Teorem binomial

Pekali binomial muncul sebagai entri segi tiga Pascal.

Dalam algebra permulaan, teorem binomial menjelaskan pengembangan algebra pada kuasa suatu binomial. Menurut teorem ini, adalah mungkin untuk mengembangkan kuasa (x + y)ⁿ menjadi jumlah yang melibatkan istilah dengan bentuk ax^by^c, di mana pekali pada tiap istilah ialah integer positif, dan jumlah eksponen x dan y dalam tiap istilah ialah n. Contohnya,

$(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.$

Pekali yang muncul dalam pengembangan binomial dikenali sebagai pekali binomial. Ia sama dengan entri segi tiga Pascal, dan boleh ditentukan melalui satu rumus mudah yang melibatkan faktorial. Nombot-nombor ini juga muncul dalam kombinatorik, di mana pekali x^n−ky^k sama dengan berbagai gabungan berlainan unsur-unsur k yang dapat dipilih daripada suatu set n-unsur.

Sejarah

Rumusan ini dan urutan bersegi tiga pada koefisien binomial sering dianggap dipunca daripada Blaise Pascal, yang menjelaskan mereka pada abad ke-17, tetapi mereka dikenali oleh banyak ahli matematik yang mendahuluinya. Pada abad ke-4 S.M. ahli matematik Greek Euclid mengetahui suatu perkara khas teorem binomial dibawakan ke susunan kedua, dan juga abad ahli matematik India ke-3 S.M. Pingala pada susunan yang lebih tinggi. Sebuah teorem binomial yang lebih umum dan yang kononnya "segi tiga Pascal" telah dikenali ke ahli matematik India abad ke-10 A.M. Halayudha, matematik Farsi abad ke-11 A.M. Omar Khayyám, dan ahli matematik China abad ke-13 Yang Hui, yang semuanya memuncakan hasil yang sama.

Penyataan teorem

Menurut teorem ini, sebarang kuasa $x + y$ boleh dikembangkan menjadi

$(x+y)^n = {n \choose 0}x^n + {n \choose 1}x^{n-1}y + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + {n \choose 3}x^{n-3}y^3 + \cdots + {n \choose n}y^n,$

di mana $\tbinom nk$ ialah tatatanda untuk pekali binomial yang berkenaan. Menggunakan tatatanda penghasiltambahan, rumus di atas boleh ditulis

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k.$

Rumus ini kadang-kadang dipanggil rumus binomial atau identiti binomial.

Kadang-kadang rumus binomial ditulis dengan $y$ digantikan dengan 1, supaya hanya satu pemboleh ubah sahaja yang terlibat. Dalam bentuk ini, rumus ini ditulis

$(x+1)^n = {n \choose 0}x^n + {n \choose 1}x^{n-1} + {n \choose 2}x^{n-2} + \cdots + {n \choose {n-1}}x + {n \choose n},$

atau

$(x+1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}.$

Contoh

Segi tiga Pascal

Contoh paling ringkas bagi teorem binomial ialah rumus $x + y$ kuasa dua:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\!$

Pekali binomial 1, 2, 1 yang muncul dalam pengembangan ini serupa dengan baris segi tiga Pascal (lihat rajah sebelah). Pekali bagi kuasa-kuasa $x + y$ yang lebih tinggi mengikuti baris-baris segi tiga Pascal yang seterusnya:

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3,\!$

$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4,\!$

$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5,\!$

$(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6,\!$

$(x+y)^7 = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.\!$

Teorem binomial boleh digunakan pada kuasa sebarang binomial. Contohnya,

$\begin{align} (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}$

Untuk suatu binomial yang melibatkan penolakan, teorem ini boleh digunakan selagi mana sebutan kedua dijadikan negatif. Kesannya sebutan-sebutan lain dijadikan negatif ketika pengembangan:

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3,\!$

Pekali binomial

Pekali-pekali yang terbit hasil daripada pengembangan dipanggil pekali binomial. Pekali binomial lazimnya ditulis $\tbinom{n}{k}$, dan disebut "$n$ pilih $k$".

Rumus

Pekali $x^{n-k}y^k$ diberi oleh rumus

${n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

yang ditakrifkan dalam sebutan fungsi faktorial $n!$. Rumus ini boleh juga ditulis

${n \choose k} = \frac{(n)\times(n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{(k)\times (k-1) \times \cdots \times (1)}$

dengan $k$ faktor pada kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan. Ingat, walaupun rumus ini melibatkan pecahan, pekali binomial $\tbinom{n}{k}$ sebenarnya suatu integer.

