Persamaan medan Einstein

Kerelatifan am

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

Pengenalan pada... Rumusan matematik pada... Sumber Konsep asas Kerelatifan khas Prinsip kesetaraan Garis dunia · Geometri Riemannian Fenomena Masalah Kepler · Kanta · Gelombang Penyeretan-bingkai · Kesan geodetik Ufuk peristiwa · Keganjilan Lohong hitam Persamaan Graviti terlinear Formalisme pasca-Newtonan Persamaan medan Einstein Persamaan Friedmann Formalisme ADM Formalisme BSSN Teori lanjutan Kaluza–Klein Graviti kuantum Penyelesaian Schwarzschild Reissner-Nordström · Gödel Kerr · Kerr-Newman Kasner · Milne · Robertson-Walker gelombang-pp Saintis Einstein · Minkowski · Eddington Lemaître · Schwarzschild Robertson · Kerr · Friedman Chandrasekhar · Hawking · lain

Persamaan medan Einstein (bahasa Inggeris: Einstein field equations (EFE) atau Einstein's equations) ialah suatu set sepuluh persamaan dalam teori Einstein mengenai kerelatifan am yang menjelaskan interaksi asas graviti sebagai akibat ruang waktu menjadi melengkung oleh jirim dan tenaga. Pertama kali diterbitkan Einstein pada 1915 sebagai persamaan tensor, EFE menyamakan lengkungan ruangmasa (diungkapkan oleh tensor Einstein) dengan tenaga dan momentum di dalam ruangmasa itu (diungkapkan oleh tensor tekanan-tenaga).

Mirip dengan cara medan elektromagnet ditentukan dengan menggunakan cas dan arus melalui persamaan Maxwell, EFE digunakan untuk menentukan geometri ruangmasa yang terhasil daripada kehadiran jisim-tenaga dan momentum linear, iaitu, mereka menentukan tensor metrik ruangmasa untuk suatu susunan tertentu tekanan-tenaga dalam ruangmasa. Hubungan di antara tensor metrik dan tensor Einstein membenarkan EFE untuk ditulis sebagai suatu set persamaan pembezaan separa tak linear apabila digunakan dalam cara ini. Penyelesaian EFE ialah komponen tensor metrik. Trajektori inersia zarah dan pancaran (geodesik) pada geometri terhasil kemudiannya dikira menggunakan persamaan geodesik.

Selain mematuhi keabadian tenaga-momentum tempatan, EFE menurun kepada hukum kegravitian Newton di mana medan graviti adalah lemah.

Teknik-teknik penyelesain untuk EFE termasuk meringkaskan anggapan seperti simetri. Kelas istimewa penyelesaian tepat paling sering dikaji kerana mereka memodelkan banyak fenomena graviti, seperti lohong hitam berputar dan pengembangan alam semesta. Peringkasan lanjut dicapai dengan menganggap ruangmasa sebenar sebagai ruangmasa leper dengan sisihan kecil, membawa kepada EFE terlinear. Persamaan ini digunakan untuk mengkaji fenomena seperti gelombang graviti.

Bentuk matematik

Persamaan medan Einstein (EFE) dapat dituliskan dalam bentuk:

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

di mana $R_{\mu \nu }\,$$R_{\mu \nu }\,$ adalah tensor lengkungan Ricci, $R\,$$R\,$ the lengkungan skalar, $g_{\mu \nu }\,$$g_{\mu \nu }\,$ tensor metrik, $\Lambda \,$$\Lambda \,$ is the cosmological constant, $G\,$$G\,$ adalah graviti tetap, $c\,$$c\,$ had laju cahaya, and $T_{\mu \nu }\,$$T_{\mu \nu }\,$ tensor tekanan tenaga.

EFE adalah sebuah persamaan tensor berkaitan dengan set tensor 4 x 4 bersimetri. Ia dituliskan sini menggunakan catatan indeks abstrak. Tiap tensor mempunyai 10 komponen bebas. Memberikan pilihan empat koordinat ruang waktu, persamaan bebas dikurangkan ke 6 dalam bilangan.

Walaupun persamaan Einstain telah secara bermula dirumuskan ke dalam konteks teori empat dimensi, sesetengah ahli teori telah menjelajahi akibat mereka dalam dimensi n. Persamaan dalam konteks di luar kerelatifan am masih dirujukkan persamaan medan Einstein. Persamaan medan penyebut mentakrifkan berlipat ganda Einstein.

