Teorem binomial

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Pekali binomial muncul sebagai entri segi tiga Pascal.

Dalam algebra permulaan, teorem binomial menjelaskan pengembangan algebra pada kuasa suatu binomial. Menurut teorem ini, adalah mungkin untuk mengembangkan kuasa (x + y)n menjadi jumlah yang melibatkan istilah dengan bentuk axbyc, di mana pekali pada tiap istilah ialah integer positif, dan jumlah eksponen x dan y dalam tiap istilah ialah n. Contohnya,

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

Pekali yang muncul dalam pengembangan binomial dikenali sebagai pekali binomial. Ia sama dengan entri segi tiga Pascal, dan boleh ditentukan melalui satu rumus mudah yang melibatkan faktorial. Nombot-nombor ini juga muncul dalam kombinatorik, di mana pekali xnkyk sama dengan berbagai gabungan berlainan unsur-unsur k yang dapat dipilih daripada suatu set n-unsur.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Rumusan ini dan urutan bersegi tiga pada koefisien binomial sering dianggap dipunca daripada Blaise Pascal, yang menjelaskan mereka pada abad ke-17, tetapi mereka dikenali oleh banyak ahli matematik yang mendahuluinya. Pada abad ke-4 S.M. ahli matematik Greek Euclid mengetahui suatu perkara khas teorem binomial dibawakan ke susunan kedua,[1][2] dan juga abad ahli matematik India ke-3 S.M. Pingala pada susunan yang lebih tinggi. Sebuah teorem binomial yang lebih umum dan yang kononnya "segi tiga Pascal" telah dikenali ke ahli matematik India abad ke-10 A.M. Halayudha, matematik Farsi abad ke-11 A.M. Omar Khayyám, dan ahli matematik China abad ke-13 Yang Hui, yang semuanya memuncakan hasil yang sama.[3]

Penyataan teorem[sunting | sunting sumber]

Menurut teorem ini, sebarang kuasa x + y boleh dikembangkan menjadi

(x+y)^n = {n \choose 0}x^n + {n \choose 1}x^{n-1}y + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + {n \choose 3}x^{n-3}y^3 + \cdots + {n \choose n}y^n,

di mana  \tbinom nk ialah tatatanda untuk pekali binomial yang berkenaan. Menggunakan tatatanda penghasiltambahan, rumus di atas boleh ditulis

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k.

Rumus ini kadang-kadang dipanggil rumus binomial atau identiti binomial.

Kadang-kadang rumus binomial ditulis dengan y digantikan dengan 1, supaya hanya satu pemboleh ubah sahaja yang terlibat. Dalam bentuk ini, rumus ini ditulis

(x+1)^n = {n \choose 0}x^n + {n \choose 1}x^{n-1} + {n \choose 2}x^{n-2} +  \cdots + {n \choose {n-1}}x + {n \choose n},

atau

(x+1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Segi tiga Pascal

Contoh paling ringkas bagi teorem binomial ialah rumus x + y kuasa dua:

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\!

Pekali binomial 1, 2, 1 yang muncul dalam pengembangan ini serupa dengan baris segi tiga Pascal (lihat rajah sebelah). Pekali bagi kuasa-kuasa x + y yang lebih tinggi mengikuti baris-baris segi tiga Pascal yang seterusnya:

(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3,\!
(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4,\!
(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5,\!
(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6,\!
(x+y)^7 = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.\!

Teorem binomial boleh digunakan pada kuasa sebarang binomial. Contohnya,

\begin{align}
(x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\
&= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}

Untuk suatu binomial yang melibatkan penolakan, teorem ini boleh digunakan selagi mana sebutan kedua dijadikan negatif. Kesannya sebutan-sebutan lain dijadikan negatif ketika pengembangan:

(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3,\!

Pekali binomial[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Koefisien binomial

Pekali-pekali yang terbit hasil daripada pengembangan dipanggil pekali binomial. Pekali binomial lazimnya ditulis \tbinom{n}{k} , dan disebut "n pilih k".

