Daya emparan

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam mekanik klasik, daya emparan adalah kuasa keluar dikaitkan dengan putaran. Daya emparan adalah satu daripada beberapa yang dikenali sebagai daya pseudo (juga dikenali sebagai daya inert), dinamakan sedemikian kerana, tidak seperti daya sebenar, ia tidak berasal dari interaksi dengan badan lain yang terletak dalam persekitaran partikel yang mana ia bertindak. Sebaliknya, daya emparan berasal dari putaran bingkai rujukan dari mana pemerhatian dilakukan.[1] [2][3][4][5][6]

Hasilan[sunting | sunting sumber]

Hukum pergerakan Newton bagi jisim partikle m boleh ditulis dalam bentuk vektor sebagai

\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}\ ,

where F adalah jumlah vektor daya fizikal dikenakan kepada partikle dan a adalah pecutan mutlak[7] partikle, diberi oleh

 \boldsymbol{a}=\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{r} \ ,

di mana r adalah vektor kedudukan bagi partikle. Pembezaan dilakukan dalam istilah bingkai rujukan inert (inertial reference frame). Sebagaimana ditunjukkan dalam bingkai rujukan berputar (Rotating reference frame), bagi sebarang vektor Q bergantung kepada masa, masanya dihasilkan [dQ/dt] dinilai dari segi bingkai rujukan dengan asal serentak tetapi berputar dengan pecutan bersudut mutlakΩ[8] berkait dengan hasilan mutlak dQ/dt oleh:[9]

\frac{d}{dt}\boldsymbol{Q} = \left[\frac{d}{dt}\boldsymbol{Q}\right] + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{Q}\ ,

di mana × menandakan produk lintang vektor (vector cross product) dan kurungan bersegi […] menandakan penilaian dalam rujukan bingkai putaran. Sebagai contoh khusus, ia diikut bahawa pecutan mutlak partikel boleh ditulis sebagai (bagi lebih perincian lihat rujukan bingkai putaran (Rotating frame of reference)):

\begin{align}
\boldsymbol{a} &=\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{r}\\
   &= \left[ \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} \right] + \frac{d \boldsymbol{\Omega}}{dt}\times\boldsymbol{r} + 2 \boldsymbol{\Omega}\times \left[ \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \right] + \boldsymbol{\Omega}\times ( \boldsymbol{\Omega} \times  \boldsymbol{r}) . 
\end{align}

Ia kadang kala lebih mudah untuk menganggap istilah pertama disebelah kanan sebagai pecutan mutlak, dan bukannya pecutan dalam bingkai putaran. Apabila ini dilakukan, persamaan pergerakan memiliki bentuk:[10][11][3][12][13]

\boldsymbol{F} - m\frac{d \boldsymbol{\Omega}}{dt}\times\boldsymbol{r} - 2m \boldsymbol{\Omega}\times \left[ \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right] - m\boldsymbol{\Omega}\times (\boldsymbol{\Omega}\times \boldsymbol{r})  =  m\left[ \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} \right].

Istilah akhir pada sebelah kiri (sebelah daya) biasanya dikenali sebagai daya emparan. Ia mengarah tepat keluar dari paksi putaran bagi bingkai rujukan putaran, dengan magnitud m {\Omega}^2 r.

Perhatikan bahawa bagi bingkai tidak berputar daya emparan adalah sifar. Lenyapnya daya emparan dalam rujukan bingkai inert dikongsi oleh semua daya rekaan.[14]

Kelebihan bingkai putaran[sunting | sunting sumber]

Bingkai rujukan putaran boleh memiliki kelebihan berbanding bingkai rujukan inert.[15][4] Kadang kala pengiraan adalah lebih mudah (contohnya kitaran inert), dan kadangkala idea spontan menyamai lebih dekat berbanding bingkai putaran (contohnya mendapan dalam emparan). Dengan menggangap segi pecutan tambahan akibat puratan oleh bingkai sebagai satu daya, menolaknya dari daya fizikal, ia adalah mungkin bagi melayan hasilan kali kedua kedudukan (berbanding bingkai putaran) seolah-olah ia adalah pecutan mutlak. Dengan itu menganalisa menggunakan hukum Newton boleh berlangsung seolah-olah bingkai rujukan adalah kaku, asalkan istilah daya rekaan di masukkan dalam jumlah keseluruhan daya. Sebagai contoh, daya emparan digunakan dalam buku panduan juruterbang FAA bagi menggambarkan lencongan.[16] Contoh lain adalah sistem seperti planet, emparan, karousel, pusingan kereta, timba berputar, dan putaran stesyen angkasa.[17][18][19]

Berkenaan kelebihan bingkai berputar dari sudut pandangan meteorologi, Ryder berkata:[20]

Cara terbaik menangani masaalah ini, pastinya, untuk menukar semua kordinasi kepada sistem inersia. Ini, bagaimanapun, kadang-kala menyusahkan. Anggaplah, sebagai contoh, kita ingin mengira pergerakan jisim udara di atmosfera bumi akibat tekanan gradian. Kita perlukan keputusan berbanding dengan bingkai putaran, bumi, oleh itu ia adalah lebih baik kekal dengan sistem kordinate jika mungkin. Ini boleh dicapai dengan memperkenalkan kuasa rekaan (atau "tidak wujud") yang membolehkan kita menggunakan Hukum Pergerakan Newton dengan cara yang sama dengan bingkai inersia.

Peter Ryder: Classical Mechanics, pp. 78-79

Daya emparan dan putaran mutlak[sunting | sunting sumber]

Rajah 1: Antara muka dua cecair immiscible berputar sekeliling paksi tegak merupakan bukaan atas paraboloid bulat.

Bolehkan putaran mutlak dikesan? Dalam kata lain, bolehkah seseorang memutuskan samaada objek dilihat berputar atay ia adalah anda, pemerhati yang berputar?