Sungguhpun kemunculan ringkas persamaan adalah, ternyata, agak rumit. Memberikan suatu pengedaran khusus jirim dan tenaga dalam bentuk tensor tenaga tekanan, EFE difahami dijadikan persamaan untuk tensor metrik $g_{\mu \nu }$$g_{\mu \nu }$, dengan tensor Ricci dan lengkungan berskala tergantung pada metrik pada suatu cara bukan garisan lurus yang rumit. Ternayata, apabila ditulis penuh, EFE adalah sebuah sistem 10 dipasangankan, bukan garisan lurus, persamaan kebezaan separuh hiperbolik-eliptik.

Seorang dapat menulis EFE dalam bentuk lebih padat dengan mentakrifkan tensor Einstein

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },$

yang adalah tensor yang kedudukan kedua bersimetri yang fungsinya metrik. EFE dapat dituliskan sebagai

$G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },$$G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },$

di mana istilah berkosmologi telah diserapkan ke dalam tensor tenaga tekanan sebagai tenaga gelap.

Menggunakan unit bergeometri di mana G = c = 1, ini dapat dituliskan semula sebagai

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.$$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.$

Penjelasan pada kiri mewakili lengkunagan ruang waktu seperti ditentukan oleh metrik dan penjelasan kanan mewakili kandungan jirim/tenaga waktu angkasa. EFE dapat kemudian menterjemahkan sebagai suatu set persamaan menetapkan bagaimana kelengkungan ruangmasa berkaitan dengan kangunan perkara/tenaga alam.

Persamaan ini, bersama dengan persamaan geodesik, membentukkan teras rumusan matematik kerelatifan am.

Resam tanda

Bentuk di atas EFE adalah piawai didirikan oleh Misner, Thorne, dan Wheeler. Para pengarang tersebut menganalisiskan semua resam yang wujud dan mengklasifikasikan menurut tiga tanda berikut (S1, S2, S3):

$g_{\mu \nu }~~=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)$$g_{\mu \nu }~~=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)$

$R_{a\beta \gamma }^{\mu }=[S2]\times (\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma a}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta a}^{\sigma })$$R_{a\beta \gamma }^{\mu }=[S2]\times (\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma a}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta a}^{\sigma })$

$G_{\mu \nu }~~=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$$G_{\mu \nu }~~=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

Tanda ketiga di atas berkaitan dengan pilihan resam untuk tensor Ricci:

$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times R_{\mu a\nu }^{a}$$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times R_{\mu a\nu }^{a}$

Dengan takrifan ini Misner, Thorne, dan Wheeler mengklasifikasikan diri mereka sebagai $(+++)\,$$(+++)\,$, sedangkan Weinberg (1972) ialah $(+--)\,$$(+--)\,$, Peebles (1980) dan Efstathiou (1990) ialah $(-++)\,$$(-++)\,$ sementara Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) ialah $(-+-)\,$$(-+-)\,$.

Para pengarang termasuk Einstein telah menggunakan tanda berlainan dalam takrifan mereka untuk tensor Ricci yang mengakibatkan tanda tetap pada belah kanan dijadikan negatif

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$

Tanda pada istilah kosmologi (yang sangat kecil) akan mengubah dalam kedua-dua versi ini, jika resam tanda metrik +--- digunakan daripada resam tanda metrik MTW −+++ digunakan di sini.

Rumusan sama

Persamaan medan Einstein dapat dituliskan semula dalam bentuk "berbalik-kesan" yang berikut

$R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu })$$R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu })$

yang dapat menjadi lebih mudah dalam sesetengah perkara (contohnya, apabila seorang minat had medan lemah dan dapat menggantikan $g_{\mu \nu }$$g_{\mu \nu }$ dalam penjelasan di kanan dengan tensor Minkowski tanpa kehilangan besar pada ketepatan).

Tetap kosmologi

Einstein mengubahsuaikan persamaan medan untuk memasukkan sebuah istilah kosmologi seimbang dengan metrik

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.$$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.$

Penetapan $\Lambda$$\Lambda$ adalah penetapan berkosmologi. Sejak $\Lambda$$\Lambda$ adala tetap, hukum pemuliharaan tenaga tidak dikesankan.

Istilah penetapan kosmologi diperkenalkan oleh Einstein untuk membenarkan untuk suatu alam statik (iaitu, satu tidak memanjangkan atau mengecutkan). Usaha ini tidak berjaya dengan dua alasan: alam statik dijelaskan oleh teori ini tidak seimbang, dan pengawalan galaksi jauh oleh Hubble sedekad kemudian mengesahkan bahawa alam kita adalah, ternyata, tidak statik tetapi memanjang. Oleh itu $\Lambda$$\Lambda$ telah digendalakan, dengan Einstein memanggilnya "kesilapan terbesar [dia] telah dilakukan". Untuk beberapa tahun penetapan berkosmologi adalah secara sejagat dianggapkan 0.