Rumus[sunting | sunting sumber]

Pekali x^{n-k}y^k diberi oleh rumus

{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

yang ditakrifkan dalam sebutan fungsi faktorial n!. Rumus ini boleh juga ditulis

{n \choose k} = \frac{(n)\times(n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{(k)\times (k-1) \times \cdots \times (1)}

dengan k faktor pada kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan. Ingat, walaupun rumus ini melibatkan pecahan, pekali binomial \tbinom{n}{k} sebenarnya suatu integer.

Tafsiran kombinatorik[sunting | sunting sumber]

Pekali binomial \tbinom{n}{k} boleh ditafsirkan sebagai bilangan cara untuk memilih k unsur daripada sebuah set yang mengandungi n unsur. Hal ini ada kaitan dengan binomial kerana: jika kita menulis (x + y)^n sebagai hasil darab

(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),

maka, menurut hukum kalis agihan, setelah pengembangan, akan terdapat satu sebutan untuk setiap pilihan pilihan x atau y daripada setiap binomial dalam hasil darab tersebut. Contohnya, akan terdapat hanya satu sebutan x^n hasil daripada memilih x daripada setiap binomial. Walau bagaimanapun, akan terdapat beberapa sebutan dalam bentuk x^{n-2}y^2, satu untuk setiap cara pilihan dua binomial untuk menghasilkan y. Oleh itu, selepas menggabungkan sebutan-sebutan serupa, pekali x^{n-2}y^2 akan menjadi sama dengan bilangan cara untuk memilih 2 unsur daripada set n unsur.

Suatu jalan cepat untuk memanjangkan binomial[sunting | sunting sumber]

Diberikan suatu jangka cxiyj dalam pemanjangan binomial (x + y)n, jangka seterusnya dapat diperolehi dengan mengurangkan i sebanyak 1, menambahkan j sebanyak  1, mendarabkan dengan i lama, dan membahagikan dengan  j yang baru. Ini membuatkan seorang mengira secara cepat pada pemanjangan keseluruhan dengan tangan, satu demi satu jangka, bermula dari jangka utama xn = 1xny0. Contohnya, jangka berikutnya 45x8y2 pada pemanjangan (x + y)10 adalah

 \frac{8}{3} 45 x^7 y^3 = 120 x^7 y^3.

Muslihatnya ini bergantung dengan pengenalan yang berikutnya:

{n \choose {k+1}} = \frac{n-k}{k+1}{n \choose k}.

Bukti[sunting | sunting sumber]

Bukti kombinatorial[sunting | sunting sumber]

Contoh[sunting | sunting sumber]

Koefisien xy2 di

\begin{align}
(x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\
&= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\
&= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3.
\end{align} \,

sama dengan \binom{3}{2}=3 kerana ada tiga tali x,y pada panjang 3 dengan tepatnya dua y', digelarkan,

xyy, \; yxy, \; yyx,

berkorespon dengan tiga 2-subset elemen pada { 1, 2, 3 }, digelarkan,

\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},

di mana tiap subset menepatkan kedudukan y dalam suatu tali berkorespon.

Perkara am[sunting | sunting sumber]

Memanjangkan (x + y)n menghasilkan jumlah 2 n produk dari bentuk e1e2 ... e n di mana tiap e i adalah x or y. Mengaturkan semua faktor-faktor menunjukkan bahawa tiap produk sama dengan xnkyk untuk sesetengah k di antara 0 dan n. Untuk suatu k yang diberikan, yang berikutnya membuktikan sama dengan dalam turutan:

  • bilangan salinan xn − kyk dalam pemanjangan
  • bilangan ciri-n tali x,y mengadakan y pada tepatnya k berduduk
  • bilangan subset elemen-k pada { 1, 2, ..., n}
  • {n \choose k} (ini adalah sama ada mengikut takrifan, atau suatu perdebatan kepenggabungan jika satu mentakrifkan {n \choose k} as \frac{n!}{k!\,(n-k)!}).

Ini membuktikan teorem binomial.