Newton mencadangkan dua ujikaji yang mampu menyelesaikan masaalah ini. Satu adalah kesan daya emparan pada bentuk permukaan air berputar dalam timba. Newton mencadangkan bahawa bentuk permukaan air menunjukkan kehadiran atau ketiadaan putaran mutlak berbanding bintang tetap: permukaan cembung menunjukkan putaran air. Newton turut mencadangkan ujian lain bagi tujuan ini dengan menggunakan ketegangan pada tali menyambung dua sphera berputar sekitar pusat graviti mereka: ketegangan bukan sifar pada tali menunjukkan putaran sphera.

Kecekungan (“concavity’’) permukaan air berputar dalam baldi boleh dijelaskan dengan cara anggaran mudah dengan menggunakan konsep potensi tenaga, digambarkan berikut. Pendekatan alternative dijumpai pada penegasan Bucket (“Bucket argument”).

Dalam bingkai rujukan putaran sekata pada kadar bersudut (“angular”) daya emparan ciptaan kini merupakan kuasa penyimpan (“conservative force”) dan memiliki potensi tenaga bentuk itu:[21][22]

{U}_{\mathrm{Cfgl}} = -\frac{1}{2} m \Omega^2 r^2 \ ,

Di mana r merupakan ukur lilit dari paksi putaran. Keputusan ini boleh disahkan dengan mengambil kecerunan potensi bagi mendapatkan kuasa memancar keluar:

 F_{\mathrm{Cfgl}} = -\frac{\partial }{\partial r} {U}_{\mathrm{Cfgl}} = m \Omega^2 r \ .

Erti tenaga potensi adalah pergerakan jisim yang diuji dari ukurlilit besar kepada ukurlilit kecil membabitkan kerja Mekanikal berbanding daya emparan.

Kuasa potensi berguna, contohnya, bagi memahami kecekungan permukaan air dalam baldi berputar. Perhatikan bahawa keseimbangan mekanikal (“Mechanical equilibrium” permukaan mengambil bentuk yang menjadikan unsure isipadu pada sarang kedudukan pada permukaannya memiliki potensi tenaga yang sama di semua tempat. Dengan itu, tiada unsure air pada permukaan mempunyai kecenderungan bagi berpindah kedudukan, kerana semua kedudukan mempunyai tenaga yang seimbang. Dengan itu keseimbangan dicapai. Sebaliknya, jika terdapat kawasan permukaan tenaga lebih rendah, air yang menduduki kawasan permukaan dengan tenaga potensi lebih tinggi akan bergerak bagi menduduki kawasan tenaga lebih rendah, disebabkan tiada halangan pada pergerakan mendatar pada cecair sempurna.

Kita mungkin membayangkan dengan sengaja mengganggu keadaan keseimbangan ini dengan apa cara juga, menukar bentuk permukaan air seketika untuk mengubahnya dari bentuk permukaan tenaga seimbang. Perubahan bentuk ini tidak akan stabil dan air tidak akan kekal dalam bentuk yang dihasilkan secara tiruan, tetapi akan melalui banyak bentuk cubaan perantaraan sehingga kuasa seretan tidak ideal diperkenalkan oleh olengan, samaada terhadap sisi baldi atau oleh bentuk semulajadi tidak ideal cecair, menghentikan olengan dan air tenang kembali kepada keadaan bentuk seimbang.

Untuk melihat prinsip permukaan tenaga sekata bertindak, bayangkan peningkatan kadar putaran dalam baldi dari sifar dalam peningkatan perlahan. Permukaan air adalah rata pada mulanya, dan jelas merupakan permukaan bagi tenaga potensi kerana semua titik pada permukaan adalah sama ketinggian dalam medan gravity yang bertindak pada air. Bagaimanapun, pada putaran kadar bersudut kecil unsure bagi permukaan air mampu mencapai tenaga potensi lebih rendah dengan bergerak keluar di bawah pengaruh kuasa memusat. Disebabkan air tidak boleh dipadatkan dan mesti kekal dalam kekangan baldi, pergerakan keluar meningkat kedalaman air pada ukur lilit lebih besar, juga meningkatkan ketinggian permukaan air pada ukur lilit lebih besar, dan merendahkannya pada ukurlilit lebih kecil. Permukaan air menjadi cekung sedikit, dengan akibat potensi tenaga air pada ukur lilit lebih besar meningkat hasil kerja yang dilakukan menentang gravity bagi mencecah lebih ketinggian. Ketika ketinggian air meningkat, pergerakan kearah sisi (“periphery” tidak lagi menguntungkan, kerana pengurangan pada potensi tenaga akibat pergerakan kuasa memusat diimbangi oleh peningkatan tenaga bertindak bagi melawan graviti. Dengan itu, pada kadar bersudut yang diberikan bagi putaran, permukaan cembung mewakili keadaan stabil, dan semakin pantas putaran, lebih cembung permukaan ini terbentuk. Jika putaran ini dihentikan, tenaga yang disimpan dalam bentuk permukaan cembung perlu disebarkan, sebagai contoh melalui geseran, sebelum permukaan rata seimbang dikembalikan.

Bagi melaksanakan permukaan potensi tenaga secara kuantitif, anggap ketinggian air sebagai h(r)\,: dengan itu potensi tenaga per jisim unit menyumbang kepada gravity sebagai g h(r) \ dan potensi tenaga keseluruhan per jisim unit pada permukaan adalah

{U} = {U}_0 + gh(r) - \frac{1}{2}\Omega^2 r^2\,

Dengan {U}_0 aras tenaga latar bebas sabagai r. (Nota: formula ini bagi potensi tenaga bagi air menganggap air berputar sama dengan bingkai rujukan. Jika, sebagaimana dalam kes, air tidak berputar pada kadar yang serupa dengan bingkai, tenaganya akan agak berlainan.) Dalam keadaan statik (tiada pergerakan cecair dalam bingkai berputar), tenaga ini kekal bebas dari kedudukan r. Memerlukan tenaga menjadi mengekalkan bentuknya, kita akan dapatkan bentuk parabolik:

h(r) =  \frac{\Omega^2}{2g}r^2 + h(0) \ ,

Di mana h(0) adalah pada ketinggian r = 0 (axis). Lihat Rajah 1.

Princip operasi memusat (“centrifuge”] juga boleh difahami dengan mudah dalam bentuk gambaran ini bagi potensi tenaga, yang menunjukkan bahawa ia cenderung bertenaga apabila isipada jauh dari paksi putaran diduduki oleh bahan lebih berat.

Perhatikan bahawa analisa ini berasaskan potensi tenaga memusat memerlukan kehadiran kuasa memusat. Kuasa ini diperlukan dalam rujukan bingkai sama berputar (“co-rotating frame of reference” (di mana ia turut berputar bersama air) kerana air kelihatannya tidak bergerak dalam bingkai ini. Dengan itu, pemerhati melihat kepada air tidak bergerak, memerlukan kuasa memusat bagi menjelaskan mengapa permukaan air adalah cembung dan bukannya rata. Secara ringkas, air berputar mempunyai permukaan cembung: jika permukaan yang anda lihat adalah cembung, dan air tidak kelihatan berputar, sebenarnya anda yang berputar. Sama juga, jika anda memerlukan kuasa memusat bagi menjelaskan apa yang anda lihat, dengan itu anda sebenarnya berputar.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Di bawah beberapa contoh menggambarkan kedua-dua bingkai pengun dan berputar, dan peranan kuasa memusat dan kaitannya dengan kuasa Coriolis dalam rangka kerja berputar.

Menggunakan kuasa fiksyen[sunting | sunting sumber]

Rajah 2: Objek kaku dalam rangka pegun S' sebagaiman di perhati dalam rangka berputar S. Panel atas: Dalam rangka pengun (kaku) S' , rangka S berputar lawan jam pada kadar bersudut, dan menduduki kedudukan lawan jam berturut-turut pada masa t0, t1, dan t2. Objek pegun pastinya tidak bergerak. Bingkai Tengah: Kedudukan objek pegun ketika ia muncul di S pada tempoh t0, t1, dan t2. Objek kelihatan bergerak lawan jam pada S. Bingkai bawah: Kumpulan kedudukan di panel tengah bagi membina orbit bagi objek pengun sebagaimana dilihat oleh S. Vektor ukurlilit dari asal bingkai bergerak S kepada objek pada tempoh t0, t1, t2 adalah R0, R1, R2; vector ini kesemuanya memiliki magnitude sama dengan ukurlilit bulatan R. Pada tempoh t0, objek memiliki pecutan v0 dalam bingaki S, tetapi pecutan ini berubah dengan pergerakan objek untuk kekal tangential kepada orbitnya pada setiap masa.

Ia telah dijelaskan bahawa untuk menangani pergerakan dengan rujukan bingkai berputar, satu pilihan kepada penyelesaian adalah berdasarkan menterjemah kesemuanya kepada bingkai pegun sebaliknya menggunakan hukum pergerakan Newton pada bingkai berputar dengan menambah kuasa-palsu, dan kemudiannya bertindak secara langsung dalam bingkai berputar. Berikut merupakan contoh mudah bagi kaedah ini.[23][24]

Rajah 2 menggambarkan bahawa badan yang pengun berbanding kepada bingkai tidak-berputar S' kelihatannya seperti berputar apabila dilihat dari bingkai berputar S, yang berputar pada kadar bersudut . Dengan itu, penggunaan hukum Newton bagi apa yang kelihatannya sebagai pergerakan berputar dalam bingkai berputar S pada jejari R, memerlukan kuasa memusat (centripetal)m2 R bagi menjelaskan apa yang kelihatannya pergerakan berputar. Menurut pemerhati di S, kuasa memusat centripetal dalam bingkat berputar diberikan sebagai kuasa bersih yang merupakan jumlah kuasa palsu emparan memancar keluar m2 R dan kuasa Coriolis −2m ׳ vrot. [25] [26]

Untuk menilai kuasa Coriolis, kita perlukan pecutan sebagaimana dilihat dalam bingkai berputar, vrot. Menurut formula dalam seksyen hasilan ("Derivation section"), pecutan ini diberikan oleh − ׳ R.[27] Dengan itu, kuasa Coriolis (dalam contoh ini) adalah dalaman, dalam arah berlawanan kepada kuasa emparan, dan ini memiliki nilai −2m2 R. Gabungan kuasa emparan dan Coriolis adalah m2 R−2m2 R = −m2 R, bersamaan dengan kuasa memusat centripetal yang diperlukan oleh hukum Newton bagi gerakan berputar. [28] [29][30]

Meja Berputar[sunting | sunting sumber]

Rajah 3: "Meja berputar ". Batang diputar pada paksi dan (dari sudut pandangan manik) daya emparan bertindak pada manik tergelincir diimbangi oleh berat yang disambung dengan tali kepada dua takal.

Rajah 3 menunjukkan versi mudah perkakasan bagi mengkaji kuasa emparan yang dikenali sebagai "meja berputar ".[31] Peralatan terdiri dari batang yang boleh diputar pada paksi, menyebabkan manik tergelincir pada batang di bawah pengaruh daya emparan. Tali yang diikat pada berat diikat pada manik yang tergelincir. Dengan memantau bagaimana jarak keseimbangan sekata berbeza dengan berat dan kelajuan putaran, daya emparan boleh diukur sebagai fungsi kadar putaran dan jarak manik dengan paksi putaran.

Dari sudut pandangan rujukan bingkai pengun, keseimbangan dicapai apabila kedudukan manik memilih orbit mengelilingi tertentu yang ditetapkan oleh berat bagi membekalkan kuasa memusat ("centripetal force") yang tepat.

Menjatuhkan bola[sunting | sunting sumber]

Rajah 4: Bola bergerak menegak sepanjang paksi putaran dalam bingkai pengun kelihatan berpilin kebawah dalam bingkai berputar. Panel kanan menunjukkan pandangan kebawah dalam bingkai berputar. Kadar putaran || = ש dianggap tetap dalam masa.
Rajah 5: Hasilan simpang vektor ("Vector cross product" digunakan bagi menentukan kuasa Coriolis. Vektor mewakili putaran bingkai pada kadar berdudut ש; vektor v menunjukkan pecutan bersentuhan ("tangential") kepada pergerakan putaran sebagaimana dilihat dalam bingkai berputar. Vektor  ׳ v didapati menggunakan hukum tangan kanan bagi hasil simpang vektor ("vector cross product"). Ia berkait kepada kuasa Coriolis negetif (kuasa Coriolis adalah −2 m  ׳ v).

Rajah 4 menunjukkan bola jatuh menegak (selari dengan paksi putaran bagi bingkai berputar). Untuk ringkas, anggap ia bergerak kebawah pada kelajuan sekata dalam bingkai pengun, merangkumi berturut kedudukan selari menegak nombor satu, dua, tiga. Dalam bingaki pegun ia kelihatan berpilin kebawah, dan bahagian kanan Rajah 4 menunjukkan pandangan atas terjektori putaran bola dalam bingkai bergerak. Disebabkan ia jatuh pada kelajuan sekata, dari pandangan atas ini dalam bingkai bergerak bola kelihatan bergerak pada kadar yang sekata mengelilingi terk bulatnya. Gambaran pergerakan ini dalam dua bingkai dijelaskan berikut.

Rangka pegun (“Inertial frame”)[sunting | sunting sumber]

Dalam rangka pegun bola jatuh menegak pada pecutan sekata. Ia tidak menukar arah, dengan itu pemerhati pengun menyatakan pecutan adalah sifar dan tiada kuasa bertindak pada bola.

Bingkai berputar sekata (“Uniformly rotating frame”[sunting | sunting sumber]

Dalam bingkai berputar bola jatuh menegak pada pecutan sekata, dengan itu tidak terdapat komponen kuasa menegak pada bola. Bagaimanapun, dalam arah melintang bersudut tepat dengan paksi putaran, bola melakukan pergerakan berputar sekata yang di lihat pada bingkai kanan Rajah 4. Menggunakan hukum gerakan Newton, pemerhati yang berputar memutuskan bahawa bola itu pasti dipengaruhi kuada dalaman bagi membolehkannya menurut laluan berpilin (“circular path”). Dengan itu, pemerhati berputar percaya bahawa bola itu dipengaruh kuasa berceracak mengarah ke dalam (“pointing radially inward”) kearah paksi putaran. Menurut analisa pergerakan berputar sekata („uniform circular motion“)


\mathbf{F}_{\mathrm{fict}}  =  -m\Omega^2 R  \boldsymbol { \hat r}\ ,

Dengan \boldsymbol { \hat r} unit vector dalam radial arah keluar, dan di mana Ω adalah kadar bersudut bagi putaran, m adalah jisim (“mass”) bola, dan R adalah jejari putaran dalam sudut mengufuk. Disebabkan tidak kelihatan sumber bagi kuasa sedemikian (dengan itu dilabel "rekaan"), pemerhati berputar memutuskan bahawa ia merupakan "fakta kehidupan" dalam dunia berputar yang mana wujud kuasa dalaman dengan kelakuan ini. Sepanjang yang pemerhati berputar telah pun ketahui terdapat kuasa emparan keluar di semua tempat dalam dunia berputar, bagaimana boleh wujud kuasa dalaman? Jawapannya adalah kuasa Coriolis: komponen pecutan bersentun dengan pergerakan berputar yang dilihat dalam bingkai kanan bagi Rajah. 4 mengaktifkan kuasa Coriolis, yang membatalkan kuasa emparan dan pergi lebih jauh bagi memberikan kuasa memusat (”centripetal force”) bertepatan dengan yang diperlukan bagi pengiraan oleh pemerhati berputar.

Sesetengah perincian penilaian kuasa Coriolis ditunjukkan dalam Rajah. 5. Kuasa Coriolis di dapati (menggunakan penjelasan hasil palang vektor (’’ Vector_cross_product’’): [32][33]

 \mathbf{F_{Cor}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}-2 m \mathbf{\Omega \times v} = -2m \mathbf{\Omega \times} \left(-\mathbf{\Omega \times} R\boldsymbol{\hat {r}}\right) =-2m\Omega^2R \boldsymbol { \hat r}\ ,

Menggabungkan kuasa ini dengan kuasa emparan:

\mathbf{F}_{\mathrm{fict}} = \mathbf{F_{Cor}} + \mathbf{F_{Cfgl}} = \left(-2m\Omega^2R + m\Omega^2R\right)\boldsymbol { \hat r} = -m\Omega^2 R  \boldsymbol { \hat r}\ ,

sebagaimana diperlukan bagi kuasa memusat (’’centripetal’’)untuk mengekalkan pergerakan berputar. objek, selari dengan pemerhati pengun, yang turut menyatakan bahawa tiada kuasa diperlukan. Satu cara menggambarkan keputusan: kuasa rekaan menjaga keadaan “rekaan”, dengan itu bola tidak memerlukan bantuan bagi bergerak pada trajektori yang dilihat: Kesemua pemerhati bersetuju bahawa tiada apa yang perlu dilakukan untuk membuat bola bergerak menurut laluannya.

Disebabkan kuasa Coriolis dan daya emparan bergabung bagi memberikan kuasa kuasa memusat (’’centripetal’’) yang diperlukan oleh pemerhati berputar bagi pergerakan berputar yang dilihat, pemerhati berputar tidak perlu mengenakan sebarang daya tambahan kepada objek, selari dengan pemerhati pengun, yang turut menyatakan bahawa tiada kuasa diperlukan. Satu cara menggambarkan keputusan: kuasa rekaan menjaga keadaan “rekaan”, dengan itu bola tidak memerlukan bantuan bagi bergerak pada trajektori yang dilihat: Kesemua pemerhati bersetuju bahawa tiada apa yang perlu dilakukan untuk membuat bola bergerak menurut laluannya.

Payung terjun[sunting | sunting sumber]

Rajah 6: Penerjun payung terjun bergerak tegak selari dengan putaran pusat axis dalam bingkai putaran kelihatan berpilin ke bawah dalam bingkai kaku (inert). Penerjun payung terjun memulakan terjunan dengan komponen kelajuan melintang yang sama dengan tapak sasaran. Bingkai di kiri menunjukkan pandangan ke bawah dalam bingkai kaku. Kadar putaran || = ש dianggap kekal pada masa.

Untuk menunjukkan bingkai rujukan berlainan, kita lihat semula contoh bola dalam Rajah 4 dari sudut pandangan penerjun yang jatuh pada kelajuan sekata berbanding Bumi (pelantar berputar). Penerjun bertujuan bagi mendarat pada titik pada tanah berputar di bawah titik terjunan (“drop-off point”). Rajah 6 menunjukkan laluan tegak penurunan sebagaimana dilihat dalam bingkai berputar. Penerjun jatuh pada kelajuan sekata, menduduki berturut kedudukan selari menegak satu, dua, tiga.

Dalam bingakai pengun, jika kita anggap penerjun terjun dari helicopter tergantung pada tapak kedudukan pada tanah ber[utar di bawah, dan dengan itu bergerak pada kelajuan sama seperti sasaran di bawah. Penerjun bermula dengan kelajuan yang diperlukan bersentuhan dengan laluannya (שR) bagi menjejak tapak sasaran. Jika penerjun mahu mendarat pada sasaran, penerjun perlu berpilin ke bawah pada laluan yang ditunjukkan pada Rajah 6. Pemerhati pengun melihat pergerakan berputar seragam penerjun ketika pergerakan di unjur ke bawah, sebagaimana dalam kotak kiri Rahaj 6. Ia itu, dalam latar mendatar, pemerhati pengun melihat kuasa memusat “centripetal” bertindak, -m ש2 R, sebagaimana diperlukan bagi mencapai laluan bulatan (’’circular’’). Penerjun memerlukan tujahan bagi memberikan daya ini. Tanpa tujahan, penerjun mengikut laluan menegak putus-putus dalam kotak kiri Rajah 6, mematuhi hukum pengun inersia Newton.

Pemerhati pegun di bawah dan pemerhati di tanah berputar bersetuju bahawa tidak terdapat pembabitan daya menegak: payung terjun bergerak melintang pada kepantasan sekata. Bagaimanapun, pemerhati di tanah melihat penerjun jatuh menegak dari helikopter ke tanah, mengikut kedudukan satu, dua, dan tiga diatur menegak. Tidak terdapat daya diperlukan. Dengan itu kenapa penerjun memerlukan tujahan?

Pemerhati di tanah melihat pandangan ini: daya emparan sentiasa wujud dalam dunia berputar. Tanpa tujahan penerjun akan hanyut oleh daya emparan ini dan mendarat jauh dari sasaran. Dari sudut pandangan penerjun, cuba mengekalkan sasaran tepat di bawah, yang sama adalah benar: tujahan sekata berpilin kedalam diperlukan, hanya bagi mengekalkan kedudukan tepat di atas sasaran. Tidak seperti kes menjatuhkan bola, dimana daya geseran bertindak bagi menyingkirkan keperluan bagi agensi luaran, dalam kes ini ia memerlukan campur tangan bagi mencapai trajektori. Peraturan asas adalah: jika pemerhati pengun menyatakan situasi memerlukan tindakan atau tidak, kuasa rekaan pada bingkai berputar akan mendorong kepada pemerhati berputar kepada kesimpulan yang sama, sungguhpun melalui aturan yang berlainan.

Perhatikan bahawa tidak terdapat daya Coriolis dalam perbincangan ini, kerana penerjun mempunyai sifar velositi melintang dari sudut pandangan pemerhati tanah berputar.[34]

Pergerakan planet[sunting | sunting sumber]

Satu lagi contoh yang penting dalam sejarah adalah pergerakan planet. Sungguhpun pergerakan planet sebenarnya membabitkan banyak planet, kes mudah adalah masaalah dua jasad bagi dua jisim sahaja, sama-sama ditarik oleh gravity masing-masing.[35] Di bawah adalah lakaran analisa kes ini yang menunjukkan bagaimana masaalah tiga dimensi mulanya dikurangkan kepada pergerakan satu planet pada satu ufuk, dan kemudian kedua bagi memudahkan masaalah satu dimensi berdasarkan daya emparan. Lebih perincian terdapat pada rencana ’’Hukum Kepler pergerakan planet’’.

Medan gravity merupakan cerun kepada potensi V(r) diberi oleh persamaan Poisson:[36][37]

 \nabla^2 V = -G m \ \delta (\boldsymbol r ) ,

Di mana  \nabla^2 merupakan Laplacian, δ( r ) merupakan fungsi delta Dirac dan mδ( r ) mewakili titik jisim m pada lokasi r = 0. Bagi daerah tidak terikat, penyelesaiannya adalah:

V = V(r) =-G \frac {m}{r} \ ,

Di mana G merupakan konstan graviti ("gravitational constant") dan r merupakan jarak jejari dari jisim m asal medan. Bagi kes menarik dua jisim bagi jisim m1, m2 jarak jejari menjadi pemisah kepada dua jisim, iaitu,

r = |\boldsymbol{r_1-r_2}| \ ,

Dan potensi gravity pada kedudukan jisim m2 akibat jisim m1 menjadi

V(\boldsymbol{r_2}) = -G m_1 \frac{1}{|\boldsymbol{r_2-r_1}|} \ ,

Dan pecutan jisim m2 menjadi (dari hukum Newton kedua):

 m_2\ddot{\boldsymbol{r_2}} = G m_2 m_1 \frac{1}{|\boldsymbol{r_2-r_1}|^2} \hat{\boldsymbol{u}}_{21}\ ,

Di mana \hat{\boldsymbol{u}}_{21} merupakan vektor yang menunding dari jisim m2 kearah jisim m1 dan titik tindih berganda mewakili hasilan kedua. Sama juga, kolen ("double overdots") mewakili hasilan masa kedua. Sama juga,

 m_1\ddot{\boldsymbol{r_1}} = G m_2 m_1 \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|^2} \hat{\boldsymbol{u}}_{12}\ ,

Di mana \hat{\boldsymbol{u}}_{12} = -\hat{\boldsymbol{u}}_{21} . Menolak kedua persamaan:

\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{\left(r_1-r_2\right)} = Gm_1m_2 \left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2} \right) \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|^2}\hat{\boldsymbol{u}}_{12}\ ,

Atau, mengatur kembali:

m\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{\left(r_1-r_2\right)} = Gm_1m_2  \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|^2}\hat{\boldsymbol{u}}_{12}\ ,

Di mana m adalah apa yang dikenali jisim dikurangkan ditakrifkan oleh:

 m = \left(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\right)\ \ .

Dengan cara ini, memudahkan masaalah kepada satu partikel jisim m bergerak dalam potensi jejari V (r) dengan

r = |\boldsymbol{r_1-r_2}| \ ,

dan

V(r) = Gm_1m_2  \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|} = Gm_1m_2  \frac{1}{r}= Gm M  \frac{1}{r} \ ,

dengan M = \left(m_1+m_2\right)\ . Kuasa bertindak pada jisim partikel ini m kemudian (\boldsymbol{\nabla} adalah pengoperasi gradient):

 \boldsymbol{F} = -m\boldsymbol{\nabla} V(r) = GmM \boldsymbol{\nabla} \frac{1}{r} = -GmM\frac{1}{r^2} \hat{\boldsymbol{r}} \ ,

Kuasa terpancar kedalam. Vektor unit titik \hat{\boldsymbol{r}} dalam arah memancar keluar.

Trajektori partikel didapati dengan menggunakan hokum pergerakan ke dua Newton. Dengan ini kita selesaikan persamaan:

\frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{r} = -GM\frac{1}{r^2} \hat{\boldsymbol{r}} \ .

Penyelesaian didapati paling mudah dengan menggunakan kordinate kutub. Dalam kordinate kutub pecutan diberikan oleh:[38]

\frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{r} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\quad \dot {\overbrace{r^2\dot\theta }}\quad \hat{\boldsymbol\theta}\ ,

Di mana titik bertindih menunjukkan hasilan masa, dan Di mana titik bertindih menunjukkan hasilan masa, dan \hat{\boldsymbol\theta} adalah vector unit azimuthal bertepatan dengan arah pancaran jejari. Jelasnya, pergerakan adalah planar (dalam ufuk \hat{\mathbf{r}}, \ \hat{\boldsymbol\theta}) kerana tiada komponen tenaga adalah normal bagi ufuk ini. Meletakkan pecutan ini pada hokum Newton, mengasingkan persamaan didapati bagi arah jejari dan ufuk (“azimuthal”). Dalam arah ufuk:

\dot {\overbrace{r^2\dot\theta }} = 0\ ,

Dan dalam arah jejari:

\ddot r - r\dot\theta^2=-GM\frac{1}{r^2} \ .

Dalam formula ini, istilah kedua di sebelah kiri hanyalah satu dari dua istilah dalam pecutan pada kordinasi kutub. Ia bukannya daya tekan (“impressed force”); ia merupakan sebahagian hasilan mathematik pada kordinat kutub.

Persamaan azimut menggambarkan pengekalan bagi momentum sudut, di mana momentum sudut bagi partikel adalah kelajuannya:

v =r \dot\theta

didarabkan dengan kedudukan jejari. Menggunakan persamaan pengekalan ini,

 mr^2 \dot\theta = m v r= \ell \ ,

Di mana \ell merupakan pengekalan (bebas masa) momentum bersudut. Mengantikan keputusan ini bagi \dot\theta pada persamaan jejari:

Di mana \ell merupakan pengekalan (bebas masa) pergerakan bersudut. Menggantikan kepututusan ini bagi \dot\theta kedalam persamaan radial:

\ddot r - r\left(\frac{\ell}{mr^2}\right )^2=-GM\frac{1}{r^2} \ ,

atau:

\ddot r - \left(\frac{v^2}{r}\right )=-GM\frac{1}{r^2} \ .

Persamaan ini, dihasilkan di sini menggunakan kordinat kutub dalam bingkai rujukan pengun, boleh diubah sebagai:

\ddot r = \left(\frac{v^2}{r}\right )-GM\frac{1}{r^2} \ .
Rajah 8: Dua objek dengan perbezaan kecil dalam jisim mengelilingi (“barycenter”) yang sama. Saiz dan jenis orbit ini adalah sama dengan system Pluto-Charon.

Persamaan ini boleh dihasilkan dari sudut pandangan bingkai sama-berputar,[39] atau boleh difahamkan sebagai masaalah satu dimensi rekaan. Masalah ciptaan ini menganggap r sebagai ciptaan satu dimensi kedudukan kordinate (biasanya hanya ditanda mudah sebagai x). Sudut pandangan satu-dimensi membenarkan kita memahami \ddot r sebagai "pecutan". Selepas itu hokum daya satu-dimensi difahamkan sebagai pergerakan pertikal ini bergantung kepada dua kuasa pada sebelah kanan, terutama daya emparan keluar per unit jisim v2/r dan daya kedalam gravity per unit jisim -GM/r2.[40][41][21] Sekiranya kedua daya ini seimbang, dengan itu

Nota dan rujukan[sunting | sunting sumber]

  1. Robert Resnick & David Halliday (1966). Physics. Wiley. m/s. 121. ISBN 0471345245. http://books.google.com/books?lr=&as_brr=0&q=%22cannot+associate+them+with+any+particular+body+in+the+environment+of+the+particle%22+inauthor%3ADavid+inauthor%3AHalliday&btnG=Search+Books. 
  2. Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu (1999). Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. Springer. m/s. 251. ISBN 038798643X. http://books.google.com/books?id=I2gH9ZIs-3AC&pg=PA251&vq=Euler+force&dq=isbn=038798643X&source=gbs_search_s&sig=ACfU3U0DkJL1h3lGMMbXyKY15GtPpspHuQ. 
  3. 3.0 3.1 John Robert Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. m/s. 343. ISBN 189138922X. http://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PP1&dq=isbn=189138922X&lr=&as_brr=0&sig=JVfFlMT5TvXh1I64JAFBFq7pA6s#PPA343,M1. 
  4. 4.0 4.1 Stephen T. Thornton & Jerry B. Marion (2004). Classical Dynamics of Particles and Systems (edisi 5th Edition). Belmont CA: Brook/Cole. Chapter 10. ISBN 0534408966. http://worldcat.org/oclc/52806908&referer=brief_results. 
  5. David McNaughton. "Centrifugal and Coriolis Effects". http://dlmcn.com/circle.html. Capaian 2008-05-18. 
  6. David P. Stern. "Frames of reference: The centrifugal force". http://www.phy6.org/stargaze/Lframes2.htm. Capaian 2008-10-26. 
  7. Dengan "mutlak" bererti sebagaimana dilihat pada sebarang rujukan bingkai inert; sebagai contoh "pecutan mutlak" atau "hasilan mutlak".
  8. Vektor Ω memiliki magnitud Ω sama kepada kadar putaran dan diarahkan sepanjang paksi putaran menurut hukum tangan kanan
  9. John L. Synge (2007). Principles of Mechanics (edisi Reprint of Second Edition of 1942). Read Books. m/s. 347. ISBN 1406746703. http://books.google.com/books?id=YZjIg4Mo56UC&pg=PA347&dq=rotating+fictitious+force&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U3sRtWpje8_Y86_IxXT9N_0FnhzwQ. 
  10. Vladimir Igorević Arnolʹd (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (edisi 2nd Edition). Springer. m/s. 130. ISBN 978-0-387-96890-2. http://books.google.com/books?id=Pd8-s6rOt_cC&pg=PT149&dq=%22additional+terms+called+inertial+forces.+This+allows+us+to+detect+experimentally%22&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U1qRbkvn6x7FcBsHO8Bp4Ty95XbZw#PPT150,M1. 
  11. Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics (edisi Reprint of Fourth Edition of 1970). Dover Publications. Chapter 4, §5. ISBN 0-486-65067-7. http://books.google.com/books?as_q=&num=10&btnG=Google+Search&as_epq=The+author+likes+to+call+it+the+%22Euler+force%2C%22+in+view&as_oq=&as_eq=&as_brr=0&lr=&as_vt=&as_auth=&as_pub=&as_sub=&as_drrb=c&as_miny=&as_maxy=&as_isbn=. 
  12. LD Landau and LM Lifshitz (1976). Mechanics (edisi Third Edition). m/s. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9. http://books.google.com/books?id=e-xASAehg1sC&pg=PA40&dq=isbn=9780750628969&sig=ACfU3U2LCcLQRZqYxDOXTg_9Ks_zp_qorg#PPA128,M1. 
  13. Louis N. Hand, Janet D. Finch (1998). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. m/s. 267. ISBN 0521575729. http://books.google.com/books?id=1J2hzvX2Xh8C&pg=PA267&vq=fictitious+forces&dq=Hand+inauthor:Finch&lr=&as_brr=0&source=gbs_search_s&sig=ACfU3U33emV_6eJZihu3M6IZKurSt85_eg. 
  14. Morton Tavel (2002). Contemporary Physics and the Limits of Knowledge. Rutgers University Press. m/s. 93. ISBN 0813530776. http://books.google.com/books?id=SELS0HbIhjYC&pg=PA95&dq=Einstein+equivalence+laws+physics+frame&lr=&as_brr=0#PPA93,M1. "Noninertial forces, like centrifugal and Coriolis forces, can be eliminated by jumping into a reference frame that moves with constant velocity, the frame that Newton called inertial." 
  15. John Robert Taylor (2004). Classical Mechanics. Sausalito CA: University Science Books. Chapter 9, pp. 327 ff. ISBN 189138922X. http://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PP1&dq=isbn=189138922X&lr=&as_brr=0&sig=JVfFlMT5TvXh1I64JAFBFq7pA6s#PPA327,M1. 
  16. Federal Aviation Administration (2007). Pilot's Encyclopedia of Aeronautical Knowledge. Oklahoma City OK: Skyhorse Publishing Inc.. Figure 3-21. ISBN 1602390347. http://books.google.com/books?id=m5V04SXE4zQC&pg=PT33&lpg=PT33&dq=+%22angle+of+bank%22&source=web&ots=iYTi_mZAra&sig=ytjcmr9RStdIdgZzaiBJJ-wxjts&hl=en. 
  17. Richard Hubbard (2000). Boater's Bowditch: The Small Craft American Practical Navigator. NY: McGraw-Hill Professional. m/s. 54. ISBN 0071361367. http://books.google.com/books?id=nfWSxRr8VP4C&pg=PA54&dq=tides+centrifugal&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U2e_gEEDUG4mB1nO2GS21kCJwUJVQ. 
  18. Lawrence K. Wang, Norman C. Pereira (1979). Handbook of Environmental Engineering: Air and Noise Pollution Control. Humana Press. m/s. 63. ISBN 0896030016. http://books.google.com/books?id=FkSnJZSbmxUC&pg=PA63&dq=cyclone+centrifugal&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U3ew6FQLiwvfqMzp8tYIUClK3LrtQ. 
  19. Lee M. Grenci, Jon M. Nese (2001). A World of Weather: Fundamentals of Meteorology. Kendall Hunt. m/s. 272. ISBN 0787277169. http://books.google.com/books?id=oh8lqM5obuYC&pg=PA272&dq=meteorology+centrifugal&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U35-omMijGtQ7ASqruNiZYGdIuteA. 
