Kebarangkalian binomial

Kebarangkalian binomial melibatkan kebarangkalian bagi keputusan kejayaan yang mempunyai dua kesudahan.

Takrifan

Kebarangkalian bagi satu peristiwa boleh dinyatakan sebagai kebarangkalian binomial jika kesudahannya boleh dipecahkan kepada dua kebarangkalian p dan q, iaitu p dan q dalah pelengkap (p + q = 1). Sebagai contoh, balingan sekeping syiling boleh memberikan kesudahan sama ada kepala atau ekor, yang kedua-duanya (secara teori) mempunyai kebarangkalian 0.5. Mendapatkan empat pada dadu bermuka enam boleh dinyatakan sebagai kebarangkalian (1/6) bagi mendapatkan 4 atau kebarangkalian (5/6) bagi mendapatkan yang lain.

Pengiraan

Jika satu peristiwa mempunyai kebarangkalian, p, untuk terjadi, maka kebarangkalian untuk ia terjadi dua kali adalah p², dan secara umumnya pⁿ bagi n cubaan yang berjaya. Jika kita mahu mengetahui kebarangkalian bagi membaling dadu dan mendapatkan dua 'empat' dan satu nombor lain (dalam susunan tertentu) ia menjadi:

${\begin{matrix}P({\mbox{2 balingan dapat 4 dan 1 lain}})&=&P({\mbox{2 balingan dapat 4}})P({\mbox{1 lain}})\\\ &=&P({\mbox{balingan dapat 4}})^{2}P({\mbox{lain}})^{1}\\\ &=&({\frac {1}{6}})^{2}({\frac {5}{6}})^{1}\\\ &=&2.6\%\end{matrix}}$

Walau bagaimanapun, ini hanya sesuai bagi masalah yang susunannya adalah tertentu. Jika susunan tidak penting dalam contoh di atas, maka terdapat 3 cara untuk mendapatkan 2 balingan 4 dan 1 yang lain:

110
101
011

1 mewakili balingan yang mendapat empat manakala 0 mewakili balingan yang tidak memperoleh empat. Memandangkan terdapat tiga cara memperoleh keputusan yang sama, maka kebarangkaliannya adalah 3 kali sebelumnya, atau 7.8%. Jika susunan tidak penting, maka terdapat ${n \choose r}$ (n pilih r) tatarajah yang mungkin. Ini menghasilkan persamaan umum bagi percubaan binomial:

Persamaan am

$P({\mbox{k berjaya daripada n cubaan}})={n \choose k}p^{k}q^{n-k}$

Iaitu p adalah kebarangkalian berjaya, dan q adalah kebarangkalian gagal (yang merupakan pelengkap kepada p, iaitu q=1-p.) Maka, ini adalah teorem binomial.

Contoh

Dalam ujian sepuluh soalan aneka pilihan, dengan 4 pilihan setiap soalan, kebarangkalian untuk mendapatkan 5 dan hanya 5 jawapan betul jika jawapan yang diteka boleh dikira sebagai:

$p=0.25$

$q=1-p=0.75$

$k=5$

$n=10$

${\begin{matrix}P(lulus)&=&{n \choose k}p^{k}q^{n-k}\\\ &=&{10 \choose 5}(0.25)^{5}(0.75)^{5}\\\ &\approx &5.8\%\end{matrix}}$

Maka, jika seseorang meneka 10 jawapan pada ujian aneka pilihan dengan 4 pilihan, mereka mempunyai lebih kurang 5.8% peluang untuk memperoleh 5 dan hanya 5 jawapan yang betul. Jika 5 atau lebih jawapan betul yang diperlukan untuk lulus, maka, kebarangkalian untuk lulus boleh dikira dengan menambah kebarangkalian mendapat 5 (dan hanya 5) jawapan betul, 6 (dan hanya 6) jawappan betul, dan seerusnya hinggal 10 jawapan betul. Jumlah kebarangkalian adalah lebih kurang 7.8%.

Penganggaran

Terdapat pelbagai kaedah untuk menganggar kebarangkalian binomial jika eksponen terlalu besar untuk dikira

Penghampiran binomial

Rencana utama: Taburan binomial

Satu kaedah adalah dengan menganggar kebarangkalian kepada taburan binomial. Apa yang diperlukan adalah $np\geq 5$ dan $nq\geq 5$ bagi jawapan yang jitu. Penghampirannya adalah seperti berikut:

$z\approx {\frac {(k-\mu )\pm 0.5}{\sigma }}$

Iaitu $\mu =np$ dan $\sigma ={\sqrt {npq}}$ (sisihan piawai bagi penghampiran binomial) dan z tatarajah skor-z.

Fungsi kebarangkalian Poisson

Rencana utama: Taburan Poisson

Kaedah kebarangkalian lain adalah dengan menganggarkannya dengan taburan Poisson. Apa yang diperlukan adalah $n\geq 150$ dan np dan npq adalah lebih kurang 10% satu sama lain. Rumusnya adalah

$\Pr(n{\mbox{ daripada }}k)\approx {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!$

iaitu $\lambda =np$.

Perkaitan dengan teorem binomial

Persamaan bagi kebarangkalian binomial adalah sama dengan persamaan teorem binomial, yang boleh diguna untuk mengira sebutan dalam segi tiga Pascal dan pengembangan persamaan binomial dalam bentuk $(a+b)^{n}$. Maka, jika binomial dikembangkan bagi n = 2, kita akan memperoleh

${\begin{matrix}(a+b)^{2}&=&{2 \choose 0}a^{2}b^{0}+{2 \choose 1}a^{1}b^{1}+{2 \choose 2}a^{0}b^{2}\\\ &=&a^{2}+2ab+b^{2}\end{matrix}}$

Dengan menulis semula persamaan:

$1aa+2ab+1bb$

Jika a mewakili kepala dan b ekor, maka, yang atas ini akan menunjukkan semua kebarangkalian dan bilangan gabungan yang mungkin. Itu bermaksud, terdapat satu cara untuk memperoleh dua kepala (aa), dua cara untuk memperoleh satu kepala dan satu ekor (2ab) dan satu cara untuk memperoleh dua ekor (bb). Ini boleh digunakan untuk sebarang n. Memandangkan jumlah pekali dalam persamaan (a₀ + a₁ + a₂) adalah jumlah kebarangkalian, dan memandangkan setiap kes unik mempunyai kebarangkalian yang sama, kebarangkalian untuk mendapatkan 1 a dan 1 b (1 kepala dan 1 ekor pada sekeping syiling) adalah 2 daripada 4, atau 0.5. Jumlah pekali bagi mana-mana binomial adalah 2^n − 1.

Lihat juga

• Kebarangkalian
• Teorem binomial
• Segi tiga Pascal
• Peristiwa pelengkap
• Taburan binomial
• Taburan Poisson

Pautan luar

• Pengira Javascript