Perbezaan antara semakan "Punca kuasa dua 2"

Jump to navigation Jump to search
k
r2.5.2) (bot mengubah: zh:2的算術平方根; perubahan kosmetik
k (r2.5.4) (bot menambah: ar:ثابت فيثاغورس)
k (r2.5.2) (bot mengubah: zh:2的算術平方根; perubahan kosmetik)
[[ImageFail:Square root of 2 triangle.png|thumb|200px|Punca kuasa dua adalah sama dengan [[hipotenus]] bagi [[segi tiga tegak]] yang kakinya mempunyai panjang 1.]]
'''Punca kuasa dua 2''', juga dikenali sebagai '''pemalar Pythagoras''', sering ditulis sebagai
 
 
{| border="1" style="float: right; border-collapse: collapse;"
| colspan="2" align="center" | [[Senarai nomobor]] - [[Nombor tak nisbah]]<br />[[Pemalar Euler-Mascheroni|γ]] - [[Pemalar Apéry|&zeta;ζ(3)]] - <math>\sqrt{2}</math> - [[Punca kuasa 3|√3]] - [[Punca kuasa 5|√5]] - [[Nisbah emas|&phi;φ]] - [[Pemalar Feigenbaum|&alpha;α]] - [[E (pemalar matematik)|e]] - [[Pi|&pi;π]] - [[Pemalar Feigenbaum|&delta;δ]]
|-
|[[Sistem angka dedua|Perduaan]]
:<math>1+\sqrt{2}.\,</math>
 
== Sejarah ==
 
[[ImageFail:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|Tanah liat Babylon YBC 7289 dengan catatan.<br />(Imej oleh Bill Casselman)]]
Tablet tanah liat [[Babylon]] YBC 7289 (kk. 1800–1600 SM) memberikan anggaran <math>\sqrt{2}</math> dalam bentuk [[perenam-puluhan]], iaitu lebih kurang bentuk enam [[perpuluhan]]:<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref>
 
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
Anggaran India purba ini merupakan jujukan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan [[nombor Pell]], yang boleh diterbitkan dari kembangan [[pecahan lanjar]] untuk <math>\sqrt{2}.</math>
 
Penemuan bagi nombor tak nisbah sering menyumbang kepada [[Hippasus of Metapontum]] [[Pythagoras]], yang memperkenalkan bukti ketidak nisbahan (hampir kepada geometri) untuk punca kuasa dua . Menurut lagenda, Pythagoras percaya dalam kemutlakan nombor-nombor dan tidak dapat menerima nombor tak nisbah. Dia tidak dapat memalsukannya melalui logik, tetapi kepercayaannya tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas. [http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm] Lagenda lain menyatakan yang dilemaskan Hippasus oleh pengikut Pythagoras
[http://scienceworld.wolfram.com/biography/Hippasus.html], atau dihalau dari golongan itu. [http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm]
 
== Algoritma berkomputer ==
Banyak algoritma yang membuat penganggaran punca kuasa 2, sama ada dalam pernyataan nisbah integer atau dalam bentuk perpuluhan. Algoritma paling biasa bagi kes ini, sama ada menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin pengira, adalah kaedah Babylon<ref>Walaupun istilah "kaedah Babylon" lazim digunakan dalam kegunaan moden, tiada bukti langsung menunjukkan orang Babylon mengira anggaran <math>\sqrt{2}</math> dilihat pada YBC&nbsp;7289. Fowler dan Robson menawarkan konjektur terperinci.<br />Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.</ref> bagi pengiraan punca kuasa 2 yang merupakan salah satu daripada [[kaedah mengira punca kuasa]]. Perkara itu adalah seperti berikut:
 
Pertama, ambil mana-mana tekaan, <math>F_0</math>; tekaan itu tidak penting kerana tekaan itu hanya mempengaruhi berapa banyak lelaran yang diperlukan untuk mencapai anggaran penghampiran bagi ketepatan tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tekaan itu, lelarkannya menerusi pengiraan rekursif tersebut:
Pada Februari 2006, rekod pengiraan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo mengira hingga 200,000,000,000 tempat perpuluhan dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6GHz PC yang mempunyai 16GB ingatan.
 
Dalam banyak-banyak pemalar dengan kembangan perpuluhan tak berulang, hanya [[pi|&pi;π]] telah dikira dengan lebih tepat. [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html]
 
== Bukti ketidaknisbahan ==
 
=== Pembuktian dengan penurunan tak terhingga ===
Satu pembuktian nombor tak nisbah adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ia juga pembuktian melalui percanggahan, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahawa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahawa pernyataan asal itu adalah betul.
 
Pembuktian ini boleh digunakan untuk sebarang punca kuasa [[nombor asli]] untuk menunjukkan sama ada nombor itu nombor asli atau nombor tidak nisbah.
 