Sunggunpun dorongan tidak berpandu Einstein memperkenalkan istilah penetapan berkosmologi, tidak ada apa yang tidak tekal dengan kehadiran sebarang istilah dalam persamaan. Sudha tentu, teknik-teknik astronomi telah mendapati bahwa sebuah nilai positif $\Lambda$$\Lambda$ perlu menjelaskan sesetengah pengawasan.

Einstein memikirkan penetapan berkosmologi sebuah sebuah parameter tersendiri, tetapi istilahnya dalam persamaan medan dapat juga dipindahkan secara algebra ke bahagian lain, dituliskan sebahagian dari tensor tenaga tekanan:

$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.$$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.$

Tenaga vakum adalah tetap dan diberikan oleh

$\rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$$\rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$

Kemunculan sebuah penetapan berkosmologi oleh itu sama dengan kemunculan sebuah tenaga vakum bukan kosong. Istilah-istilah kini digunakan secara bertukaran dalam kerelatifan am.

Ciri-ciri

Pemuliharaan tenaga dan momentum

Kerelatifan am adalah tekal dengan pemuliharaan tempatan tenaga dan momentum dijelaskan sebagai

$\nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0$$\nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0$.

Derivation of local energy-momentum conservation

Menghadkan pengenalan Bianchi pembezaan

$R_{ab[cd;e]}=\,0$$R_{ab[cd;e]}=\,0$

dengan $g^{ac}$$g^{ac}$ memberikan, menggunakan fakta bahawa tensor metrik ialah konstan secara kovarian, iaitu $g^{ab}{}_{;c}=0$$g^{ab}{}_{;c}=0$,

$R^{c}{}_{bcd;e}+\,R^{c}{}_{bec;d}+\,R^{c}{}_{bde;c}=\,0$$R^{c}{}_{bcd;e}+\,R^{c}{}_{bec;d}+\,R^{c}{}_{bde;c}=\,0$

Antisimetri tensor Riemann membenarkan terma kedua dalam penjelasan di atas dituliskan semula:

$R^{c}{}_{bcd;e}\,-R^{c}{}_{bce;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0$$R^{c}{}_{bcd;e}\,-R^{c}{}_{bce;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0$

yang bersamaan dengan

$R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0$$R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0$

menggunakan takrifan tensor Ricci.

Kemudian, singkatkan lagi dengan metrik

$g^{bd}(R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c})\,=0$$g^{bd}(R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c})\,=0$

to get

$R^{d}{}_{d;e}\,-R^{d}{}_{e;d}\,+R^{cd}{}_{de;c}\,=0$$R^{d}{}_{d;e}\,-R^{d}{}_{e;d}\,+R^{cd}{}_{de;c}\,=0$

Takrifan tensor Riemann dan skalar Ricci kemudian menunjukkan bahawa

$R_{,e}\,-2R^{c}{}_{e;c}\,=0$$R_{,e}\,-2R^{c}{}_{e;c}\,=0$

yang dapat dituliskann semula sebagai

$(R^{c}{}_{e}\,-{\frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c}\,=0$$(R^{c}{}_{e}\,-{\frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c}\,=0$

Penyingkatan terakhir dengan $g^{ed}$$g^{ed}$ memberikan

$(R^{cd}\,-{\frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c}\,=0$$(R^{cd}\,-{\frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c}\,=0$

yang dengan simetri istilah ditandakurung dan takrifan tensor Einstein, memberikan, selepas menandakan semula kandungan-kandungan,

$G^{ab}{}_{;b}\,=0$$G^{ab}{}_{;b}\,=0$

Menggunakan EFE, ini secara langsung memberikan,

$\nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0$$\nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0$

yang menjelaskan pemuliharaan tempatan tenaga tekanan. Hukum pemuliharaan ini adalah keperluan fizikal. Dengan persamaan medannya Einstein memastikan kerelatifan umum tekal dengan keadaan pemuliharaan ini.

Bukan garisan lurus

Ketidakgarislurusan EFE membezakan kerelatidan am dari teori-teori fizikal dasar lain. Contohnya, persamaan Maxwell pada elektromagnetisme adalah garis lurus dalam jurusan elektrik and magnetik, dan pengedaran charge dan current (iaitu jumlah dua jawapan adalah juga suatu jawapan); satu lagi contoh adalah persamaan Schrödinger pada mekanik kuantum yang adalah garis lurus dalam fungsi gelombang.

