Segi tiga Pascal

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari



\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}

Lima barisan pertama pada segi tiga Pascal

Dalam matematik, segi tiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segi tiga. Ia dinamakan sempena Blaise Pascal dalam kebanyakan dunia barat, walaupun ahli matematik lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Parsi, China, dan Itali. Barisan segi tiga Pascal secara kebiasaannya dihitung bermula dengan barisan kosong, dan nombor-nombor dalam barisan ganjil biasanya diatur supaya berkait dengan nombor-nombor dalam barisan genap. Pembinaan mudah pada segi tiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan sifar, hanya tulis nombor 1. Kemudian, untuk membina unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nombor di atas dan di kiri dengan nombor secara terus di atas dan di kanan untuk mencari nilai baru. Jikalau nombor di kanan atau kiri tidak wujud, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Contohnya, nombor pertama di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nombor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nombor 4 dalam barisan keempat.

Setiap nombor dalam segi tiga adalah jumlah dua secara terus di atas.

Pembinaan ini berkaitan dengan pekali binomial oleh Peraturan Pascal, yang menyatakan bahawa jika

 {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

adalah pekali binomial ke-'k dalam pengembangan binomial pada (x + y)n, di mana n! adalah faktorial n, oleh itu

 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

untuk mana-mana integer bukan negatif n dan mana-mana integer k di antara 0 dan n.[1]

Segi tiga Pascal mempunyai pengitlakan dimensi lebih tinggi. Versi tiga-dimensi digelar Piramid Pascal atau Pascal's tetrahedron, manakala versi umum digelar simpleks Pascal — juga lihat piramid, tetrahedron dan simpleks.

Segi tiganya[sunting | sunting sumber]

Di bawah adalah barisan kosong ke enam belas pada segi tiga Pascal:

                                                1
                                             1     1
                                          1     2     1
                                       1     3     3     1
                                    1     4     6     4     1
                                 1     5    10    10     5     1
                              1     6    15    20    15     6     1
                           1     7    21    35    35    21     7     1
                        1     8    28    56    70    56    28     8     1
                     1     9    36    84    126   126   84    36     9     1
                  1    10    45    120   210   252   210   120   45    10     1
               1    11    55    165   330   462   462   330   165   55    11     1
            1    12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12     1
         1    13    78    286   715  1287  1716  1716  1287   715   286   78    13     1
      1    14    91    364  1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14     1
   1    15    105  455   1365  3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365   455   105   15     1
1    16    120   560  1820  4368  8008  11440 12870 11440 8008  4368  1820   560   120  16     1

Segi tiga Pascal dan pengembangan binomial[sunting | sunting sumber]

Segi tiga Pascal menentukan pekali yang menambah dalam pengembangan binomial. Contohnya, timbangkan pengembangan berikutnya

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2.

Perhatikan bahawa pekali adalah nombor dalam baris kedua segi tiga Pascal: 1, 2, 1. Pada umumnya, apabila sebuah binomial seperti x + y ditambahkan ke suatu tenaga integer positif kita mendapat:

(x + y)n = a0xn + a1xn−1y + a2xn−2y2 + … + an−1xyn−1 + anyn,

iaitu pekali ai dalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris n segi tiga Pascal'. Maknanya,

a_i = {n \choose i}.

Ini adalah teorem binomial.

Perhatikan bahawa keseluruhan pepenjuru kanan segi tiga Pascal berhubungan dengan pekali yn dalam pengembangan binomial ini, sedangkan pepenjuru seterusnya berhubungan dengan pekali xyn-1 dan sebagainya.

Untuk melihat bagaimana teorem binomial berkaitan dengan pembinaan mudah segi tiga Pascal, pertimbangkan masalah pengiraan pekali pengembangan (x + 1)n+1 dari segi pekali berhubungan (x + 1)n (letakkan y = 1 untuk lebih mudah). Anggap selepas itu bahawa

(x+1)^n=\sum_{i=0}^n a_i x^i.

Sekarang

 (x+1)^{n+1} = (x+1)(x+1)^n = x(x+1)^n + (x+1)^n = \sum_{i=0}^n a_i x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i.

Dua penjumlahan dapat diatur semula sebagai berikutnya:


\begin{align}
& \sum_{i=0}^{n  } a_{i  } x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} x^{i  } + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } a_{i-1} x^{i  } + \sum_{i=1}^n a_i x^i + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } (a_{i-1} + a_i)x^{i  } + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } (a_{i-1} + a_i)x^{i  } + x^0 + x^{n+1}
\end{align}

(kerana cara penambahan suatu polinomial ke suatu kuasa berhasil, a0 = an = 1).

