Simetri (geometri)

Lukisan kupu-kupu dengan simetri dua hala, dengan sisi kiri dan kanan sebagai imej cermin antara satu sama lain.

Dalam geometri, objek mempunyai simetri jika terdapat operasi atau penjelmaan (seperti translasi, penskalaan, putaran atau pantulan) yang memetakan rajah/objek pada dirinya sendiri. Oleh itu, simetri boleh dianggap sebagai kekebalan daripada berubah. Sebagai contoh, bulatan yang diputar di sekitar pusatnya akan mempunyai bentuk dan saiz yang sama seperti bulatan asal, kerana semua titik sebelum dan selepas transformasi tidak dapat dibezakan. Oleh itu, bulatan dikatakan simetri di bawah putaran atau mempunyai simetri putaran. Jika isometri ialah pantulan rajah satah tentang garis, maka rajah itu dikatakan mempunyai simetri pantulan atau simetri garis; ia juga mungkin untuk rajah/objek mempunyai lebih daripada satu garis simetri.

Jenis simetri yang mungkin bagi objek geometri bergantung pada set penjelmaan geometri yang tersedia, dan pada sifat objek yang harus kekal tidak berubah selepas penjelmaan. Kerana komposisi dua penjelmaan juga merupakan penjelmaan dan setiap penjelmaan mempunyai, mengikut takrifan, penjelmaan songsang yang membatalkannya, set penjelmaan di mana objek adalah simetri membentuk kumpulan matematik, yakni kumpulan simetri objek.

Simetri Euclid secara umum

Kumpulan penjelmaan yang paling biasa digunakan pada objek dipanggil "isometri" kumpulan Euclid, yang merupakan penjelmaan pemelihara jarak dalam ruang yang biasanya dirujuk sebagai dua dimensi atau tiga dimensi (iaitu, dalam geometri satah atau geometri pepejal ruang Euclid). Isometri ini terdiri daripada pantulan, putaran, translasi dan gabungan operasi asas ini. Di bawah penjelmaan isometrik, objek geometri dikatakan simetri jika, selepas penjelmaan, objek itu tidak dapat dibezakan daripada objek sebelum penjelmaan. Objek geometri biasanya simetri hanya di bawah subset atau "subkumpulan " semua isometri. Jenis subkumpulan isometri diterangkan di bawah, diikuti oleh jenis kumpulan transformasi yang lain, dan oleh jenis invarian objek yang mungkin dalam geometri.

Simetri pantulan

Simetri pantulan, simetri linear, simetri cermin, simetri imej cermin, atau simetri dua hala ialah simetri berkenaan dengan pantulan.

Dalam satu dimensi, terdapat titik simetri tentang pantulan yang berlaku; dalam dua dimensi, terdapat paksi simetri (aka, garis simetri), dan dalam tiga dimensi pula, terdapat satah simetri. Objek atau rajah yang setiap titik mempunyai pemetaan satu-ke-satu ke yang lain, sama jarak dari dan pada sisi bertentangan satah biasa dipanggil simetri cermin.

Paksi simetri bagi rajah dua dimensi ialah garis di mana jika garis serenjang dilukis, mana-mana dua titik yang terletak pada serenjang pada jarak yang sama dari paksi simetri adalah sama. Satu lagi cara untuk memikirkannya ialah jika bentuk itu dilipat separuh di atas paksi, kedua-dua bahagian itu akan sama seperti imej cermin antara satu sama lain. Sebagai contoh, segi empat sama mempunyai empat paksi simetri, kerana terdapat empat cara berbeza untuk melipatnya dan memadankan tepi antara satu sama lain. Contoh lain ialah bulatan, yang mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga melalui pusatnya atas sebab yang sama.

Jika huruf T dipantulkan di sepanjang paksi menegak, ia kelihatan sama. Ini kadangkala dipanggil sebagai simetri menegak. Oleh itu seseorang boleh menerangkan fenomena ini dengan jelas dengan mengatakan bahawa "T mempunyai paksi simetri menegak", atau bahawa "T mempunyai simetri kiri-kanan".

Segitiga yang mempunyai simetri pantulan ialah segi tiga sama kaki, dan segi empat dengan simetri ini ialah lelayang dan trapezoid sama kaki.

Simetri putaran

Triskelion mempunyai simetri putaran 3 kali ganda.

Simetri putaran ialah simetri berkenaan dengan beberapa atau semua putaran dalam ruang Euclid dimensi m. Putaran ialah isometri langsung, iaitu isometri yang mengekalkan orientasi. Oleh itu, kumpulan simetri simetri putaran ialah subkumpulan kumpulan Euclidean khas E⁺ (m).

Simetri berkenaan semua putaran pada semua titik membayangkan simetri translasi berkenaan dengan semua translasi (kerana translasi ialah gubahan putaran pada titik berbeza), dan kumpulan simetri ialah keseluruhan E⁺ (m). Ini tidak terpakai bagi objek kerana ia menjadikan ruang menjadi homogen, tetapi ia mungkin terpakai bagi peraturan fizikal.

Simetri translasi

Corak hiasan dengan simetri translasi.

Simetri translasi meninggalkan objek invarian di bawah kumpulan translasi diskret atau berterusan, $\scriptstyle T_{a}(p)\;=\;p\,+\,a$. Ilustrasi di sebelah kanan menunjukkan empat tapak kaki kongruen yang dihasilkan oleh translasi di sepanjang anak panah. Jika garisan tapak kaki dilanjutkan ke infiniti dalam kedua-dua arah, maka ia akan mempunyai simetri translasi diskret; mana-mana terjemahan yang memetakan satu tapak kaki ke yang lain akan menjadikan keseluruhan baris tidak berubah.