Bukti induktif[sunting | sunting sumber]

Induksi menghasilkan suatu lagi bukti pada teorem binomial (1). Apabila n = 0, pada dua belah sama dengan 1, sejak x0 = 1 untuk semua x dan \binom{0}{0}=1. Katakan bahawa (1) memegang untuk yang diberikan n; kita kan buktinya untuk n + 1. Untuk jk ≥ 0, let [ƒ(xy)] jk menandakan koefisien xjyk dalam polinomial ƒ(xy). Dengan hipotesis induktif, (x + y)n adalah suatu polinomial di x dan y sepertinya [(x + y)n] jk adalah \binom{n}{k} if j + k = n, dan 0 kalau tidaknya. Pengenalan

 (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n, \,

menunjukkan bahawa (x + y)n+1 juga suatu polinomial pada x dan y, dan

 [(x+y)^{n+1}]_{jk} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1}. \,

Jika j + k = n + 1, oleh itu (j − 1) + k = n dan j + (k − 1) = n, jadi belah tangan kanan adalah

 \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},

mengikut pengenalan Pascal. Pada tangan yang lain, jika j +k ≠ n + 1, oleh itu (j – 1) + k ≠ n and j +(k – 1) ≠ n, so we get 0 + 0 = 0. Oleh itu

(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,

dan menyelesaikan langkah induktif.

Penganggapan umum[sunting | sunting sumber]

Teorem binomial penaganggapan umum Newton[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: turutan binomial

Sekitar 1665, Isaac Newton mengumumkan rumusan untuk membenarkan eksponen benar selain daripada integer bukan negatif, dan ternyatanya ia dapat diumumkan lanjutnya, ke eksponen kompleks. Dalam pengumuman ini, jumlah terhad diganti oleh suatu turutan tidak terhad. Supaya dapat melakukan ini seorang perlu memberikan makna pada koefisien binomial dengan suatu indeks atasan, yang tidak dapat dilakukan menggunakan rumusan di atas dengan faktorial; meskipun mengfaktorkan (nk)! dari pembilang dan penyebut dalam rumusan itu, dan menggantikan n oleh r yang kini berdiri untuk suatu bilangan sembarangan, seorang dapat mentakrifkan

{r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},

di mana (\cdot)_k adalah tanda Pochhammer. Oleh itu, jika x dan y adalah nombor benar dengan |x| > |y|,[4] dan r adalah mana-mana nombor kompleks, one has


\begin{align}
(x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\
& = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
\end{align}

Apabila r adalah sebuah integer bukan negatif, koefisien binomial untuk k > r adalah kosong, jadi (2) memakarkan (1), dan ada kebanyakannya r + 1 jangka bukan kosong. Untuk nilai-nilai lain r, turutan (2) mempunyai nombor bukan terhad pada jangka-jangka bukan kosong, sekurang-kuranganya jika x dan y adalah bukan kosong.

Ini adalah penting apabila seorang bekerja dengan turutan tidak terhad dan ingin mewakili meraka dari segi fungsi hipergeometri berumuman.

Mengambil r = −s membawa ke suatu yang khususnya mudah digunakan tetapi rumusan bukan-ketara:

\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k \equiv \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} x^k.

Pengkhususan lanjut pada s = 1 menghasilkan rumusan turutan geometri.

Penganggapan umum[sunting | sunting sumber]

Rumusan (2) dapat diumumkan pada perkaranya di mana x dan y adalah nombor kompleks. Untuk versi ini, seorang harus menganggap |x| > |y|[4] dan mentakrifkan punca kuasa x + y dan x menggunakan suatu cabang log holomorphic ditakrifkan pada suatu cakera buka pada jejari |x| dipusatkan pada x.

Rumusan (2) adalah sah untuk elemen-elemen x dan y pada suatu algebra Banach selagi xy = yx, x adalah bersongsang, dan ||y/x|| < 1.