Kita sekarang mempunyai pernyataan untuk polinomial (x + 1)n+1 dari segi pekali (x + 1)n (ini adalah ais), iaitu kita perlu jika jika ingin menyatakan suatu baris dari kiri-atas ke kanan-bawah berkorespon dengan tenaga sama x, dan bahawa jangka-a adalah pekali polinomial (x + 1)n, dan kita menentukan pekali (x + 1)n+1. sekarang, untuk mana-mana i diberikan bukan 0 atau n + 1, pekali jangka xi dalam polinomial (x + 1)n+1 adalah bersamaan dengan ai (tokoh di atas dan di kanan tokoh untuk ditentukan, sejak ia adalah pada pepenjuru yang sama) + ai−1 (tokoh di kanan secara terus pada tokoh pertama). Ini sudah tentu peraturan mudah untuk pembinaan segi tiga Pascal baris-demi-baris.

Adalah tidak susah untuk mengitarkan perdebatan ini ke dalam bukti (oleh induksi matematik) pada teorem binomial.

Suatu akibat menarik pada teorem binomial didapatkan dengan memuatkan dua jenis x dan y bersamaan dengan satu. Dalam kes ini, kita tahu bahawa  (1+1)^n = 2^n , dan oleh itu

 {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n.

Maknanya, jumlah kemasukan pada baris ke-n pada segi tiga Pascal adalah tenaga ke-n pada 2.

Pola dan ciri[sunting | sunting sumber]

Segi tiga Pascal mempunyai banyak ciri dan mengandungi banyak pola bilangan.

Pepenjuru[sunting | sunting sumber]

Sesetengah corak mudah adalah amat jelas kelihatan dalam pepenjuru segi tiga Pascal:

  • Pepenjuru yang menuju sepanjang sisi kiri dan kanan hanya mempunyai satu 1.
  • Pepenjuru bersebelahan dengan pepenjuru sisi mengandungi nombor asli mengikut turutan.
  • Bergerak ke dalam, pasangan pepenjuru tersebut mempunyai nombor segi tiga mengikut turutan.
  • Pasangan pepenjuru seterusnya mengandungi nombor tetrahedron mengikut turutan, dan pasangan berikutnya memberikan nombor pentop. Secara amnya, setiap pasangan pepenjuru yang seterusnya mengandungi nombor "d-simpleks" yang lebih tinggi dimensinya, yang boleh ditakrifkan sebagai
 \textrm{tri}_1(n) = n \quad\mbox{and}\quad \textrm{tri}_{d}(n) = \sum_{i=1}^n \mathrm{tri}_{d-1}(i).

Rumus lain adalah seperti berikut:

\textrm{tri}_d(n)=\begin{cases} 1 & \mbox{if } d=0 \\ n & \mbox{if } d=1 \\ \displaystyle \frac{1}{d!}\prod_{k=0}^{d-1} (n+k) & \mbox{if } d\ge 2.\end{cases}

Makna geometri pada sebuah fungsi trid adalah: trid(1) = 1 untuk kesemua d. Pembinaan pada sebuah segi tiga dimensi-d (sebuah segi tiga 3-dimensi adalah sebuah tetrahedron) dengan meletakkan titik tambahan di bawah dot initial, berkorespon dengan trid(1) = 1. Letakkan titik ini dalam suatu cara analog pada peletakan nombor pada segi tiga Pascal. Untuk mendapatkan d(x), harus mempunyai sejumlah have x titik mendirikan bentuk sasaran. trid(x) kemudian bersamaan dengan jumlah bilangan titik dalam bentuk tersebut. Sebuah segi tiga 1-dimensi adalah hanya sebuah garisan, dan oleh itu tri1(x) = x, yang adalah urutan pada nombor asli. Bilangan titik pada setiap lapis berkorespon dengan trid − 1(x).