Prinsip koresponden

Persamaan medan Einstein mengurang ke hukum graviti Newton dengan menggunakan anggaran jurusan lemah dan anggaran mosi perlahan. Ternyata, konstan bermuncul dalam persamaan medan Einstein ditentukan dengan membuatkan kedua-dua anggaran ini.

Penerbitan hukum graviti Newton

Kegravitian Newton dapat dituliskan sebagai teori jurusan skalar, $\Phi \!$$\Phi \!$, yang mana adalah potensi kegravitian dalam Joules tiap kilogram

$\nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]$$\nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]$

di mana $\rho \!$$\rho \!$ adalah kepadatan massa. Orbit suatu habuk jatuh bebas memuaskan

${\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.$${\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.$

Dalam catatan tensor, ini menjadi

$\Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,$$\Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,$

${\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.$${\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.$

Dalam kerelatifan am, persamaan ini digantikan oleh persamaan jurusan Einstein dalam bentuk membalik kesan

$R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu })$$R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu })$

untuk sesetengah konstan, K, dan persamaan geodesik

${\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.$${\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.$

Untuk melihat bagaimana yang kemudiannya mengurang ke yang bekasnya, kita anggap bahawa halaju ujian habuk adalah lebih kurang kosong

${\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx ({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0)$${\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx ({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0)$

dan oleh itu

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0$${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0$

dan bahawa metrik dan terbitannya adalah lebih kurang statik dan bahawa punca-punca kuasa dua penyelewengan dari metrik Minkowski adalah sedikit sekali. Menggunakan anggapan pemudahan ini pada komponen spatial persamaan geodesik memberikans

${\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}$${\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}$

di mana dua faktor ${\frac {dt}{d\tau }}$${\frac {dt}{d\tau }}$ telah dibahagikan. Ini akan mengurang ke rakan Newtonnya, diberikanh

$\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.$$\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.$

Kuasa anggapan kita α=i dan waktu (0) menerbitkan jadi kosong. Jadi ini memudahkan ke

$2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,$$2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,$

yang dipuaskan dengan membiarkan

$g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.$$g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.$

Berpusing ke persamaan Einstein, kita hanya memerlukan komponen waktu-waktu

$R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})$$R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})$

kelajuan rendah dan anggapan jurusan statik bermakna bahawa

$T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.$$T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.$

Jadi

$T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,$$T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,$

dan oleh itu

$K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx K(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2}))={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.$$K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx K(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2}))={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.$

Dari takrifan tensor Ricci

$R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.$$R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.$

Anggapan memudahkan kita membuatkan punca-punca kuasa dua Γ hilang sama sekali dengan terbitan waktu

$R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.$$R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.$

Menggubahkan persamaan di atas semua sekali

$\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,$$\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,$

yang mengurangkan persamaan jurusan Newton memberikan

${1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,$${1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,$

yang mana akan bermuncul jika

$K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.$$K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.$

Persamaan jurusan vakum

Sebuah duit syiling berkenangan menunjukkan persamaan jurusan vakum dengan konstan kosmologi kosong (di atas).

Jika tensor momentum tenaga $T_{\mu \nu }$$T_{\mu \nu }$ adalah kosong dalam lingkungan di bawah anggapan, oleh itu persamaan jurusan juga dirujukkan persamaan jurusan vakum. Dengan memuatkan $T_{\mu \nu }=0$$T_{\mu \nu }=0$ dalam persamaan jurusan penuh, persamaan vakum dapat dituliskan semula sebagai

$R_{\mu \nu }={1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }\,.$$R_{\mu \nu }={1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }\,.$

Mengambil kesan ini (menyingkatkan dengan $g^{\mu \nu }$$g^{\mu \nu }$) dan menggunakan nyata bahawa $g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$$g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$, kita mendapatkan

$R={1 \over 2}R\,4=2R\,$$R={1 \over 2}R\,4=2R\,$

dan oleh itu

$R=0\,.$$R=0\,.$

Menggantikan semula, kita mendapatkan bentuk sama jurusan vakum

$R_{\mu \nu }=0\,.$$R_{\mu \nu }=0\,.$

Dalam konstan kosmologi bukan kosong, persamaan adalah

$R_{\mu \nu }={1 \over 2}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }$$R_{\mu \nu }={1 \over 2}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }$

yang memberikan

$R=4\Lambda \,$$R=4\Lambda \,$

menghasilkan bentuk sama

$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\,.$$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\,.$

Jawapan pada persamaan jurusan vakum digelar jawapan vakum. Ruang Minkowski leper adalah contoh termudah pada jawapan vakum. Contoh-contoh bukan perkara yang remeh-temeh termasuk jawapan Schwarzschild dan jawapan Kerr.