Tafsiran kombinatorik

Pekali binomial $\tbinom{n}{k}$ boleh ditafsirkan sebagai bilangan cara untuk memilih $k$ unsur daripada sebuah set yang mengandungi $n$ unsur. Hal ini ada kaitan dengan binomial kerana: jika kita menulis $(x + y)^n$ sebagai hasil darab

$(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),$

maka, menurut hukum kalis agihan, setelah pengembangan, akan terdapat satu sebutan untuk setiap pilihan pilihan $x$ atau $y$ daripada setiap binomial dalam hasil darab tersebut. Contohnya, akan terdapat hanya satu sebutan $x^n$ hasil daripada memilih $x$ daripada setiap binomial. Walau bagaimanapun, akan terdapat beberapa sebutan dalam bentuk $x^{n-2}y^2$, satu untuk setiap cara pilihan dua binomial untuk menghasilkan $y$. Oleh itu, selepas menggabungkan sebutan-sebutan serupa, pekali $x^{n-2}y^2$ akan menjadi sama dengan bilangan cara untuk memilih 2 unsur daripada set $n$ unsur.

Suatu jalan cepat untuk memanjangkan binomial

Diberikan suatu jangka cxⁱy^j dalam pemanjangan binomial (x + y)ⁿ, jangka seterusnya dapat diperolehi dengan mengurangkan i sebanyak 1, menambahkan j sebanyak  1, mendarabkan dengan i lama, dan membahagikan dengan  j yang baru. Ini membuatkan seorang mengira secara cepat pada pemanjangan keseluruhan dengan tangan, satu demi satu jangka, bermula dari jangka utama xⁿ = 1xⁿy⁰. Contohnya, jangka berikutnya 45x⁸y² pada pemanjangan (x + y)¹⁰ adalah

$\frac{8}{3} 45 x^7 y^3 = 120 x^7 y^3.$

Muslihatnya ini bergantung dengan pengenalan yang berikutnya:

${n \choose {k+1}} = \frac{n-k}{k+1}{n \choose k}.$

Bukti

Bukti kombinatorial

Contoh

Koefisien xy² di

$\begin{align} (x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\ &= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\ &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3. \end{align} \,$

sama dengan $\binom{3}{2}=3$ kerana ada tiga tali x,y pada panjang 3 dengan tepatnya dua y', digelarkan,

$xyy, \; yxy, \; yyx,$

berkorespon dengan tiga 2-subset elemen pada { 1, 2, 3 }, digelarkan,

$\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},$

di mana tiap subset menepatkan kedudukan y dalam suatu tali berkorespon.

Perkara am

Memanjangkan (x + y)ⁿ menghasilkan jumlah 2 ⁿ produk dari bentuk e₁e₂ ... e _n di mana tiap e _i adalah x or y. Mengaturkan semua faktor-faktor menunjukkan bahawa tiap produk sama dengan x^n−ky^k untuk sesetengah k di antara 0 dan n. Untuk suatu k yang diberikan, yang berikutnya membuktikan sama dengan dalam turutan:

• bilangan salinan x^n − ky^k dalam pemanjangan
• bilangan ciri-n tali x,y mengadakan y pada tepatnya k berduduk
• bilangan subset elemen-k pada { 1, 2, ..., n}
• ${n \choose k}$ (ini adalah sama ada mengikut takrifan, atau suatu perdebatan kepenggabungan jika satu mentakrifkan ${n \choose k}$ as $\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$).

Ini membuktikan teorem binomial.