Segi tiga Sierpinski

Petak dan ciri lain[sunting | sunting sumber]

  • Petak didapatkan dengan mewarna hanya pada nombor ganjil dalam segi tiga Pascal yang merupai berhampiran dengan fraktal yang digelar Segi tiga Sierpinski, dan persamaan ini menjadi lebih tepat apabila lebih barisan dianggapkan; pada hadnya, ketika bilangan barisan mencapai infiniti, corak resulting adalah segi tiga Sierpinski. Lebih umumnya, nombor boleh diwarna secara berlainan menurut sama ada tidak mereka adalah pendaraban 3, 4, dsb.; ini menyebabkan corak dan penggabungan lain.
  • Bayangkan setiap nombor pada segi tiga adalah node pada sebuah kekisi yang bercantum dengan nombor bersebelahan di atas dan di bawahnya. Sekarang untuk mana-mana nod di grid, kiralah bilangan jalan yang ada pada kekisi (tanpa backtracking) yang bercantum node ini ke node atas (1) di segi tiga. Jawapannya adalah nombor Pascal berkaitan dengan node itu. Penterjemahan nombor di Segi tiga Pascal adalah bilangan jalan ke nombor itu dari tip means yang pada suatu papan mainan Plinko berbentuk seperti sebuah segi tiga, kebarangkalian hadiah kemenangan berhampiran dengan pusat akan menjadi lebih tinggi daripada hadiah kemenangan di sisi-sisi.
  • Nilai pada setiap barisan, jika setiap nombor dalam itu dianggap sebagai tempat perpuluhan dan nombor lebih besar daripada 9 diangkat yang secara berturut, adalah tenaga 11 (terutamanya, 11n, di mana n adalah nombor barisan). Contohnya, barisan dua membaca '1, 2, 1', iaitu 112 (121). Di barisan lima, '1, 5, 10, 10, 5, 1' diterjemahkan ke 161051 selepas mengangkat nilai, yakni adalah 115. Properti ini dijelas secara mudah dengan meletakkan x = 10 pada pengembangan binomial (x + 1)nombor barisan, dan menyesuaikan nilai-nilai untuk dimuatkan ke sistem nombor perpuluhan.

Corak tidak ketara[sunting | sunting sumber]

Terdapat juga corak tidak ketara yang lebih menakjubkan. Dari suatu unsur tunggal pada segi tiga, suatu garisan pepenjuru yang lebih cetek dapat dibentuk dengan berterusan memindahkan satu unsur ke kanan, kemudian satu unsur ke kanan-bawah, atau dengan bergerak ke arah sebelah. Sebagai contoh adalah garisan dengan unsur 1, 6, 5, 1, yang bermula dari baris 1, 3, 3, 1 dan berakhir tiga baris di bawah. Sebuah "pepenjuru" seperti itu mempunyai jumlah yang merupakan sebuah Nombor Fibonacci. Pada kes contoh itu, nombor Fibonacci adalah 13:

                                       1
                                    1     1
                                 1     2     1
                              1  →  3 ↓   3     1
                           1     4    6  →  4 ↓   1
                        1     5     10    10   5  →  1 ↓
                     1  →  6 ↓   15    20    15    6    1
                   1     7    21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
              1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
            1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
          1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
        1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
      1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
    1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14    1 
  1    15   105   455   1365   3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365  455   105   15    1
1    16  120   560   1820  4368  8008 11440 12870 11440  8008  4368  1820   560   120   16   1

Pepenjuru yang kedua digelapkan mempunyai jumlah 233. Bilangan loncatan itu adalah di antara gerakan kanan dan gerakan bawah-kanan juga berjumlah ke nombor Fibonacci, dengan nombor-nombor loncatan di pepenjuru pertama digelapkan adalah 3, 4 dan 1, menjadikannya 8.

Tambahan lagi, jika baris m diambil untuk menunjukkan baris (n+1), jumlah punca kuasa dua pada unsur-unsur baris m bersamaan dengan unsur tengah pada baris (2m-1). Contohnya, 1^2 + 4^2 + 6^2 + 4 ^2 + 1^2 = 70. Pada bentuk umum:

\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}.

Satu lagi corak menarik adalah bahawa pada mana-mana baris m, yang mempunyai m ganjil, istilah kanan tolak istilah dua titik di kiri bersamaan dengan sebuah Nombor Catalan, terutamanya (m + 1)/2 nombor Catalan. Contohnya: pada baris 5, 6 − 1 = 5, iaitu nombor Catalan ke-3, dan (5 + 1)/2 = 3.

Juga, jumlah unsur-unsur baris m bersamaan dengan 2m−1. Contohnya, jumlah unsur-unsur baris 5 adalah 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, yang bersamaan dengan 2^4 = 16. Ini diikuti dari teorem binomial yang dibuktikan di atas, digunakan pada (1 + 1)m−1.

