Rumus kuadratik

Rumus kuadratik.

Rumus kuadratik ialah suatu rumus dalam bidang Algebra yang memberikan penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Ia salah satunya kaedah untuk mencari nilai pemboleh ubah pada paksi-⁠$x$⁠ apabila ⁠$y=0$⁠. Melainkannya, kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan kuadratik termasuklah kaedah pemfaktoran dan penyempurnaan kuasa dua.

Huraian

Penggunaan

Diberi suatu persamaan kuadratik berbentuk am dengan keadaan ⁠$y=0$⁠:

$ax^{2}+bx+c=0$

⁠$x$⁠ ialah pemboleh ubah yang mana nilainya tidak diketahui. ⁠$a$⁠, ⁠$b$⁠, dan ⁠$c$⁠ ialah pemalar dengan keadaan ⁠$a\neq 0$⁠. Asbab nilai ⁠$x$⁠ hendak diketahui, maka terkemukalah rumus kuadratik:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \$

Simbol tambah-tolak, ⁠$\pm$⁠ menunjukkan bahawa persamaan kuadratik mempunyai dua penyelesaian. Ditulis secara berasingan, kedua-duanya menjadi:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{dan}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Setiap satu penyelesaian itu dikenali sebagai punca kepada persamaan kuadratik. Apabila merujuk kepada suatu graf, punca boleh dilihat terletak pada persilangan antara parabola dengan paksi-⁠$x$⁠:

Punca-punca bagi parabola dalam rajah tersebut ialah x₁ = 1 dan x₂ = 4.

Punca-punca yang diperoleh boleh digunakan untuk mencari paksi simetri, ⁠$x$⁠ iaitu titik tengah suatu graf.

Jenis punca

Jenis-jenis punca persamaan kuadratik dapat ditentukan daripada nilai ⁠$\textstyle b^{2}-4ac$⁠ yang dikenali sebagai pembezalayan, biasanya diwakili dengan simbol ⁠$D$⁠.

Jika pembezalayan,

• ⁠$\textstyle b^{2}+4ac>0$⁠, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang nyata dan berlainan.
• ⁠$\textstyle b^{2}+4ac=0$⁠, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang nyata dan sama.
• ⁠$\textstyle b^{2}+4ac<0$⁠, maka persamaan kuadratik tiada punca yang nyata.

Perkembangan sejarah

Kaedah paling awal untuk menyelesaikan persamaan kuadratik adalah geometri. Tablet kuneiform Babylon mengandungi masalah yang dapat dikurangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Papirus Berlin Mesir, yang berasal dari Kerajaan Tengah (2050 SM hingga 1650 SM), mengandungi penyelesaian untuk persamaan kuadratik dua istilah.

Ahli matematik Yunani Euclid (sekitar 300 SM) menggunakan kaedah geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam Buku 2 Elemen, sebuah risalah matematik yang berpengaruh. Hukum untuk persamaan kuadratik muncul dalam Bahasa Cina Sembilan Bab mengenai Seni Matematik sekitar tahun 200 SM. Dalam Arithmetica, ahli matematik Yunani Diophantus (sekitar tahun 250 M) menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah algebra yang lebih dikenali daripada algebra geometri Euclid. Penyelesaiannya hanya memberikan satu punca yang sama, walaupun kedua-dua puncanya positif.

Ahli matematik India Brahmagupta (597-668 M) secara terang-terangan menerangkan rumus kuadratik dalam risalahnya Brāhmasphuṭasiddhānta yang diterbitkan pada tahun 628 Masihi, tetapi ditulis dengan kata-kata dan bukannya simbol. Penyelesaiannya bagi persamaan kuadratik ax² + bx = c adalah seperti berikut: "Untuk nombor mutlak dikalikan dengan empat kali ganda [pekali bagi] kuasa dua, tambahkan kuasa dua [pekali bagi] sebutan yang tengah; punca kuasakan yang sama, kurangkan [pekali bagi] sebutan yang tengah, dibahagi dua kali ganda [pekali] kuasa dua adalah nilainya. " Ini bersamaan dengan:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .$

Ahli matematik Parsi abad ke-9 Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī menyelesaikan persamaan kuadratik secara algebra. Rumus kuadratik yang merangkumi semua kes pertama kali diperoleh oleh Simon Stevin pada tahun 1594. Pada tahun 1637 René Descartes menerbitkan La Géométrie yang mengandungi kes khas rumus kuadratik dalam bentuk yang kita kenal sekarang.

Lihat juga

• Pembeza layan
• Teorem asas algebra
• Persamaan kubik