Kardioid

Sebuah kardoid dijalankan oleh sebuah bulat bergulung.

Empat graf kardioid berorientasi pada empat arahan kardinal, dengan persamaan polar tertentu mereka.

Dalam geometri, sebuah kardioid adalah lengkung dikesankan oleh suatu sudut di hujung sebuah roda bulat yang bergolek di keliling sebuah roda ditetapkan pada saiz yang sama. Keputusan lengkung lebih kurangnya berbentuk jantung, with a cusp at the place where the point touches the fixed wheel.

Kardioid adalah sebuah rolet, dan dapat dilihatkan sama ada di sebuah episikloid dengan satu cusp atau sebagai suatu anggota keluarga limaçon. Ia juga sejenis pilin sinusoidal, dan adalah lengkung terbalik pada sebuah parabola dengan fokusnya sebagai pusat terbalik.

Nama

Namanya datang dari bentuk jantung pada lengkung (bahasa Greek kardioeides = kardia:jantung + eidos:bentuk). Dibandingkan dengan tanda jantung (♥), walaupun, sebuah kardioid sahaja mempunyai satu sudut tajam (atau cusp). Ia sebaliknya berbentuk lebih seperti garisan bentuk bahagian lintas buah plum.

Persamaan

Berasaskan penjelasan bulat bergulung, kardioid diberikan dengan persamaan parameter berikutnya:

$x(t)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\cos 2t\right),\,$$x(t)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\cos 2t\right),\,$

$y(t)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right).\,$$y(t)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right).\,$

Di sini r adalah jejari bulatan yang menjanakan lengkung, dan bulatan ditetapkan berpusat di tempat asalnya. Cuspnya berada di (r,0).

Kadang-kadang persamaan parameter untuk kardioid dikarang seperti yang berikut:

$x(t)=2r\cos t\,(1-\cos t),\,$$x(t)=2r\cos t\,(1-\cos t),\,$

$y(t)=2r\sin t\,(1-\cos t).\,$$y(t)=2r\sin t\,(1-\cos t).\,$

Ini memberikan lengkung yang sama seperti yand diberikan di atas, berpindah ke kiri unit r, oleh itu cusp berada di tempat asalnya.

Dalam koordinate polar, persamaan untuk kordioid ini dapat dituliskan

$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\,$$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\,$

Untunk suatu bukti, lihat kebuktian kardioid.

Dalam Koordinate Cartesian, persamaan untuk kardioid ini adalah

$\left(x^{2}+y^{2}+2rx\right)^{2}\,=\,4r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).\,$$\left(x^{2}+y^{2}+2rx\right)^{2}\,=\,4r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).\,$

Luas

Luas sebuah kardioid dengan persamaan polar

$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta )\,$$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta )\,$

is

$A=6\pi r^{2}\,$$A=6\pi r^{2}\,$.

Untuk suatu bukti, lihat kebuktian kardioid.

Panjang lengkok

Panjang lengkok sebuah kardioid dapat dikirakan secara tepat. Untuk kardioid dengan persamaan polar

$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta )\,$$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta )\,$

jumlah panjangnya ialah

$L=4\pi r.\,$$L=4\pi r.\,$.

Lengkung terbalik

Kardioid hijau diperolehi oleh memterbalikkan parabola merah di sepanjang bulatan meluncur.

Kardioid adalah satu lengkung terbalik kemingkinan untuk sebuah parabola. Khususnya, jika sebuah parabola ialah diterbalikkan di sepanjang mana-mana bulatan yang pusatnya terletak di fokus parabola, keputusannya adalah sebuah kardioid. Cusp keputusannya kardioid akan diletakkan di pusat bulatan, dan berkorespon dengan sudut melenyap parabola.

Dari segi unjuran stereograf, ini berkata bahawa sebuah parabola di datar Euclidean adalah unjuran sebuah kardioid dilukis pada sfere yang cuspnya terletak di kutub utara.

Tidak tiap lengkung terbalik sebuah parabola adalah sebuah kardioid. Contohnya, jika sebuah parabola diterbalikkan di sepanjang sebuah bulatan yang pusatnya terletak di verteks parabola, oleh itu keputusannya adalah sebuah kissoid Diocles.

Gambar di kanan menunjukkan parabola dengan persamaan polar

$\rho (\theta )\,=\,{\frac {1}{1-\cos \theta }}.\,$$\rho (\theta )\,=\,{\frac {1}{1-\cos \theta }}.\,$

In Cartesian coordinates, this is the parabola $y^{2}=2x+1$$y^{2}=2x+1$. Apabila parabola ini diterbalikkan di sepanjang bulatan unit, keputusannya adalah sebuah kardioid dengan persamaan kesalingan

$\rho (\theta )\,=\,1-\cos \theta .\,$$\rho (\theta )\,=\,1-\cos \theta .\,$

Bal tengah muatan Mandelbrot adalah sebuah kardioid.

Kardioid dalam analisis kompleks

Dalam analisis kompleks, imej mana-mana bulatan melalui tempat asalnya di bawah peta $z\to z^{2}$$z\to z^{2}$ adalah sebuah kardioid. Satu penggunaan keputusan ini adalah bahawa sempadan bal tengah muatan Mandelbrot adalah sebuah kardioid diberikan oleh persamaan

$c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.\,$$c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.\,$

Muatan Mandelbrot mengandungi suatu nombor yang infiniti pada salinan yang agak diputarbalikkan sendiri dan bal tengah pada mana-mana salinan lebih kecil ini adalah sebuah kardioid anggaran.

Kaustik bermuncul di permukaan cawan ini adalah sebuah kardioid.

Kaustik

Sesetengah kaustik dapat mengambil bentuk kardioid. Katakaustik bulatan dengan tertentunya pada sebuah sudut di lilitan adalah sebuah kardioid. Juga, katacaustik sebuah kon dengan tertentunya pada sinaran selari dengan sebuah garisan berjana adalah suatu permukaan yang bahagian lintasnya adalah sebuah kardioid. Ini dapat dilihatkan, seperti di fotograf di kanan, dalam sebuah cawan kon separuh diisi dengan cecair apabila suatu cahaya bersinar dari suatu jarak dan di suatu penjuru sama dengan penjuru kon. Bentuk di lengkung di bawah cawan silinder mengambil bentuk sebuah nefroid, yang melihat agak mirip.

Lihat pula

• Tangkai Wittgenstein
• mikrofon - untuk suatu perbincangan mikrofon kardioid
• Loop antenna
• Pencari arahan radio
• Pencarian arahan radio
• Antenna Yagi

Bibliografi

• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 24–25. ISBN 0-14-011813-6. 

Rujukan

Pautan luar

• "Cardioid" at The MacTutor History of Mathematics archive
• Hearty Munching on Cardioids at cut-the-knot
• Xah Lee, Cardioid (1998) (This site provides a number of alternative constructions).
• Jan Wassenaar, Cardioid, (2005)
• Cardioid at mathcurve.com