Sesetengah nombor dalam segi tiga Pascal berhubung kait dengan nombor-nombor dalam Segi tiga Lozanić.

Suatu lagi ciri menarik segi tiga Pascal adalah dalam baris-baris yang nombor keduanya (nombor pertama selepas 1) adalah perdana, kedua-dua sebutan dalam baris itu selain 1 adalah perdaraban pada perdana itu.

Matriks binomial sebagai matriks eksponen (ilustrasi untuk matriks 5×5). Kesemua titik mewakili 0.

Matriks eksponen[sunting | sunting sumber]

Disebabkan pembinaan sederhana dengan faktorial, pewakilan yang sangat asas pada segi tiga Pascal dalam bentuk matriks eksponen dapat diberikan: segi tiga Pascal adalah eksponens bagi matriks yang mempunyai urutan 1, 2, 3, 4, … pada subpepenjuru dan kosong pada mana-mana tempat lain.

Ciri geometri[sunting | sunting sumber]

Segi tiga Pascal dapat digunakan sebagai sebuah jadual pencarian untuk bilangan uncur berdimensi dalam sebuah versi dimensi berarbitrari tunggal pada sebuah segi tiga (digelar sebagai sebuah simpleks). Contohnya, anggapkan garisan ke-3 pada segi tiga, dengan nilai 1, 3, 3, 1. Sebuah segi tiga 2-dimensi mempunyai satu unsur 2-dimensi (sendiri), tiga elemen 1-dimensi (garisan, atau pinggir), dan tiga unsur 0-dimensi (verteks, atau sudut). Erti nombor terakhir (1) adalah lebih sukar untuk dijelaskan (tetapi lihat di bawah). Berlanjutan dengan contoh kita, sebuah tetrahedron mempunyai unsur 3-dimensi (sendiri), unsur 2-dimensi (permukaan), enam unsur 1-dimensi (pinggir), dan empat unsur 0-dimensi (verteks). Menambahkan terakhirnya 1 semula, nilai-nilai ini berhubungan dengan barisan ke-4 pada segi tiga (1, 4, 6, 4, 1). Garisan 1 berhubungan dengan sebuah titik, dan Garisan 2 berkorespon dengan sebuah segmen garisan (dyad). Petak ini bersambung untuk hiper-tetrahedron berdimensi tinggi.

Untuk memahami mengapa corak ini bermuncul, seorang harus memahami bahawa proses pembinaan sebuah simpleks-n dari sebuah simpleks-(n − 1) terdiri dengan hanya menambahkan sebuah verteks baru pada yang kemudiannya, ditempatkan seperti mana verteks baru ini terbaring di luar ruang simpleks asal, dan bercantum ke semua verteks asal. Sebagai contoh, anggapkan kes pembinaan sebuah terahedron dari sebuah segi tiga, yang kemudiannya dari elemen itu dihitung oleh barisan 3 pada segi tiga Pascal: muka 1, sisi 3, dan verteks 3 (makna pada akhir 1 akan dijelaskan sebentar lagi). Untuk membina sebuah tetrahedron dari sebuah segi tiga, kita tempatkan sebuah verteks baru di atas plane segi tiga dan menyambungkan verteks ini ke kesemua verteks segi tiga asal.

Nombor pada elemen berdimensi yang diberikan pada tetrahedron adalah sekarangnya jumlah pada dua nombor: pertama nombor yang pada elemen di segi tiga asal, tambah nombor elemen-elemen baru, setiap yang mana dibina pada elemen-elemen salah satu dimensi berkurang dari segi tiga asal. Oleh itu, dalam tetrahedron, nombor sel (elemen-elemen polyhedral) adalah 0 (segi tiga asal memiliki kosong) + 1 (dibina pada permukaan single segi tiga asal) = 1; bilangan muka adalah 1 (segi tiga asal tersendiri) + 3 (muka baru, setiap dibina pada suatu tepi segi tiga asal) = 4; bilangan sisi adalah 3 (dari segi tiga asal) + 3 (sisi-sisi baru, setiap dibina pada sebuah verteks yang ditambahkan untuk mencipta tetrahedron dari segi tiga) = 4. Proses menjumlahkan bilangan elemen ini pada suatu dimensi yang diberikan pada yang salah dimensi yang berkurang satu untuk tiba di bilangan yang terdahulunya dijumpai di simpleks lebih tinggi seterusnya adalah bersamaan dengan proses penjumlahan dua nombor adjacent pada sebuah barisan segi tiga Pascal untuk yield nombor di bawah. Oleh itu, makna pada nombor akhir (1) pada sebaris segi tiga Pascal menjadi lebih difahami sebagai mewakili verteks baru yang ditambahkan ke simpleks yang diwakili oleh barisan itu untuk yield simpleks yang lebih tinggi seterusnya sebagai diwakili oleh barisan seterusnya. Verteks baru ini dicantumkan dengan setiap elemen di simpleks asal untuk yield sebuah elemen baru pada dimensi lebih tinggi pada simpleks baru, dan ini adalah asalnya corak yang didapati berkembar dengan yang dilihat pada segi tiga Pascal.