Bukti induktif

Induksi menghasilkan suatu lagi bukti pada teorem binomial (1). Apabila n = 0, pada dua belah sama dengan 1, sejak x⁰ = 1 untuk semua x dan $\binom{0}{0}=1$. Katakan bahawa (1) memegang untuk yang diberikan n; kita kan buktinya untuk n + 1. Untuk j, k ≥ 0, let [ƒ(x, y)] _jk menandakan koefisien x^jy^k dalam polinomial ƒ(x, y). Dengan hipotesis induktif, (x + y)ⁿ adalah suatu polinomial di x dan y sepertinya [(x + y)ⁿ] _jk adalah $\binom{n}{k}$ if j + k = n, dan 0 kalau tidaknya. Pengenalan

$(x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n, \,$

menunjukkan bahawa (x + y)ⁿ⁺¹ juga suatu polinomial pada x dan y, dan

$[(x+y)^{n+1}]_{jk} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1}. \,$

Jika j + k = n + 1, oleh itu (j − 1) + k = n dan j + (k − 1) = n, jadi belah tangan kanan adalah

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},$

mengikut pengenalan Pascal. Pada tangan yang lain, jika j +k ≠ n + 1, oleh itu (j – 1) + k ≠ n and j +(k – 1) ≠ n, so we get 0 + 0 = 0. Oleh itu

$(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,$

dan menyelesaikan langkah induktif.

Penganggapan umum

Teorem binomial penaganggapan umum Newton

Sekitar 1665, Isaac Newton mengumumkan rumusan untuk membenarkan eksponen benar selain daripada integer bukan negatif, dan ternyatanya ia dapat diumumkan lanjutnya, ke eksponen kompleks. Dalam pengumuman ini, jumlah terhad diganti oleh suatu turutan tidak terhad. Supaya dapat melakukan ini seorang perlu memberikan makna pada koefisien binomial dengan suatu indeks atasan, yang tidak dapat dilakukan menggunakan rumusan di atas dengan faktorial; meskipun mengfaktorkan (n−k)! dari pembilang dan penyebut dalam rumusan itu, dan menggantikan n oleh r yang kini berdiri untuk suatu bilangan sembarangan, seorang dapat mentakrifkan

${r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},$

di mana $(\cdot)_k$ adalah tanda Pochhammer. Oleh itu, jika x dan y adalah nombor benar dengan |x| > |y|, dan r adalah mana-mana nombor kompleks, one has

$\begin{align} (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\ & = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots. \end{align}$

Apabila r adalah sebuah integer bukan negatif, koefisien binomial untuk k > r adalah kosong, jadi (2) memakarkan (1), dan ada kebanyakannya r + 1 jangka bukan kosong. Untuk nilai-nilai lain r, turutan (2) mempunyai nombor bukan terhad pada jangka-jangka bukan kosong, sekurang-kuranganya jika x dan y adalah bukan kosong.

Ini adalah penting apabila seorang bekerja dengan turutan tidak terhad dan ingin mewakili meraka dari segi fungsi hipergeometri berumuman.

Mengambil r = −s membawa ke suatu yang khususnya mudah digunakan tetapi rumusan bukan-ketara:

$\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k \equiv \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} x^k.$

Pengkhususan lanjut pada s = 1 menghasilkan rumusan turutan geometri.

Penganggapan umum

Rumusan (2) dapat diumumkan pada perkaranya di mana x dan y adalah nombor kompleks. Untuk versi ini, seorang harus menganggap |x| > |y| dan mentakrifkan punca kuasa x + y dan x menggunakan suatu cabang log holomorphic ditakrifkan pada suatu cakera buka pada jejari |x| dipusatkan pada x.

Rumusan (2) adalah sah untuk elemen-elemen x dan y pada suatu algebra Banach selagi xy = yx, x adalah bersongsang, dan ||y/x|| < 1.

Teorem multinomial

Teorem binomial dapat diumumkan untuk memasuki kuasa-kuasa jumlah lebih daripada dua jangka. Versi umunya adalah

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_m} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}.$

di mana ringkasan diambil alih ke atas semua langkah-langkah bukan indeks integer negatif k₁ melalui k_m sebarangan jumlah semua k_i is n. (Untuk tiap jangka dalam pemanjangan, eksponen seharusnya ditambahkan ke n). Koefisien $\tbinom n{k_1,\cdots,k_n}$ digelarkan koefisien multinomial, dan dapat dikirakan dengan rumusan

${n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}.$

Secara kombinatorial, koefisien multinomial $\tbinom n{k_1,\cdots,k_n}$ mengirakan nombor berlainan cara ke pembahagian suatu set elemen-n ke dalam subset tidak sama pada saiz-saiz k₁, ..., k_n.

