Teorem terakhir Fermat

Edisi 1670 Arithmetica yang mengandungi komen Fermat, terutamanya "Teorem terakhir"nya (Observatio Domini Petri de Fermat).

Teorem terakhir Fermat ialah salah satu teorem dalam teori nombor. Ia pertama kali dikonjekturkan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 dalam nota di birai halaman satu salinan Arithmetica yang buktinya didakwa beliau terlalu besar untuk ditulis di birai tersebut. Tiada pembuktian yang berjaya diterbitkan sehingga tahun 1995 walaupun percubaan dibuat oleh ramai ahli matematik. Masalah yang tidak diselesaikan ini mencetus pembangunan teori nombor algebra pada kurun ke-19 dan bukti teorem kemodularan pada kurun ke-20. Teorem ini merupakan antara yang paling terkenal dalam sejarah matematik dan sebelum pembuktiannya pada tahun 1995, ia tersenarai di dalam Guinness World Records sebagai "masalah matematik yang paling sukar".

Konjektur Fermat

Masalah II.8 di dalam Arithmetica bertanyakan bagaimana memecahkan nombor kuasa dua diberi kepada dua lagi nombor kuasa dua; dalam erti kata lain; untuk satu nombor nisbah k yang diberi, cari nombor nisbah u dan v yang membentuk persamaan k² = u² + v². Diophantus menunjukkan bagaimana untuk menyelesaikan masalah penambahan nombor kuasa dua untuk k = 4 (penyelesaiannya ialah u = 16/5 and v = 12/5).

Sekitar tahun 1637, Fermat menulis teorem terakhirnya pada birai salinan Arithmetica miliknya, bersebelahan dengan penyelesaian Diophantus:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Saya telah menemui bukti yang sangat menakjubkan, iaitu adalah mustahil untuk memecahkan satu nombor kuasa tiga menjadi dua nombor kuasa tiga, atau satu nombor kuasa empat kepada dua nombor kuasa empat, atau secara amnya, sebarang nombor kuasa yang memiliki kuasa lebih dari dua kepada dua nombor dengan kuasa yang sama. Birai halaman ini adalah terlalu kecil untuk mencatatnya.

Dalam erti kata lain, konjektur ini menyatakan:

Untuk n > 2, tiada integer positif x, y, dan z yang dapat melengkapi persamaan $x^{n}+y^{n}=z^{n}$

Penyelesaian

Fermat tidak meninggalkan bukti konjektur bagi semua n, tetapi beliau telah membuktikan kes khas n = 4. (kes ini bagaimanapun telah lama dibuktikan oleh Leonardo Fibonacci pada tahun 1225 dalam karyanya Liber quadratorum, dan fakta ini sering dilupakan dalam perbincangan tentang teorem terakhir Fermat.) Ini telah mengurangkan masalah kepada pembuktian teorem untuk eksponen n yang merupakan nombor perdana. Untuk dua kurun berikutnya (1637-1839), konjektur ini telah dibuktikan hanya untuk nombor perdana 3, 5, dan 7, manakala Sophie Germain membuktikan kes khas untuk semua nombor perdana di bawah 100. Pada pertengahan kurun ke-19, Ernst Kummer membuktikan teorem untuk kelas nombor perdana yang besar (mungkin juga tak terhingga) yang dikenali sebagai nombor perdana biasa. Berdasarkan hasil kerja Kummer dan penggunaan komputer, ahli matematik lain berjaya membuktikan konjektur ini untuk kesemua nombor perdana ganjil sehingga empat juta.

Bukti terakhir konjektur untuk semua n muncul pada penghujung kurun ke-20. Pada tahun 1984, Gerhard Frey mencadangkan pendekatan pembuktian melalui konjektur kemodularan untuk keluk eliptik. Berdasarkan hasil kerja Ken Ribet, Andrew Wiles berjaya membuktikan konjektur kemodularan yang cukup untuk membuktikan teorem terakhir Fermat, dengan bantuan Richard Taylor. Pencapaian Wiles dilaporkan di akhbar terkenal, dan dipopularkan dalam buku dan rancangan televisyen.

Pautan luar

• Daney, Charles (2003). "The Mathematics of Fermat's Last Theorem". Diarkibkan daripada yang asal pada 2004-08-03. Dicapai pada 5 August 2004.
• Elkies, Noam D. "Tables of Fermat "near-misses" - approximate solutions of xⁿ + yⁿ = zⁿ".
• Freeman, Larry (2005). "Fermat's Last Theorem Blog". A blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Pierre Fermat to Andrew Wiles.
• Ribet, Ken (1995). "Galois representations and modular forms" (PDF). Discusses various material which is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
• Shay, David (2003). "Fermat's Last Theorem". Dicapai pada 5 August 2004. The story, the history and the mystery.
• "The bluffer's guide to Fermat's Last Theorem".
• Eric W. Weisstein, Fermat's Last Theorem di MathWorld.
• O'Connor JJ, Robertson EF (1996). "Fermat's last theorem". Dicapai pada 5 August 2004.
• "The Proof". The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
• "The Whole Story". Diarkibkan daripada yang asal pada 2009-07-20. Dicapai pada 2011-01-22. Edited version of ~2,000-word essay published in Prometheus magazine, describing Andrew Wiles's successful journey.
• "Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996)". Simon Singh and John Lynch's film tells the enthralling and emotional story of Andrew Wiles.