Sebuah corak baru diperhatikan berkaitan dengan segi empat sama, yang berbeza dengan segi tiga. Untuk mencai coraknya, seorang harus membina sebuah analog pada segi tiga Pascal, yang entrinya adalah pekali (x + 2)Nombor Barisan, daripada (x + 1)Nombor Barisan. Adalanya dua cara untuk melakukan ini. Yang lebih mudah untuk dimulakan adalah bermula dengan Barisan 0 = 1 dan Barisan 1 = 1, 2. Lanjutkan pembinaan segi tiga analog menurut peraturan berikutnya:

 {n \choose k} = 2\times{n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}.

Yakni, pilih sepasang nombor menurut peraturan-peraturan segi tiga Pascal, tetapi dua kali ganda pada nombor satu yang di kiri sebelum menambah. Ini menyebabkan:

                             1
                         1       2
                     1       4       4
                 1       6       12      8
             1       8       24      32      16
         1       10      40      80      80       32
     1       12      60      160     240     192       64
 1       14      84      280     560     672      448       128

Satu lagi cara mengilangkan segi tiga ini adalah bermulanya dengan segi tiga Pascal dan mendarabkan setiap entri dengan 2 2k, di mana k adalah tempatnya pada barisan pada nombor yang diberikan. Contohnya, nilai ke2 pada barisan 4 segi tiga Pascal adalah 6 (kecondongan 1s berkorespon dengan entri zeroth pada setiap barisan). Untuk mendapatkan nilai yang resides pada tempat berkorespon pada segi tiga analog, darab 6 dengan 2Nombor Tempat = 6 × 22 = 6 × 4 = 24. Sekarang segi tiga analog telah dibinakan, bilangan lemen pada mana-mana dimensi yang mendirikan suatu dimensi arbitarily kiub (digelar sebuah hyperkiub) dapat dibaca dari meja dengan secara beranalog pada segi tiga Pascal. Contohnya, bilangan elemen-elemen berdimensi 2 pada kiub berdimensi 2 (sebuah segi tiga sama) adalah satu, bilangan elemen-elemen berdimensi-1 (tepi, atau barisan) adalah 4, dan bilangan elemen-elemen berdimensi-0 (tuju, atau verteks) adalah 4. Ini bersesuai dengan barisan ke2 pada meja (1, 4, 4). Sebuah kiub mempunyai 1 kiub, 6 muka, 12 sisi, dan 8 verteks, yang berkorespon dengan barisan seterusnya pada segi tiga analog (1, 6, 12, 8). Corak ini berlanjut secara indefinite.

Untuk memahami mengapa corak ini muncul, mula-mula mengakui bahawa pembinaan sebuah kiub-n dari sebuah kiub-(n &tolak; 1) dilakukan dengan hanya menyalinkan tokoh asal dan membuangnya ke sesetengah jarak (untuk sebuah kiub-n biasa, panjang sisinya) ortogonal pada ruang tokoh asal, kemudian cantumkan setiap verteks pada tokoh baru dengan verteks berkorespon pada yang asalnya. Proses penyalinan initial ini adalah alasannya mengapa, untuk menghitungkan elemen-elemen berdimensi pada kiub-n, seorang harus menduakaligandakan pasangan nombor pertama dalam sebuah bariasan pada analog segi tiga Pascal sebelum menjumlahkan pada yield di nombor bawah. The initial doubling oleh itu yields nombor yang berkurang satu dimensi (sisi demi verteks, muka demi sisi, dsb.). Sekali lagi, nombor terakhir pada sebuah barisan mewakili bilangan verteks baru untuk ditambahkan untuk menjalankan kiub-n seterusnya.

