Nombor nisbah

Nombor nisbah.

Nombor nisbah ialah sebarang nombor nyata yang boleh ditulis sebagai suatu nisbah atau pecahan. Suatu nombor nisbah $q$ boleh ditulis dalam bentuk a:b dimana a dan b adalah suatu integer dengan satu syarat bahawa penyebut tersebut tidak boleh sama dengan 0.

Sebagai contoh, 2/3 adalah nombor nisbah kerana pengangka dan penyebutnya adalah integer.

Perkataan 'nisbah' datang daripada perkataan bahasa Arab نِسْبَة (nisba) yang digunakan dalam konteks gramatis dan kewangan.

Definisi

Set bagi semua nombor nisbah ditandai dengan simbol blackboard $\mathbb {Q}$ ditakrifkan sebagai;

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\,|\,\,a,b\in \mathbb {Z} \,\,\mathrm {dan} \,\,b\neq 0\right\}$

di mana $\mathbb {Z}$ ialah set bagi semua integer.

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Nombor asli $\mathbb {N}$ Nombor negatif $\mathbb {Z} ^{-}$ Integer $\mathbb {Z}$ Nombor nisbah $\mathbb {Q}$ Nombor bukan nisbah $\mathbb {Q} '$ Nombor nyata $\mathbb {R}$ Nombor khayalan $\mathbb {I}$ Nombor kompleks $\mathbb {C}$ Nombor algebra ${\overline {\mathbb {Q} }}$ Nombor transenden $\mathbb {T}$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $\mathbb {H}$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $\mathbb {O}$ Sedenion $\mathbb {S}$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah $\mathbb {R} ^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal $\aleph _{n}$ Nombor perdana $\mathbb {P}$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik $x$ Nombor besar Pi $\pi$ Nombor Euler $e$ Unit khayalan $i$ Ketakterhinggaan $\infty$

Nombor yang tidak boleh diwakili dalam bentuk dikenali sebgai nombor bukan nisbah. Set untuk nombor-nombor itu ditandai dengan pelengkap bagi $\mathbb {Q}$, iaitu $\mathbb {Q} '$. Antara contoh nombor tidak nisbah adalah ${\sqrt {2}}$, $e$ dan $\mathrm {ln} (3)$.

Sifat

• $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$; Set nombor nisbah adalah subset bagi set nombor nyata.
• $\mathbb {Q} \,\cup \mathbb {Q} ^{'}=\mathbb {R}$; Kesatuan set nombor nisbah dan set nombor bukan nisbah adalah set nombor nyata.

Aritmetik

Maklumat selanjutnya: Pecahan

Berikut merupakan nombor nisbah $a/b$ dan $c/d$ dimana $a$, $b$, $c$ dan $d$ adalah integer, melalui operasi aritmetik.

Persamaan

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ jika dan hanya jika $ad=bc$

Pendaraban dan pembahagian

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ (1), $bd\neq 0$

Hasil darab $ac$ dan $bd$ adalah integer kerana pendaraban antara dua integer akan menghasilkan suatu integer. Sebab $ac$ dan $bd$ adalah integer, maka $ab/cd$ adalah nombor nisbah mengikut definisi nombor nisbah.

$\therefore {\frac {ac}{bd}}\in \mathbb {Q}$

Ini menunjukkan hasil darab dua nombor nisbah akan menghasilkan suatu nombor nisbah. Dalam kes pembahagian pula, kita dapat;

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {{\bigl (}{\frac {a}{b}}{\bigr )}}{{\bigl (}{\frac {c}{d}}{\bigr )}}}={\frac {ad}{bc}}$ (2), $bc\neq 0$

Seperti kesimpulan dengan persamaan (1), sebab $ad$ dan $bc$ adalah integer. Maka, $ad/bc$ adalah nombor nisbah.

$\therefore {\frac {ad}{bc}}\in \mathbb {Q}$

Ini menyimpulkan bahawa pembahagian antara dua nombor nisbah masih akan menghasilkan suatu nombor nisbah.

Penambahan dan penolakan

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}$ (3)

Dari persamaan (3), didapati bahawa $ad$, $bc$ dan $bd$ ialah integer. Berikutan daripada itu, $ad\pm dc$ juga adalah integer kerana penambahan atau penolakan antara dua integer akan menghasilkan suatu integer. Sebab $ad\pm dc$ dan $bd$ adalah integer. Maka, $(ad\pm dc)/bd$ adalah nombor nisbah mengikut definisi nombor nisbah.

$\therefore {\frac {ad\pm bc}{bd}}\in \mathbb {Q}$

Penambahan dan penolakan dua nombor nisbah akan menghasilkan suatu nombor nisbah.

Songsangan

${\Bigr (}{\frac {a}{b}}{\Bigr )}^{-1}={\frac {b}{a}}$ (4), $a\neq 0$

$b$ dan $a$ ialah integer. Maka, $b/a$ adalah nombor nisbah. Hasil ini boleh digeneralisasikan kepada:

${\Bigr (}{\frac {a}{b}}{\Bigr )}^{-n}={\Bigr (}{\frac {b}{a}}{\Bigr )}^{n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}$ (5), $a\neq 0$

dimana $n\in \mathbb {Z}$.

Punca kuasa

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ (7)

Hasil tersebut menunjukkan punca kuasa dua bagi $a/b$ adalah nombor nisbah jika $a$ dan $b$ adalah kuasa dua sempurna. Ini boleh digeneralisasikan kepada:

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ (8)

dimana $n\in \mathbb {Z}$.

Fungsi nisbah

Fungsi nisbah ialah nisbah bagi dua fungsi polinomial dimana polinomial penyebut bukan 0.

$R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$