yang menyebabkan tatatanda tersebut diseragamkan dalam penulisan matematik formal.

Graf fungsi ceiling.

Sebagai contoh; $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\lfloor -1.61\rfloor =-2$, $\lfloor 5.4\rfloor =6$, $\lfloor -2.71\rfloor =-2$.

Bagi sesuatu integer $k$, $\lfloor k\rfloor =\lceil k\rceil =k$.

Walaupun graf fungsi floor dan ceiling berserupaan, wujud suatu perbezaan, iaitu apabila argumen fungsi ialah suatu integer. Contohnya, jika $x=2.0001$, $\lfloor 2.0001+1\rfloor =\lceil 2.0001\rceil =3$. Tetapi, jika $x=2$, maka $\lfloor 2+1\rfloor =3$, manakala $\lceil 2\rceil =2$.

Definisi

Bagi nombor nyata x dan integer ($\mathbb {Z}$) m dan n, fungsi floor dan ceiling boleh ditakrif dengan persamaan berikut;

$\lfloor x\rfloor =\mathrm {max} \{m\in \mathbb {Z} \,|\,m\leq x\}$

$\lceil x\rceil =\mathrm {min} \{n\in \mathbb {Z} \,|\,n\geq x\}$

Oleh sebab terdapat satu integer dalam selang terbuka separuh berpanjangan 1, maka bagi sebarang nombor nyata x, terdapat integer unik m dan n yang dapat menyelesaikan persamaan;

$x-1<m\leq x\leq n<x+1$