Teorem multinomial[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Teorem multinomial

Teorem binomial dapat diumumkan untuk memasuki kuasa-kuasa jumlah lebih daripada dua jangka. Versi umunya adalah

(x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n 
 = \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_m} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
  x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}.

di mana ringkasan diambil alih ke atas semua langkah-langkah bukan indeks integer negatif k1 melalui km sebarangan jumlah semua ki is n. (Untuk tiap jangka dalam pemanjangan, eksponen seharusnya ditambahkan ke n). Koefisien  \tbinom n{k_1,\cdots,k_n} digelarkan koefisien multinomial, dan dapat dikirakan dengan rumusan

 {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}.

Secara kombinatorial, koefisien multinomial \tbinom n{k_1,\cdots,k_n} mengirakan nombor berlainan cara ke pembahagian suatu set elemen-n ke dalam subset tidak sama pada saiz-saiz k1, ..., kn.

Penggunaan[sunting | sunting sumber]

Pengenalan penjuru pelbagai[sunting | sunting sumber]

Teorem binomial dapat di rumusan De Moivre untuk menghasilkan rumusan penjuru-pelbagai untuk sine dan cosine. Menurut rumusan De Moivre,

\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.\,

Menggunakan teorem binomial, ekspresi pada kanan dapat dipanjangkan, dan kemudian bahagian-bahagian bayangan dapat diambil untuk menghasilkan rumusan untuk cos(nx) dan sin(nx). Contohnya, sejak

\left(\cos x+i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,

Rumusan De Moivre menjelaskan bahawa

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,

di mana pengenalan penjuru-dua biasa. Miripnya, sejak

\left(\cos x+i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,

Rumusan De Moivre menghasilkan

\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.

Pada umumnya,

\cos(nx) = \sum_{k\text{ even}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x

dan

\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.

Turutan untuk e[sunting | sunting sumber]

nombor e sering ditakrifkan dengan rumusan

e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.

Menggunakan teorem binomial pada ekspresi ini menghasilkan infinite series biasa untuk e. Pada khususnya:

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.

Jangka ke-k pada jumlah adalah

{n \choose k}\frac{1}{n^k} \;=\; \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}

Seperti n → ∞, ekspresi rasional di kanan mencapai satu, dan oleh itu

\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.

Ini menunjukkan bahawa e dapat dituliskan suatu turutan:

e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.

Sudah tentu, sejak tiap jangka pada pemanjangan binomial adalah suatu fungsi tambahan n, ia berikut dari teorem pertumpuan monoton untuk turutan yang jumlah turutan tidak berhad ini sama dengan e.

Teorem binomial dalam algebra abstrak[sunting | sunting sumber]

Rumus (1) adalah sah lebih umumnya untuk semua unsur x dan unsur y bagi suatu semigelanggang yang memuaskan persamaan xy = yx. Teorem tersebut adalah benar lebih umumnya: kealternatifan menggantikan kalis sekutuan.

Teorem binomial dapat dinyatakan dengan mengatakan bahawa langkah polinomial { 1, xx2x3, ... } adalah jenis binomial.

Teorem binomial dalam budaya masyhur[sunting | sunting sumber]

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Wikibuku
Wikibuku Kombinatorik mempunyai satu laman topik mengenai

Nota[sunting | sunting sumber]

  1. Binomial Theorem
  2. The Story of the Binomial Theorem, by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157
  3. Landau, James A (1999-05-08). "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle" (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Diperoleh pada 2007-04-13. 
  4. 4.0 4.1 Ini meyakinkan pertumpuan. Terpulang pada r, turutan akan juga bertemu kadang-kadang apabila |x| = |y|.
  5. Cajori, Florian (1985). A History of Mathematics. New York: Chelsea Publishing Company. ms. 205. ISBN 0-8284-1303-X Check |isbn= value (bantuan). 
  6. Mikhail Bulgakov, translated by Michael Glenny. "The Master and Margarita". 
  7. Kevin Boss, Middlebury College. "The Master and Margarita, Chapter 18". 

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  • Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

Pautan luar[sunting | sunting sumber]

Rencana ini menggabung bahan dari inductive proof of binomial theorem on PlanetMath, yang dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution/Share-Alike License.