Punca kuasa dua untuk nombor 2

Punca kuasa dua adalah sama dengan hipotenus bagi segi tiga tegak yang kakinya mempunyai panjang 1.

Punca kuasa 2, juga dikenali sebagai pemalar Pythagoras, sering ditulis sebagai

${\sqrt {2}},$

merupakan nombor nyata yang positif, yang apabila didarabkan dengan nilai itu sendiri akan mendapatkan nombor 2. Nilai berangkanya berhampiran 65 tempat titik perpuluhan ialah:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

Punca kuasa 2 merupakan nombor tak nisbah yang pertama diketahui. Secara geometri, ia merupakan kepanjangan pepenjuru merentasi segi empat sama dengan sisinya mempunyai kepanjangan 1 unit; ini mengikut teorem Pythagoras. Bagi pengiraan asas tanpa fungsi punca kuasa, penganggaran ${\tfrac {99}{70}}$ bagi punca kuasa dua lebih elok berbanding penganggaran ${\tfrac {22}{7}}$ bagi pi, yang merupakan nombor tak nisbah paling lazim digunakan.

Senarai nomobor - Nombor tak nisbah γ - ζ(3) - ${\sqrt {2}}$ - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Perduaan	1.0110101000001001111...
Perpuluhan	1.4142135623730950488...
Perenambelasan	1.6A09E667F3BCC908B2F...
Pecahan lanjar	$1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$

Nisbah peraknya ialah

$1+{\sqrt {2}}.\,$

History

Tanah liat Babylon YBC 7289 dengan catatan.
(Imej oleh Bill Casselman)

Tablet tanah liat Babylon YBC 7289 (kk. 1800–1600 SM) memberikan anggaran ${\sqrt {2}}$ dalam bentuk perenam-puluhan, iaitu lebih kurang bentuk enam perpuluhan:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.$

Anggaran awal yang hampir lain bagi nombor ini diberi dalam teks matematik India purba, Sulbasutra (kk. 800–200 SM) seperti berikut: Tambahkan panjang [sisi] dengan sepertiganya dan sepertiga ini dengan seperempatnya kurang sepertiga-puluh-empat bagi seperempat itu. Itu ialah,

$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.$

Anggaran India purba ini merupakan jujukan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan nombor Pell, yang boleh diterbitkan dari kembangan pecahan lanjar untuk ${\sqrt {2}}.$

Penemuan bagi nombor tak nisbah sering menyumbang kepada Hippasus of Metapontum Pythagoras, yang memperkenalkan bukti ketidak nisbahan (hampir kepada geometri) untuk punca kuasa 2. Menurut lagenda, Pythagoras percaya dalam kemutlakan nombor-nombor dan tidak dapat menerima nombor tak nisbah. Dia tidak dapat memalsukannya melalui logik, tetapi kepercayaannya tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas. [1] Lagenda lain menyatakan yang dilemaskan Hippasus oleh pengikut Pythagoras [2], atau dihalau dari golongan itu. [3]

Computation algorithm

Banyak olgoritma yang membuat penganggaran punca kuasa 2, sama ada dalam pernyataan nisbah integer atau dalam bentuk perpuluhan. Algoritma paling biasa bagi kes ini, sama ada menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin pengira, adalah kaedah Babylon bagi pengiraan punca kuasa 2 yang merupakan salah satu daripada kaedah mengira punca kuasa. Perkara itu adalah seperti berikut:

Pertama, ambil mana-mana tekaan, $F_{0}$; tekaan itu tidak penting kerana tekaan itu hanya mempengaruhi berapa banyak lelaran yang diperlukan untuk mencapai anggaran penghampiran bagi ketepatan tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tekaan itu, lelarkannya menerusi pengiraan rekursif tersebut:

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\frac {2}{F_{n}}}}{2}}.$

Lebih banyak lelaran dalam algortma ini (iaitu banyak pengiraan dilakukan dan "n" lebih besar), lebih elok anggaran punca kuasa 2 dapat dicapai.

Nilai √2 dikira hingga 137,438,953,444 tempat perpuluhan oleh pasukan Yasumasa Kanada pada 1997.

Pada Februari 2006, rekod pengiraan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo mengira hingga 200,000,000,000 tempat perpuluhan dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6GHz PC yang mempunyai 16GB ingatan.

Dalam banyak-banyak pemalar dengan kembangan perpuluhan tak berulang, hanya π telah dikira dengan lebih tepat. [4]

Bukti ketidak nisbahan

Pembuktian dengan penurunan tak terhingga

Satu pembuktian nombor tak nisbah adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ia juga pembuktian melalui percanggahan, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahawa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahawa pernyataan asal itu adalah betul.

1. Anggap yang √2 adalah nombor nisbah, bermakna wujud integer a dan integer b yang menunjukkan a / b = √2.
2. Kemudian √2 boleh ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (pecahan yang boleh dimudahkan sebanyak mungkin) a / b iaitu a dan b adalah integer gandaan dan (a / b)² = 2.
3. Kemudian a² / b² = 2 dan a² = 2 b².
4. Maka a² adalah genap kerana ia bersamaan dengan 2 b² iaitu genap juga.
5. Kemudian a mestilah genap (kerana kuasa intereger ganjil adalah ganjil).
6. Disebabkan a adalah genap, wujudnya integer k yang memenuhi: a = 2k.
7. Dengan menggantikan (6) ke dalam persamaan akhir (3): 2b² = (2k)² adalah sama dengan 2b² = 4k² yang juga sama dengan b² = 2k².
8. Disebabkan 2k² genap kerana b² juga genap yang membawa maksud b adalah genap kerana interger ganjil mempunyai kuasa yang ganjil.
9. Dengan (5) dan (8) a dan b adalah genap kedua-duanya, yang bercanggah dengan a / b yang tak terturunkan seperti dinyatakan dalam (2).

"quod erat demonstrandum"

Memandangkan terdapatnya percanggahan, anggapan (1) iaitu √2 nombor nisbah adalah salah, Maka, bertentangan dengan pernyataan itu adalah dibuktikan benar: √2 tidak nisbah.

Pembuktian ini boleh digunakan untuk sebarang punca kuasa nombor asli untuk menunjukkan sama ada nombor itu nombor asli atau nombor tidak nisbah.

Rujukan

• Apostol, Tom M. (2000). "Irrationality of The Square Root of Two—A Geometric Proof". The American Mathematical Monthly. 107 (9): 841–842.
• Flannery, David (2005). The Square Root of Two. Springer. ISBN 0-387-20220-X.
• Fowler, David (1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context" (PDF). Historia Mathematica. 25 (4): 366–378.
• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of ${\sqrt {2}}$.
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra

Pautan luar

• (Inggeris) The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
• (Inggeris) Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• (Inggeris) √2.net, enthusiast site with realtime computation