Masalah Erdős–Graham

Dalam teori nombor gabungan, masalah Erdős–Graham ialah masalah untuk membuktikan bahawa, jika set $\{2,3,4,\dots \}$ daripada integer yang lebih besar daripada satu dibahagikan kepada subset banyak terhingga, maka salah satu daripada subset boleh digunakan untuk membentuk perwakilan pecahan Mesir bagi perpaduan. Iaitu, untuk setiap $r>0$ , dan setiap $r$ -pewarnaan integer lebih daripada satu, terdapat subset monokromatik terhingga $S$ daripada integer ini supaya

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.

Secara lebih terperinci, Paul Erdős dan Ronald Graham menjangkakan bahawa, untuk saiz yang cukup besar $r$ , ahli terbesar $S$ boleh dibatasi oleh $b^{r}$ untuk beberapa tetap $b$ bebas daripada $r$ . Telah diketahui bahawa, untuk ini benar, $b$ mestilah sekurang-kurangnya pemalar Euler $e$ .^[1]

Ernie Croot membuktikan sangkaan itu sebagai sebahagian daripada tesis Ph.D beliau^[2] dan kemudian (semasa penyelidik pasca kedoktoran di UC Berkeley) menerbitkan bukti dalam Annals of Mathematics.^[3] Nilai yang diberikan oleh Croot $b$ ialah sangat besar: ia merupakan $e^{167000}$ paling banyak. Keputusan Croot berikut sebagai akibat daripada teorem yang lebih umum yang menyatakan kewujudan perwakilan pecahan Mesir bagi kesatuan untuk set $C$ nombor licin dalam selang bentuk $[X,X^{1+\delta }]$ , di mana $C$ mengandungi nombor yang cukup banyak sehingga jumlah salingannya ialah sekurang-kurangnya enam. Konjektur Erdős–Graham mengikuti daripada keputusan ini dengan menunjukkan bahawa seseorang boleh mencari selang bentuk ini di mana jumlah kebalikan semua nombor licin ialah sekurang-kurangnya $6r$ ; oleh itu, jika integer ialah $r$ -berwarna mesti ada subset monokromatik $C$ memenuhi syarat teorem Croot.

Bentuk keputusan yang lebih kukuh, bahawa mana-mana set integer dengan ketumpatan atas positif termasuk penyebut bagi perwakilan pecahan Mesir bagi satu, telah diumumkan pada 2021 oleh Thomas Bloom, seorang penyelidik pasca doktoral di Universiti Oxford.^[4]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

^ Erdős, Paul; Graham, Ronald L. (1980). Old and new problems and results in combinatorial number theory. Monographies de L'Enseignement Mathématique [Monographs of L'Enseignement Mathématique]. 28. Geneva: Université de Genève, L'Enseignement Mathématique. m/s. 30–44. MR 0592420.
^ Croot, Ernest S., III (2000). Unit Fractions (Tesis). University of Georgia, Athens.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Bloom, Thomas F. (December 2021). "On a density conjecture about unit fractions". arXiv:2112.03726 [math.NT].

Pautan luar[sunting | sunting sumber]

Halaman Web Ernie Croot

[eg-1] Erdős, Paul; Graham, Ronald L. (1980). Old and new problems and results in combinatorial number theory. Monographies de L'Enseignement Mathématique [Monographs of L'Enseignement Mathématique]. 28. Geneva: Université de Genève, L'Enseignement Mathématique. m/s. 30–44. MR 0592420.

[croot-thesis-2] Croot, Ernest S., III (2000). Unit Fractions (Tesis). University of Georgia, Athens.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[croot-annals-3] Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[bloom-4] Bloom, Thomas F. (December 2021). "On a density conjecture about unit fractions". arXiv:2112.03726 [math.NT].

[1]

[2]

[3]

[4]