Lipatan ganda dengan suatu tensor Ricci yang menghilang diri, $R_{\mu \nu }=0$$R_{\mu \nu }=0$, dirujukkan lipatan ganda leper Ricci dan berlipat ganda dengan tensor Ricci seimbang dengan metrik sebagai lipatan ganda Einstein.

Persamaan Einstein-Maxwell

Lihat juga: Persamaan Maxwell dalam waktu angkasa berlengkung

Jika tensor momentum tenaga $T_{\mu \nu }$$T_{\mu \nu }$ adalah yang pada sebuah jurusan elektromagnetik dalam ruang bebas, iaitu jika tensor tenaga tekanan elektromagnetik

$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau })$$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau })$

digunakan, oleh itu persamaan jurusan Einstein digelarkan persamaan Einstein-Maxwell (dengan konstan kosmologi Λ, dibawa ke kosong dalam teori kerelatifan lazim):

$R^{\alpha \beta }-{1 \over 2}Rg^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }).$$R^{\alpha \beta }-{1 \over 2}Rg^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }).$

Tambahan, Persamaan Maxwell kelainan sama juga digunakan dalam angkasa bebas:

$F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0$$F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0$

$F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)=0.\!$$F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)=0.\!$

di mana koma bertitik mewakili terbitan kelainan sama, dan tanda kurung menandakan anti-kesimetrian. Persamaan pertama menegaskan bahawa 4-pencapahan F dua bentuk adalah kosong, dan yang kedua yang terbitan bahagian luarnya adalah kosong. Dari yang kedua, ia diikuti oleh lemma Poincaré bahawa carta koordinat ia mungkin dapat memperkenalkan suatu potensi jurusan elektromagnetik A_α yang seperti mana

$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!$$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!$

di mana koma menandakan terbitan seimbang. Ini sering diambil sebagai sama dengan persamaan Maxwell yang kelainan sama dari mana ia berasal. Meskipun, adanya jawapan global persamaan yang boleh berkurangan secara global ditakrifkan berpotensi.

Jawapan

Rencana utama: Jawapan persamaan medan Einstein

Jawapan persamaan medan Einstein adalah metrik masa angkasa. Jawapan oleh itu sering digelarkan 'metrik'. Metrik-metrik ini menjelaskan struktur ruang waktu termasuk mosi inertial benda dalam masa ruang. Apabila persamaan medan ialah bukan garis lurus, mereka tidak dapat sentiasa diselesaikan secara keseluruhannya (iaitu tanpa membuat anggaran). Contohnya, tidak diketahui jawapan lengkapnya untuk suatu masa angkasa dengan dua badan tersergam dalamnya (yang adalah sebuah model berteori pada sistem bintang binari, contohnya). Meskipun, anggaran biasanya diperbuat dalam hal-hal ini. Ini secara umum dirujukkan anggaran selepas Newton. Walaupun demikian, ada banyak hal-hal di mana persamaan medan telah diselesaikan secara keseluruhan, dan itu digelarkan jawapan tepat.

Kajian jawapan tepat persamaan Einstein adalah salah satu dari aktiviti kosmologi. Ia membawa ke ramalan lohong hitam dan model berlainan pada evolusi alam.

EFE yang bergarisan lurus

Rencana utama: Persamaan medan Einstein Digarisluruskan, Graviti digarisluruskan

Ketidakgarislurusan EFE membuatkan pencarian jawapan tepat susah. Satu caranya menyelesaikan persamaan mesan adalah dengan membuatkan anggaran, bermakna, yang jauh dari sumber jirim gravitian, medan kegravitian adalah sangat lemah dan ruang waktu menganggarkan yang pada ruang Minkowski. Metrik kemudian dituliskan sebagai jumlah metrik Minkowski dan sebuah istilah mewakili penyelewengan dari metrik sebenar dari metrik Minkowski. Tatacara kegarislurusan ini dapat digunakan untuk membincangkan fenomena pancaran kegravitian.

Lihat juga

• Tindakan Einstein-Hilbert
• Jawapan tepat pada persamaan medan Einstein
• Prinsip persamaan
• Kerelatifan am

• Sumber kerelatifan am
• Sejarah kerelatifan am
• Matematik kerelatifan am
• Jawapan persamaan medan Einstein

Rujukan

See General relativity resources.

• Aczel, Amir D., 1999. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. A popular account.
• Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation. W H Freeman.

Pautan luar

• Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
• The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
• Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.