Gandaan (matematik)

Dalam sains, gandaan ialah hasil darab sebarang kuantiti dan integer. Dalam erti kata lain, bagi kuantiti $a$ dan $b$, boleh dikatakan bahawa $b$ ialah gandaan bagi $a$ jika $b=na$ bagi dimana integer $n$, yang dipanggil pengganda. Jika $a\neq 0$, ini bersamaan dengan mengatakan itu ${\frac {b}{a}}$ ialah integer.

Dalam matematik, apabila $a$ dan $b$ ialah kedua-dua integer, dan $b$ ialah gandaan $a$, maka $a$ dipanggil sebagai pembahagi $b$. Seseorang juga mengatakan bahawa $a$ membahagi $b$. Jika $a$ dan $b$ bukan integer, ahli matematik lebih suka menggunakan gandaan integer dan bukannya "gandaan" demi kejelasan.

Malah, gandaan boleh juga digunakan untuk jenis hasil darab lain; contohnya, polinomial $p$ ialah gandaan bagi polinomial $q$ yang lain, jika wujud polinomial ketiga $r$ supaya $p=qr$.

Tatatanda

Jika $a$ adalah gandaan bagi $b$, ia boleh ditulis sebagai $b\,|\,a$. Ini merupakan suatu pernyataan logik sama ada benar atau palsu. Jika $a$ bukan gandaan bagi $b$, maka $b\not \mid a$.

Contoh

Sebagai contoh, $14$, $49$, $-21$ dan $0$ ialah gandaan bagi $7$, manakala $3$ dan $-5$ bukan. Ini kerana terdapat integer yang $7$ boleh didarabkan untuk mencapai nilai $14$, $49$, $-21$ dan $0$, manakala tiada integer wujud sedemikian untuk $3$ dan $-5$;

• $7\,|\,14\because (7\times 2=14)$
• $7\,|\,49\because (7\times 7=49)$
• $7\,|\,-21\because (7\times -3=-21)$
• $7\,|\,0\because (7\times 0=0)$

• $7\not \mid 3\because (7\times {\frac {3}{7}}=3)$, ${\frac {3}{7}}\not \in \mathbb {Z}$ .
• $7\not \mid -5\because (7\times -{\frac {5}{7}}=-5)$, $-{\frac {5}{7}}\not \in \mathbb {Z}$

Gandaan Sepunya Terkecil

Maklumat selanjutnya: Gandaan sepunya terkecil

$n$ adalah Gandaan Sepunya Terkecil bagi nombor $a$ dan $b$ bermaksud terdapat suatu integer $k_{1}$ dan $k_{2}$ dimana $n=ak_{1}=bk_{2}$.

Fungsi $\mathrm {GSTK} (a,b)$ adalah sebuah fungsi yang mengeluarkan output Gandaan Sepunya Terkecil bagi nombor $a$ dan $b$. Fungsi ini boleh diperekstensikan untuk mengambil Gandaan Sepunya Terkecil sampai terma-$t$;

$\mathrm {GSTK} (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{t})$, $t\in \mathbb {Z}$

Fungsi $\mathrm {GSTK} (a,b)$ juga mempunyai berkaitan dengan Faktor Sepunya Terbesar;

• $\mathrm {GSTK} (a,b)={\frac {ab}{\mathrm {FSTB} (a,b)}}$
• $\mathrm {GSTK} (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{t})={\frac {\prod _{i=1}^{t}(a_{i})}{\mathrm {FSTB} (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{t})}}$

Hukum Asas

• $0$ ialah gandaan bagi setiap integer $n$. $0\,|\,n$
• Hasil darab mana-mana integer $n$ dan sebarang integer ialah gandaan daripada $n$. Secara khusus, $n$ yang sama dengan $n\times 1$, ialah gandaan daripada $n$ (setiap integer ialah gandaan dirinya), kerana 1 ialah integer.
• Jika $a$ dan $b$ ialah gandaan daripada $x,$ kemudian $a+b$ dan $a-b$ adalah juga gandaan daripada $x$.