Bebas (teori kebarangkalian)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam teori kebarangkalian, untuk mengatakan bahawa dua peristiwa adalah bebas bererti bahawa berlakunya satu peristiwa menjadikan ia tidak lebih atau tidak kurang kebarangkalian yang lain berlaku. Sebagai contoh:

  • Peristiwa mendapat 6 pertama kali melontar dadu; dan peristiwa mendapat 6 apabila melontar kali kedua adalah bebas.
  • Sebaliknya, peristiwa mendapat 6 pertama kali melontar dadu dan peristiwa bahawa jumlah nombor yang dilihat pada cubaan melontar kali pertama dan kali kedua adalah 8 adalah tidak bebas.
  • Sekiranya dua kad diambil dengan gantian dari dek kad , peristiwa menarik kad merah pada cubaan pertama dan menarik kad merah pada cubaan kedua adalah bebas.
  • Sebaliknya, sekiranya dua kad ditarik tanpa penggantian dari dek kad, kemungkinan menarik kad merah pada cubaan pertama dan menarik keluar kad merah pada cubaan kedua juga tidak bebas.

Sama juga, dua pemboleh ubah rawak adalah bebas sekiranya keadaan taburan kebarangkalian bagi nilai cerapan yang lain adalah sama seolah-olah nilai lain tidak dicerap. Konsep bebas berlanjutan kepada menangani dengan himpunan dua peristiwa atau lebih pemboleh ubah rawak.

Dalam sesetengah kejadian, istilah "bebas" digantikan dengan "bebas statistik", "bebas marginal", atau "bebas mutlak".[1]

Peristiwa merdeka[sunting | sunting sumber]

Takrifan piwaian menyatakan bahawa:

Dua peristiwa A dan B adalah bebas jika dan hanya jika \Pr(A \cap B) = \Pr(A) \cdot \Pr(B)

Di sini AB merupakan persilangan (teori set) bagi A dan B, iaitu, ia adalah peristiwa yang kedua peristiwa A dan B berlaku.

Lebih umum lagi, sebarang himpunan peristiwa-kemungkinan lebih dari dua—adalah sama bebas jika dan hanya jika bagi setiap subset A1, ..., An terhingga bagi himpunan kita miliki

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i). \!\,

Ini dikenali sebagai hukum daraban bagi peristiwa bebas. Perhatikan bahwa bebas memerlukan hukum ini benar bagi setiap subset bagi himpunan; lihat[2] bagi contoh tiga peristiwa di mana \Pr\left(\bigcap_{i=1}^3 A_i\right)=\prod_{i=1}^3 \Pr(A_i)\! dan sebaliknya tiada dua dari tiga peristiwa adalah tak bersandar pasangan demi pasangan.

Sekiranya dua peristiwa A dan B adalah bebas, dengan itu kebarangkalian bersyarat bagi A diberikan B adalah sama seperti tak bersyarat (atau marginal) kebarangkalian bagi A, iaitu,

\Pr(A\mid B)=\Pr(A). \!\,

Terdapat sekurang-kurangnya dua alasan mengapa kenyataanini tidak diambil sebagai takrifan bebas: (1) kedua peristiwa A dan B tidak memainkan peranan seimbang dalam kenyataan ini, dan (2) masalah timbul dengan kenyataan ini apabila membabitkan peristiwa kebarangkalian 0.

Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A diberikan B adalah diberikan oleh

\Pr(A\mid B)={\Pr(A \cap B) \over \Pr(B)}, \!\, (selagi Pr(B) ≠ 0 )

Kenyataan di atas, apabila \Pr(B)\neq 0 adalah bersamaan dengan

\Pr(A \cap B)=\Pr(A\mid B) \cdot \Pr(B) \!\,

di mana tarifan piwaian di beri di atas.

Perhatikan bahawa peristiwa adalah bebas dari dirinya sendiri dan hanya jika

\Pr(A) = \Pr(A \cap A) = \Pr(A) \cdot \Pr(A).

Iaitu, jika kebarangkaliannya adalah satu atau sifar. Dengan itu sekiranya peristiwa atau Pelengkap (teori set) hampir pasti berlaku, ia adalah bebas dari dirinya. Sebagai contoh, sekiranya peristiwa A dipilih dari sebarang nombor kecuali 0.5 dari taburan sekata bagi selang unit, A adalah bebas dari dirinya, sungguhpun, tautologi, A menentukan sepenuhnya A.


angkubah rawak bebas[sunting | sunting sumber]

Apa yang ditakrifkan sebagai di atas merupakan kebebasan peristiwa. Dalam seksyen ini kira menanggap kebebasan angkubah rawak. Jika X adalah nilai-angkubah nombor nyata rawak dan a adalah nombor dengan itu peristiwa X ≤ a merupakan set hasilan yang berpadanan dengan nilai X adalah kurang dari atau sama dengan a. Oleh kerana ini merupakan set hasilan yang memiliki kebarangkalian, ia memberi makna untuk merujuk peristiwa seperti ini sebagai bebas dari peristiwa lain yang sama.

Dua angkubah rawak X dan Y adalah bebas jika dan hanya jika bagi setiap a dan b, peristiwa {X ≤ a} dan {Y ≤ b} adalah peristiwa bebas seperti ditakrifkan di atas. Secara mathematik, ini boleh digambarkan seperti berikut:

Dua angkubah rawak X dan Y dengan cumulative distribution functions FX(x) and FY(y), and probability densities ƒX(x) and ƒY(y), are independent if and only if the combined random variable (XY) has a joint cumulative distribution function

F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y), \,

ata samajuga, kepadatan bersama

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y). \,


Sekiranya X dan Y adalah bebas bersyarat diberikan Z, maka

\mathrm{P}(X = x | Y = y, Z = z) = \mathrm{P}(X = x | Z = z)\,\!

bagi sebarang x, y dan z dengan P(Z = z) > 0. Iaitu, pengagihan bersyarat bagi X diberika Y dan Z adalah sama sekiranya diberikan Z sahaja. Persamaan yang sama benar bagi fungsi kepadatan kebarangkalian bersyarat dalam kes berterusan.

Kebebasan boleh dilihat sebagai bebas bersyarat khas, kerana kebarangkalian boleh dilihat sebagai kebarangkalian bersyarat sekiranya tiada peristiwa berlaku.

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  1. Russell, Stuart; Peter Norvig (2002). Artificial Intelligence: A Modern Approach. Prentice Hall. m/s. 478. ISBN 0137903952. 
  2. George, Glyn, "Testing for the independence of three events," Mathematical Gazette 88, November 2004, 568. PDF