Ruas garisan

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Definisi geometri sebuah ruas garisan.
Gambar bersejarah– Melukis sebuah ruas garisan (1699)

Dalam geometri, ruas garisan merupakan sebahagian daripada garis yang terhad oleh dua titik hujung yang berbeza, dan memuatkan semua titik pada garis di antara hujung-hujungnya. Contoh ruas garisan tamsilnya sisi segitiga atau sisi persegi. Lebih umumnya, ketika titik-titik hujung adalah verteks suatu poligon, maka ruas garisan adalah sisi (poligon tersebut); jika mereka merupakan verteks-verteks yang bertetanggaan, atau diagonal. Ketika titik-titik hujung terletak pada sebuah lengkung, tamsilnya lingkaran, maka ruas garisan itu disebut tali busur (lengkung tersebut).

Dalam ruang vektor sebenar atau kompleks[sunting | sunting sumber]

Jika V adalah sebuah ruang vektor pada \mathbb{R} atau \mathbb{C}, dan L adalah himpunan sebahagian dari V, maka L adalah ruas garisan jika L dapat diparametrisasi sebagai

L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}

untuk suatu vektor \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!, di mana hal vektor u dan u + v disebut titik-titik ujung L.

Kadangkala seseorang perlu membezakan antara ruas garisan "terbuka" dan "tertutup". Maka orang tersebut mendefinisikan ruas garisan tertutup seperti di atas, dan ruas garisan terbuka sebagai suatu himpunan bahagian L yang dapat diparametrisasi sebagai

 L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}

untuk suatu vektor \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!.

Secara ekivalen, ruas garis adalah convex hull dari dua titik. Dengan demikian, ruas garis tersebut dapat diberikan sebagai kombinasi lengkung suatu ruas yang mempunyai dua titik hujung.

Dalam geometri, ruas garisan kadangkala didefinisikan bahawa sebuah titik B terletak di antara titik A dan C, jika jarak AB dijumlahkan dengan jarak BC sama dengan jarak AC. Dengan demikian persamaan sebuah ruas garisan dengan titik-titik hujung A = (ax, ay) dan C = (cx, cy) adalah

\sqrt{(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2} + \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = \sqrt{(c_x-a_x)^2 + (c_y-a_y)^2}.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Dalam pembuktian[sunting | sunting sumber]

Dalam sebuah perlakuan aksiomatis geometri, gagasan keantaraan dianggap memenuhi sejumlah tertentu aksioma, atau jika tidak demikian maka didefinisikan dalam suku-suku isometri sebuah garis (digunakan sebagai sebuah sistem koordinat).

Ruas memainkan peranan penting dalam teori-teori lainnya. Tamsilnya, himpunan dikatakan konveks jika ruas yang menghubungkan sebarang dua titik suatu himpunan adalah termuat dalam himpunan itu. Hal ini penting kerana ruas mengubah beberapa analisis himpunan konveks kepada analisis ruas garis.

Sebagai elips degenerat[sunting | sunting sumber]

Ruas garisan dapat dilihat sebagai hirisan kerucut degenerat suatu elips di mana sumbu semi-minor menuju nol, fokus-fokusnya menuju titik-titik hujung, dan eksentrisitasnya menuju satu. Sebagai sebuah orbit degenerat, ruas garisan adalah sebuah trajektori eliptik radial.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  • David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4

Pautan luar[sunting | sunting sumber]