Kumpulan (matematik)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam matematik, kumpulan ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada sebuah set dan dilengkapi dengan operasi dedua yang menggabungkan dua unsur daripada set tadi untuk menghasilkan unsur ketiga. Struktur ini hendaklah mematuhi beberapa aksiom, iaitu tutupan, kalis sekutuan, identiti, dan songsangan. Kumpulan yang mematuhi aksiom tambahan kalis tukar tertib dinamakan kumpulan Abel.

Takrif[sunting | sunting sumber]

Kumpulan ditakrifkan oleh suatu pasangan (G, *) yang terdiri daripada set G dan operasi dedua *, dan mematuhi aksiom-aksiom berikut:

Tutupan
Untuk semua a, b dalam G, a * b juga dalam G.
Kalis sekutuan
Untuk semua a, b, c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
Identiti
Wujud suatu unsur identiti e dalam G, di mana untuk semua a dalam G, a * e = e * a = a. Unsur identiti biasanya ditulis 1 atau 1_G.
Songsangan
Untuk semua a dalam G, wujud unsur songsang b dalam G di mana a * b = b * a = 1_G.

Tertib penggunaan operasi dedua boleh menjadi signifikan. Dalam kata lain, hasil gabungan unsur a dengan unsur b tidak semestinya sama dengan hasil gabungan unsur b dengan unsur a; iaitu persamaan

a * b = b * a

tidak selalunya benar. Sebarang kumpulan yang mana persamaan a * b = b * a selalunya benar adalah kalis tukar tertib dan dipanggil kumpulan Abel.

Contoh-contoh[sunting | sunting sumber]

  • Set integer \mathbb{Z} dengan operasi tambah, ditulis (\mathbb{Z}, +) membentuk sebuah kumpulan.


Wiki letter w.svg

 Rencana ini merupakan rencana tunas. Anda boleh membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.