Nombor kardinal

Aleph kosong, kardinal tak terhingga yang terkecil.

Dalam matematik, nombor kardinal atau kardinal ialah generalisasi nombor asli yang digunakan untuk menghitung kekardinalan (saiz) set. Kekardinalan bagi satu set terhingga ialah satu nombor asli – jumlah elemen di dalam set. Nombor kardinal melampaui terhingga pula menyatakan saiz set tak terhingga.

Kekardinalan boleh ditakrifkan dalam bentuk fungsi bijektif. Dua set akan memiliki nombor kardinal yang sama jika dan hanya jika terdapat satu bijeksi antara mereka. Dalam kes set terhingga, ini bersesuaian dengan anggapan intuitif tentang saiz. Bagaimanapun, dalam kes set tak terhingga, perilakunya adalah lebih kompleks. Teorem asas yang diperkenalkan oleh Georg Cantor telah menjelaskan kemungkinan untuk set tak terhingga memiliki kekardinalan yang berbeza, dan secara khususnya set nombor nyata dan set nombor asli tidak memiliki nombor kardinal yang sama. Adalah mungkin juga bagi subset wajar untuk set tak terhingga memiliki kekardinalan yang sama dengan set yang asal, sesuatu yang tidak boleh berlaku dengan subset wajar untuk set terhingga.

Terdapat turutan melampaui terhingga bagi nombor kardinal:

$0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\$

Turutan ini bermula dengan nombor asli (kardinal terhingga), yang diikuti dengan nombor aleph (kardinal tak terhingga untuk set tersusun rapi). Nombor aleph diindekskan dengan nombor ordinal. Dengan anggapan aksiom pilihan, turutan melampaui terhingga ini mengandungi setiap nombor kardinal. Jika aksiom itu ditolak, situasi bakal menjadi lebih rumit, dengan tambahan kardinal tak terhingga yang bukan dari nombor aleph.

Kekardinalan adalah satu kajian yang termasuk dalam bahagian teori set. Ia juga menjadi satu alat yang digunakan dalam cabang matematik yang lain seperti kombinatorik, algebra abstrak dan analisis matematik.

Lihat pula

• Nombor ordinal