Janjang geometri

Dalam bidang matematik, janjang geometri ialah sejenis janjang dengan nisbah yang malar antara sebutan-sebutannya. Sebagai contoh,

$\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots$

ialah janjang geometri kerana setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperolehi dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan $\frac{1}{2}$.

Hasil tambah

Rumus untuk hasil tambah janjang geometri ialah

$a + ar + a r^2 + a r^3 + \cdots + a r^{n} = \sum_{k=0}^{n} ar^k= a \, \frac{1-r^{n+1}}{1-r},$

di mana $a$ ialah sebutan pertama dan $r$ ialah nisbah sepunya, dan $r \neq 1$. Rumus ini diperoleh dengan langkah-langkah berikut:

$\begin{align} &\text{Katakan }s = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots + r^{n}. \\[4pt] &\text{Maka }rs = r + r^2 + r^3 + r^4 + \cdots + r^{n} + r^{n+1}. \\[4pt] &\text{Maka }s - rs = s(1-r) = 1-r^{n+1},\text{ jadi }s = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. \end{align}$

Rumus tadi boleh dihasilkan dengan mendarab dengan $a$.

Bila $n$ mendekati ketakterhinggaan, nilai mutlak bagi $r$ mestilah lebih kecil daripada 1 supaya janjang tersebut menumpu. Hasil tambah tadi kemudiannya menjadi

$s \;=\; \sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots.$

Bila $a = 1$, permudahkan lagi:

$1 \,+\, r \,+\, r^2 \,+\, r^3 \,+\, \cdots \;=\; \frac{1}{1-r},$

dengan ungkapan sebelah kiri adalah janjang geometri dengan nisbah sepunya $r$. Kita memperoleh rumus ini:

$\begin{align} &\text{Katakan }s = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots. \\[4pt] &\text{Maka }rs = r + r^2 + r^3 + \cdots. \\[4pt] &\text{Maka }s - rs = 1,\text{ jadi }s(1 - r) = 1,\text{ jadi }s = \frac{1}{1-r}. \end{align}$

Rumus am ini sah jika didarab dengan $a$.

Rumus ini hanya sah untuk siri yang menumpu (iaitu bila nilai mutlak $r$ kebih kecil daripada 1). Sebagai contoh, hasil tambah ini tak tertakrif bila $r = 10$ meskipun rumus itu menghasilkan $s = -\frac{1}{9}$.

Berikut ialah gambaran bagi janjang geometri oleh E.Hairer dan G.Wanner, Analysis by Its History, bab III.2, rajah 2.1, m/s 188, Springer 1996: