Kumpulan (matematik)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.

Dalam matematik, kumpulan ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada sebuah set dan dilengkapi dengan operasi dedua yang menggabungkan dua unsur daripada set tadi untuk menghasilkan unsur ketiga. Struktur ini hendaklah mematuhi beberapa aksiom, iaitu tutupan, kalis sekutuan, identiti, dan songsangan. Kumpulan yang mematuhi aksiom tambahan kalis tukar tertib dinamakan kumpulan Abel.

Takrif[sunting | sunting sumber]

Kumpulan ditakrifkan oleh suatu pasangan yang terdiri daripada set dan operasi dedua *, dan mematuhi aksiom-aksiom berikut:

Tutupan
Untuk semua , dalam , juga dalam .
Kalis sekutuan
Untuk semua , , dalam , .
Identiti
Wujud suatu unsur identiti dalam , di mana untuk semua dalam , . Unsur identiti biasanya ditulis 1 atau .
Songsangan
Untuk semua dalam , wujud unsur songsang dalam di mana .

Tertib penggunaan operasi dedua boleh menjadi signifikan. Dalam kata lain, hasil gabungan unsur dengan unsur tidak semestinya sama dengan hasil gabungan unsur dengan unsur ; iaitu persamaan

tidak selalunya benar. Sebarang kumpulan yang mana persamaan selalunya benar adalah kalis tukar tertib dan dipanggil kumpulan Abel.

Contoh-contoh[sunting | sunting sumber]

  • Set integer dengan operasi tambah, ditulis membentuk sebuah kumpulan.

Jika anda melihat rencana yang menggunakan templat {{tunas}} ini, gantikanlah ia dengan templat tunas yang lebih spesifik.