=== Pembuktian dengan pemfaktoran unik ===
Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorem pemfaktoran unik:
 
# Ini menyatakan yang pemfaktoran perdana dengan kuasa genap 2 (2''x'') adalah sama dengan nombor berkuasa ganjil 2 (2''y''+1). Ini bercanggah dengan teorem pemfaktoran unik. Maka, pernyataan asal adalah salah.
 
=== Bukti geometri ===
[[ImageFail:Irrationality of sqrt2.png|right]]
Satu lagi pembuktian melalui percanggahan menunjukkan yang √2 adalah nombor tak nisbah adalah tidak berapa diketahui.<ref>Apostol (2000), p. 841</ref> Ia juga contoh pembuktian penuurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan pembinaan kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorem ini dengan kaedah yang sama yang digunakan ahli geometri Yunani purba.
 
Biarkan ''ABC'' segi tiga sama kaki tegak dengan panjang hipotenus ''m'' dan kaki ''n''. Dengan menggunakan [[teorem Pythagoras]], ''m''/''n'' = √2. Katakan ''m'' dan ''n'' adalah [[integer]]. Biarkan ''m'':''n'' menjadi nisbah yang diberikan melalui [[sebutan terendah]].
 
Lukis lengkungan ''BD'' dan ''CE'' berpusatkan ''A''. Sambungkan ''DE''. Kemudian ''AB'' = ''AD'', ''AC'' = ''AE'' serta ∠''BAC'' dan ∠''DAE'' adalah sama. Maka segitiga ''ABC'' dan ''ADE'' adalah [[kongruen]] melalui SAS.
 
Memandangkan ∠''EBF'' adalah sudut tegak dan ∠''BEF'' separuh sudut tegak, ''BEF'' juga segitiga sama kaki tegak. Maka ''BE'' = ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;''n'' menandakan ''BF'' = ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;''n''. Melalui simetri, ''DF'' = ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;''n'', dan ''FDC'' juga segitiga sama kaki tegak. Juga ''FC'' = ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;(''m''&nbsp;&minus;&nbsp;''n'') = 2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''m''.
 
Memandangkan kita mempunyai segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang hipotenus 2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''m'' dan kaki ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;''n''. Nilai ini adalah integer yang lebih kecil daripada ''m'' dan ''n'' dan dalam nisbah yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahawa ''m'':''n'' adalah sebutan terkecil. Maka ''m'' and ''n'' tidak mungkin integer, maka √2 adalah bukan nisbah.
 
== Sifat-sifat punca kuasa dua ==
separuh √2, lebih kurang 0.70710 67811 86548, merupakan kuantiti lazim dalam geometri dan [[trigonometri]], kerana kenyataan yang [[vektor unit]] membuat sudut 45° dengan paksi dalam satah yang mempunyai koordinat
 
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).</math>
:<math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}</math> and <math>\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.</math>
 
== Perwakilan siri dan hasil darab ==
Pengenalan kos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, bersama perwakilan hasil darab tak terhingga bagi sin dan kosin membawa kepada hasil darab seperti
 
Tidak diketahui sama ada √2 boleh diwakilikan dengan rumus BBP-type. Rumus BBP-type digunakan untuk π√2 dan √2 ln(1+√2). [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf]
 
== Perwakilan pecahan lanjar ==
Punca kuasa dua mempunyai perwakilan pecahan lanjar seperti berikut:
 
:<math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}. </math>
 
== Catatan ==
<references/>
 
*{{cite journal |quotes= |last= |first= |authorlink= |coauthors= |year= |month= |title= |journal= |volume= |issue= |pages= |id= |url= |accessdate= }}
-->
* {{cite journal |quotes= |last=Apostol |first=Tom M. |authorlink= |coauthors= |year=2000 |month=November |title=Irrationality of The Square Root of Two&mdash;ATwo—A Geometric Proof |journal=The American Mathematical Monthly |volume=107 |issue=9 |pages=841-842 |id= |url= |accessdate= }}
* {{cite book |last=Flannery |first=David |authorlink= |coauthors= |others= |title=The Square Root of Two |year=2005 |publisher=Springer |location= |id=ISBN 0-387-20220-X }}
* {{cite journal |quotes= |last=Fowler |first=David |authorlink= |coauthors=Eleanor Robson |year=1998 |month=November |title=Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context |journal=Historia Mathematica |volume=25 |issue=4 |pages=366-378 |id= |url=http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf |accessdate= }}
* Gourdon, X. & Sebah, P. [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html Pythagoras' Constant: √2]. Includes information on how to compute digits of <math>\sqrt{2}</math>.
* Henderson, David W., ''[http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html Square Roots in the Sulbasutra]''
 
== Pautan luar ==
* {{en}} [http://www.gutenberg.org/etext/129 The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.]
* {{en}} [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational], a collection of proofs
* {{en}} [http://xn--2-tbo.net &radic;2√2.net], enthusiast site with realtime computation
 
[[Kategori:Fungsi khas]]
[[sv:Kvadratroten ur 2]]
[[th:กรณฑ์ที่สองของสอง]]
[[zh:2的算術平方根]]
76,279

suntingan

Menu pandu arah