Logaritma

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Rajah logaritma terhadap asas yang berbeza. merah adalah terhadap e, hijau adalah terhadap 10, dan ungu adalah terhadap 1.7. Perhatikan bahawa graf logaritma terhadap asas yang berbeza selalu melalui titik (1,0)

Logaritma adalah operasi matematik yang merupakan songsangan eksponen atau kuasa.

Rumus asas logaritma:

bc= a ditulis sebagai logb a = c (b disebut asas).

Asas[sunting | sunting sumber]

Asas yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah asas 10, e≈ 2.71828... dan 2.

Pernyataan[sunting | sunting sumber]

  • Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti loge a, log a sebagai ganti log10 a dan ld a sebagai ganti log2 a.
  • Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berasaskan 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berasaskan e.
  • Pada beberapa bahasa pemprograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berasaskan e.
  • Kadang-kala Log x (huruf besar L) menunjuk kepada log10 x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada loge x.

Mencari nilai logaritma[sunting | sunting sumber]

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

Rumus[sunting | sunting sumber]

  • logx x = 1
  • logx^n xm = m/n
  • logb x + logb y = logb (xy)
  • logbx - logb y = logb (x/y)
  • (loga b)(logb c) = loga c
  • logb xn = nlogb x
  • logb x = logk x / logk b

Kegunaan logaritma[sunting | sunting sumber]

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang kuasanya tidak diketahui. Tertibnya mudah dicari, maka, logaritma sering digunakan sebagai penyelesaian pengkamiran. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan mencari punca, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponen.

Sains[sunting | sunting sumber]

Dalam sains, terdapat banyak bidang yang umumnya dinyatakan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat pada skala logaritma.

  • Negatif logaritma berasaskan 10 digunakan dalam kimia untuk menyatakan kepekatan ion hidronium (pH). Contohnya, kepekatan ion hidronium dalam air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
  • Unit bel (dengan simbol B) adalah unit pengukur perbandingan (nisbah), seperti perbandingan nilai daya dan ketegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah kerana telinga manusia mentafsirkan suara yang didengari secara logaritmik. Unit Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang pencipta dalam bidang telekomunikasi. Unit desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
  • Dalam astronomi, magnitud yang mengukur keamatan bintang menggunakan skala logaritma, kerana mata manusia melihat kecerahan keamatan secara logaritmik.

Pengiraan yang lebih mudah[sunting | sunting sumber]

Logaritma memindahkan fokus pengiraan dari bilangan normal kepada kuasa dan eksponen. Apabila asas logaritmanya sama, maka beberapa jenis pengiraan menjadi lebih mudah dengan menggunakan logaritma::

Pengiraan dengan angka Pengiraan dengan eksponen Pengenalan Logaritma
 \!\, a b  \!\, A + B  \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
 \!\frac{a}{b}  \!\, A - B  \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
 \!\, a ^ b  \!\, A b  \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
 \!\, \sqrt[b]{a}  \!\, \frac{A}{b}  \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}

Sifat-sifat di atas menjadikan pengiraan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum kewujudan kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi moden.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Kalkulus[sunting | sunting sumber]

Tertib fungsi logaritma adalah

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}

iaitu ln adalah logaritma asli, logaritma yang berasaskan e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat dimudahkan menjadi

\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.

Kamiran fungsi logaritma adalah

\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

Kamiran logaritma berasaskan e adalah

\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,

Pengiraan nilai logaritma[sunting | sunting sumber]

Nilai logaritma dengan asas b dapat dikiran dengan rumus dibawah ini.

 \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}

Sedangkan untuk logaritma berasaskan e dan berasaskan 2, terdapat kaedah-kaedah yang umum, yang hanya menggunakan penambahan, penolakan, pendaraban, dan pembahagian.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]