Logaritma asli

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam bidang matematik, logaritma asli ialah logaritma asas e, di mana e ialah pemalar bukan nisbah dengan anggaran nilai 2.718 281 828. Logaritma asli lazimnya ditulis \ln(x),  \log_e(x) atau kadang-kadang, jika asas e adalah implisit, sekadar \log(x).

Logaritma asli bagi sebarang nombor x (ditulis \ln(x)) ialah nombor kuasa bagi e untuk memperoleh x. Sebagai contoh, \ln(7.389...) sama dengan 2, kerana e^2 = 7.389.... Logaritma asli bagi e itu sendiri (\ln(e)) ialah 1 kerana e^1  = e, manakala logaritma asli bagi 1 (\ln(1)) ialah 0, kerana e^0 = 1.

Takrif[sunting | sunting sumber]

\ln(x) ditakrifkan sebagai luas di bawah lengkung f(x) = \frac{1}{x} dari 1 ke x.

Takrif logaritma asli secara formal ialah luas di bawah graf \frac{1}{x} dari 1 ke a, iaitu kamiran,

\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

Ini adalah takrif logaritma kerana mematuhi sfat asas logaritma:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan t=\tfrac xa seperti berikut:

\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)

Nombor e ditakrifkan sebagai suatu nombor nyata unik di mana \ln(a) = 1.

Secara alternatif, jika fungsi eksponen telah ditakrifkan terlebih dahulu menggunakan siri tak terhingga, logaritma asli boleh ditakrifkan sebagai fungsi songsangnya, iaitu ln ialah fungsi di mana e^{\ln(x)} = x\!. Oleh kerana julat fungsi eksponen bagi argumen-argumen nyata ialah semua nombor nyata positif, dan fungsi eksponen meningkat secara khusus, yang demikian adalah tertakrif rapi bagi semua x yang positif.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Berikut ialah sifat-sifat logaritma asli:

  • \ln(1) = 0\,
  • \ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y\;
  • \frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm for}\quad h > -1\;
  • \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,