Pada segi tiga ini, jumlah elemen-elemen bariasan m adalah bersamaan dengan 3m − 1. Sekali lagi, untuk menggunakan elemen-elemen barisan 5 sebagai sebuah contoh: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, yang bersamaan dengan 3^4 = 81.

Segi tiga Yang Hui (Pascal), seperti digambarkan oleh orang Cina menggunakan angka joran.

Pengiraan suatu barisan individu[sunting | sunting sumber]

Algoritma ini adalah suatu alternatif kepada cara piawai bagi pengiraan sel individu dengan faktorial. Bermula dengan kiri, nilai sel pertama adalah 1. Untuk setiap sel selepas itu, nilai ditentukan dengan mendarabkan nilai di kiri dengan sebuah pecahan yang berubah secara perlahan:

 v(c) = \frac{r-c}{c}

iaitu r = baris + 1, bermula dengan 0 di atas, dan c = lajur, bermula dengan 0 di kiri. Contohnya, untuk mengira baris 5, r=6. Nilai pertama adalah 1. Nilai seterusnya adalah 1 x 5/1 = 5. Pengangkanya berkurangan sebanyak satu, dan pembawah bertambah sebanyak satu pada setiap langkah. Jadi 5 x 4/2 = 10. Kemudian 10 x 3/3 = 10. Kemudian 10 x 2/4 = 5. Kemudian 5 x 1/5 = 1. Nyatakan bahawa sel terakhir sentiasa bersamaan dengan 1, perdaraban terakhir untuk pengakhiran siri.

Petak yang serupa muncul pada pepenjuru ke bawah. Bermula dengan nombor satu dan nombor asli di sel seterusnya, membentuk sebuah pecahan. Untuk menentukan sel seterusnya, tingkatkan pengangkanya dan pembawahnya sebanyak satu, dan kemudian darabkan penilaian terdahulu dengan fraksi. Contohnya, baris bermula dengan 1 dan 7 membentuk suatu pecahan 7/1. Sel kemudian adalah 7 x 8/2 = 28. Sel seterusnya adalah 28 x 9/3 = 84.

Nyatakan bahawa untuk mana-mana baris individu, kita hanya perlu mengira setengah bagi bilangan nilai-nilai di baris. Ini adalah kerana baris itu adalah bersimetri.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Gambaran awal tentang sebuah segi tiga pekali binomial muncul pada abad ke-10 dengan ulasan dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba dalam prosodi bahasa Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5ke-2 SM. Karya Pingala pula hanya muncul tentang pecahan, yang diulas oleh Halayudha, sekitar 975, menggunakan segi tiga itu untuk menjelaskan rujukan kabur pada Meru-prastaara, "Tangga Gunung Meru". Ia juga disedari bahawa pepenjuru pada jumlah segi tiga itu wujud pada nombor Fibonacci. ahli matematik India Bhattotpala (kk. 1068) kemudian memberikan barisan 0-16 pada segi tiga tersebut.

Pada waktu yang sama, ia telah dibincangkan di Parsi (Iran) oleh ahli matematik Al-Karaji (953–1029) dan penyajak-ahli nujum-matematik Omar Khayyám (1048-1131); oleh itu segi tiga dirujukkan sebagai "segi tiga Khayyam" di Iran. Beberapa teorem berkaitan dengan segi tiga untuk diketahui, termasuk teorem binomial. Ternyata kita boleh memastikan bahawa Khayyam menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berasaskan pengembangan binomial, dan juga pada pekali binomial.

Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) menyampaikan segi tiga aritmetik, yang sama dengan Segi tiga Pascal. Hari ini segi tiga Pascal digelar "segi tiga Yang Hui" di China.

Akhirnya, di Itali, ia dirujuk sebagai "segi tiga Tartaglia", dinamakan untuk ahli algebra Itali Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum Pascal (1500-1577); Tartaglia dikreditkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).

Petrus Apianus ( 1495 -1552 ) menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi depan bukunya tentang perniagaan 1531/32 dan suatu versi asal pada 1527 yang merupakan rekod pertamanya di Eropah.

Pada 1655, Blaise Pascal menulis sebuah Traité du triangle arithmétique (Perjanjian pada segi tiga aritmetik), iaitu dia mengumpul beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segi tiga itu, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segi tiga itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort (1708) dan Abraham de Moivre (1730).

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  1. Pekali binomial \scriptstyle {n \choose k} adalah secara kebiasaan diletakkan kosong jika k sama ada kurang daripada kosong atau lebih besar daripada n.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Pautan luar[sunting | sunting sumber]