  20. Peter Ryder (2007). Classical Mechanics. Aachen Shaker. m/s. 78-79. ISBN 978-3-8322-6003-3. http://books.google.com/books?id=j1Y5FfdQHsQC&pg=PA80&dq=real+%22fictitious+force%22&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U1HwBagOANaT7-ZWTdsJ0khhnrz-Q#PPA79,M1. 
  21. 21.0 21.1 Robert Daniel Carmichael (1920). The Theory of Relativity. John Wiley & Sons. m/s. 78. http://books.google.com/books?id=LKAgAAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=fictitious+Christoffel+potential&lr=&as_brr=0#PPA78,M1. 
  22. Hans J. Weber & George B. Arfken (2003). Essential mathematical methods for physicists. Academic Press. m/s. 79. ISBN 0120598779. http://books.google.com/books?id=k046p9v-ZCgC&pg=PA79&dq=reverse+sign+centrifugal&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U0mWN5YmrPt-v9ThOqNwm0IyP9FTg. 
  23. Louis N. Hand & Janet D. Finch (1998). Finch Analytical Mechanics. Cambridge UK: Cambridge University Press. m/s. 267. ISBN 0521575729. http://books.google.com/books?id=1J2hzvX2Xh8C&pg=PA267&vq=centrifugal&dq=Hand+inauthor:Finch&lr=&as_brr=0&source=gbs_search_s&sig=ACfU3U33emV_6eJZihu3M6IZKurSt85_eg#PPA267,M1 Finch. 
  24. John Robert Taylor (2004). Classical Mechanics. Sausalito CA: University Science Books. m/s. 343-344. ISBN 189138922X. http://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PA344&dq=%22inertial+forces+to+the+net+force%22&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U1W84vGzUZRzHghF0Mu_1DMoyL4Yw. 
  25. Georg Joos & Ira M. Freeman (1986). Theoretical Physics. New York: Courier Dover Publications. m/s. 233. ISBN 0486652270. http://books.google.com/books?id=vIw5m2XuvpIC&pg=PA233&dq=inauthor:joos+coriolis&ei=EpgtSMitA4vcywSokozNAw&sig=wveOPKIvSGTCKQSpw-2jFQRe79M#PPA233,M1. 
  26. John Robert Taylor (2004). Classical Mechanics. Sausalito CA: University Science Books. m/s. 348-349. ISBN 189138922X. http://books.google.com/books?lr=&as_brr=0&q=%22include+when+you+want+to+use+Newton%27s+second+law+in+a+rotating+frame.+This+is+the+Coriolis%22&btnG=Search+Books. 
  27. The vector cross product of the two orthogonal vectors and R is a vector of magnitude equal to the product of their magnitudes, namely  R = vrot, and with direction given by the right-hand rule, in this case found by aligning the thumb with , the index finger with R, and the middle finger normal to these two fingers points in the direction of −vrot.
  28. Louis Bevier Spinney (1911). A Text-book of Physics. Macmillan Co.. m/s. 47-49. http://books.google.com/books?id=5zgFAAAAMAAJ&pg=PA47&dq=%22circular+motion%22&lr=&as_brr=0#PPA47,M1. 
  29. Arthur Beiser & George J. Hademenos (2003). Applied physics: Based on Schaum's Outline of Theory and Problems of Applied Physics (Third Edition). McGraw-Hill Professional. m/s. 37. ISBN 0071398783. http://books.google.com/books?id=6OKTgr-BXpIC&pg=PA37&dq=%22circular+motion%22&lr=&as_brr=0&sig=z2tyhG5FG4Nya41Intbn9EZ1GRI. 
  30. Burgel, B. (1967). "Centrifugal Force". American Journal of Physics 35: 649. doi:10.1119/1.1974204. 
  31. Dionysius Lardner (1877). Mechanics. Oxford University Press. m/s. 150. http://books.google.com/books?id=SDkDAAAAQAAJ&pg=PA134&dq=mechanics+%22tower+of+pisa%22&lr=&as_brr=0#PPA150,M1. 
  32. John Robert Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. m/s. 349. ISBN 189138922X. http://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PA348&dq=%22Coriolis+force%22+inauthor:Taylor&lr=&as_brr=0#PPA349,M1. 
  33. Robin McIlveen (1991). Fundamentals of Weather and Climate. Routledge. m/s. 187. ISBN 0748740791. http://books.google.com/books?id=TmdlBqzl9WIC&pg=PA187&dq=centrifugal+turntable&lr=&as_brr=0#PPA187,M1. 
  34. J. P. Den Hartog (1961). Mechanics (edisi Corrected reprint of 1948 First Edition). Courier Dover Publications. m/s. 304. ISBN 0486607542. http://books.google.com/books?id=WRXrtu44W9UC&pg=PA309&dq=centrifugal+turntable&lr=&as_brr=0#PPA304,M1. 
  35. Carl D. Murray, S. F. Dermott (1999). Solar system dynamics. Cambridge University Press. Chapter 2. ISBN 0521575974. http://books.google.com/books?id=aU6vcy5L8GAC&pg=PA74&dq=inertial+frame+Lagrangian&lr=&as_brr=0#PPA23,M1. 
  36. Oliver Dimon Kellogg (1954). Foundations of Potential Theory (edisi Reprint of 1929 edition). Courier Dover Publications. m/s. 156. ISBN 0486601447. http://books.google.com/books?id=TxlfQi46CvEC&printsec=frontcover&dq=potential+theory+inauthor:Kellogg&lr=&as_brr=0#PPA156,M1. 
  37. Yves Talpaert (2006). Mechanics in Differential Geometry. Walter de Gruyter. m/s. 485. ISBN 9067644579. http://books.google.com/books?id=rzBVsIisPcEC&pg=PA484&dq=potential+Poisson+%22gravitational+field%22&lr=&as_brr=0#PPA485,M1. 
  38. Dean C. Karnopp & Donald L. Margolis (2007). Engineering Applications of Dynamics. Wiley. m/s. 6. ISBN 0470112662. http://books.google.com/books?id=-k1sIqUAodIC&pg=PA6&dq=acceleration+%22polar+coordinates%22&lr=&as_brr=0. 
  39. See Jeremy B. Tatum Celestial Mechanics Chapter 16 or Jeremy B. Tatum Celestial Mechanics , University of Victoria, p. 2
  40. David Morin (2008). Introduction to Classical Mechanics. Cambridge University Press. m/s. 283-284. ISBN 0521876222. http://books.google.com/books?id=Ni6CD7K2X4MC&pg=PA469&dq=acceleration+azimuthal+inauthor:Morin&lr=&as_brr=0#PPA284,M1. 
  41. Herbert Goldstein (1950). Classical Mechanics. Addison-Wesley. Chapter 3, p. 61. 

Bacaan lanjut[sunting | sunting sumber]

Pautan luar[sunting | sunting sumber]