Hukum sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah. Jika sisi segitiga ialah a, b dan c dan sudut yang berhadapan dengan sisi iaitu A, B and C, maka, hukum sinus menyatakan

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,$

Rumus ini berguna untuk mengetahui panjang sisi yang lain dari segitiga tersebut jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik segitiga. Hukum ini dapat juga digunakan apabila 2 sisi dan 1 sudut diketahui; dalam kes ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dinyatakan. Apabila hal ini terjadi, lazimnya hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kes lain, ada 2 penyelesaian sahih pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat ditulis sebagai

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=d.$

Dapat ditunjukkan bahwa:

$d={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

iaitu

s merupakan semi-perimeter

$s={\frac {(a+b+c)}{2}}$

Turutan

Bina segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buat garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan nyatakan panjang garis ini sebagai h.

Didapati bahawa:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ and $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Kemudian:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

dan

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

Lihat juga

• Hukum kosinus