Penggunaan

Pengenalan penjuru pelbagai

Teorem binomial dapat di rumusan De Moivre untuk menghasilkan rumusan penjuru-pelbagai untuk sine dan cosine. Menurut rumusan De Moivre,

$\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.\,$

Menggunakan teorem binomial, ekspresi pada kanan dapat dipanjangkan, dan kemudian bahagian-bahagian bayangan dapat diambil untuk menghasilkan rumusan untuk cos(nx) dan sin(nx). Contohnya, sejak

$\left(\cos x+i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,$

Rumusan De Moivre menjelaskan bahawa

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,$

di mana pengenalan penjuru-dua biasa. Miripnya, sejak

$\left(\cos x+i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,$

Rumusan De Moivre menghasilkan

$\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.$

Pada umumnya,

$\cos(nx) = \sum_{k\text{ even}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x$

dan

$\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.$

Turutan untuk e

nombor e sering ditakrifkan dengan rumusan

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$

Menggunakan teorem binomial pada ekspresi ini menghasilkan infinite series biasa untuk e. Pada khususnya:

$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.$

Jangka ke-k pada jumlah adalah

${n \choose k}\frac{1}{n^k} \;=\; \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}$

Seperti n → ∞, ekspresi rasional di kanan mencapai satu, dan oleh itu

$\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.$

Ini menunjukkan bahawa e dapat dituliskan suatu turutan:

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.$

Sudah tentu, sejak tiap jangka pada pemanjangan binomial adalah suatu fungsi tambahan n, ia berikut dari teorem pertumpuan monoton untuk turutan yang jumlah turutan tidak berhad ini sama dengan e.

Teorem binomial dalam algebra abstrak

Rumus (1) adalah sah lebih umumnya untuk semua unsur $x$ dan unsur $y$ bagi suatu semigelanggang yang memuaskan persamaan $xy = yx$. Teorem tersebut adalah benar lebih umumnya: kealternatifan menggantikan kalis sekutuan.

Teorem binomial dapat dinyatakan dengan mengatakan bahawa langkah polinomial { 1, x, x², x³, ... } adalah jenis binomial.

Teorem binomial dalam budaya masyhur

• Dalam buku-buku Sherlock Holmes, penjenayah Professor Moriarty adalah pengarang A Treatise on the Binomial Theorem.
• Teorem binomial dijelaskan dalam lagu Gilbert and Sullivan "I am the Very Model of a Modern Major General".
• Teorem binomial bermuncul dalam sekurang-kurangnya tiga karya berlainan oleh Monty Python – Coal Mine in Llandarogh Carmarthen, The Tale of Happy Valley, dan dalam filem Monty Python's The Meaning of Life.
• Teorem binomial disebutkan dalam siri TV NUMB3RS dalam episod #217 ("Mind Games") pada Musim 2.
• Bertentangan dengan kepercayaan masyhur, teorem binomial diumumkan tidak diukirkan pada Isaac Newton's tomb in Westminster Abbey.
• Dalam bab 18 dari "The Master and Margarita" Mikhail Bulgakov, pengamal ilmu hitam Woland berkata, "Tetapi dengan teorem binomial Newton, saya meramalkan bahawa dia akan mati dalam masa sembilan bulan..." Dari ini, "ia hampir tidak teorem Newton" menjadi suatu ekspresi Rusia masyhur.
• Ada suatu sajak pendek oleh Álvaro de Campos, heteronim pengarang Portugis Fernando Pessoa berkaitan teorem binomial yang secara kasar diterjemahkan ke dalam: "Binomial Newton' adalah seindah Venus de Milo. Kebenarannya adalah sedikit orang yang menyedarinya."
• Dalam rekod 5 pada We Yevgeny Zamyatin, pendukung D-503 berkata, "...untuk saya tiada yang lebih daripada empat sama dengan penjuru, tetapi untuk anada yang kemungkinan, saya tidak tahu, walaupun teorem binomial Newton."

Lihat juga

Wikibuku Kombinatorik mempunyai satu laman topik mengenai

Teorem binomial

• Pengedaran binomial
• Kebarangkalian binomial
• Teorem inverse binomial
• Turutan binomial
• Penggabungan
• Anggaran Stirling
• Teorem multinomial
• Pengedaran binomial negatif
• Segi tiga Pascal

Rujukan

• Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

Pautan luar

• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Rencana ini menggabung bahan dari inductive proof of binomial theorem on PlanetMath, yang dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution/Share-Alike License.