Set semesta

Dalam teori set, set semesta ialah set yang mengandungi semua objek, termasuk dirinya sendiri. Dalam teori set seperti yang biasanya dirumuskan, ia boleh dibuktikan dalam pelbagai cara bahawa set semesta tidak wujud. Walau bagaimanapun, beberapa varian bukan standard bagi teori set juga memasukkan set semesta.

Sebab ketidakwujudan

Banyak teori set tidak membenarkan kewujudan set universal. Terdapat beberapa hujah yang berbeza bagi ketiadaannya, berdasarkan pilihan aksiom yang berbeza untuk teori set.

Keteraturan

Dalam teori set Zermelo–Fraenkel, aksiom keteraturan dan aksiom pasangan menghalang sebarang set daripada mengandungi dirinya. Bagi sebarang set $A$, set itu, $\{A\}$ (dibina melalui pasangan) semestinya mengandungi unsur yang terputus daripada $\{A\}$, mengikut keteraturan. Kerana satu-satunya elemennya ialah $A$, pastinya $A$ adalah terputus daripada $\{A\}$, dan oleh itu, $A$ tidak mengandungi dirinya sendiri. Kerana set semesta sepatutnya mengandungi dirinya sendiri, ia tidak boleh wujud di bawah aksiom ini.

Paradoks Russell

Rencana utama: Paradoks Russell

Paradoks Russell menghalang kewujudan set semesta dalam teori set yang merangkumi aksiom kefahaman Zermelo. Aksiom ini menyatakan bahawa bagi sebarang formula, $\varphi (x)$ dan mana-mana set $A$, terdapat satu set

$$\{x\in A\mid \varphi (x)\}$$

yang mengandungi setepatnya unsur-unsur $x$ daripada $A$ yang memuaskan $\varphi$.

Akibat aksiom ini, bagi setiap set $A$, ada sepadan set lain, $B=\{x\in A\mid x\not \in x\}$ yang terdiri daripada unsur-unsur $A$ yang tidak mengandungi diri mereka sendiri. $B$ tidak boleh mengandungi dirinya, kerana ia hanya terdiri daripada set yang tidak mengandungi diri mereka sendiri. Ia tidak boleh menjadi ahli $A$, kerana jika sebaliknya, ia akan termasuk sebagai ahli sendiri, dan berdasarkan takrifnya, bercanggah dengan fakta bahawa ia tidak boleh mengandungi dirinya sendiri. Oleh itu, setiap set $A$ bukan semesta: wujud satu set $B$ yang tidak dikandunnya. Ini sememangnya berlaku walaupun dengan kefahaman predikatif dan logik intuisi yang berlebihan.

Teorem Cantor

Satu lagi kesukaran dengan idea set semesta adalah isu set kuasa bagi satu set dengan semua set. Oleh kerana set kuasa ini ialah set bagi semua set, ia semestinya merupakan subset daripada set semua set, dengan syarat bahawa kedua-duanya wujud. Walau bagaimanapun, ini bercanggah dengan teorem Cantor bahawa set kuasa mana-mana set (sama ada tak terhingga atau tidak) sentiasa mempunyai kardinaliti yang lebih tinggi daripada set itu sendiri.

Teori kesemestaan

Kesukaran yang berkaitan dengan set semesta boleh dielakkan sama ada dengan menggunakan varian teori set, di mana aksiom kefahaman dihadkan dalam beberapa cara, atau dengan menggunakan objek universal yang tidak dianggap sebagai set.