Hukum sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah. Jika sisi segitiga ialah a, b dan c dan sudut yang berhadapan dengan sisi iaitu A, B and C, maka, hukum sinus menyatakan

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,$

Rumus ini berguna untuk mengetahui panjang sisi yang lain dari segitiga tersebut jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik segitiga. Hukum ini dapat juga digunakan apabila 2 sisi dan 1 sudut diketahui; dalam kes ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dinyatakan. Apabila hal ini terjadi, lazimnya hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kes lain, ada 2 penyelesaian sahih pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat ditulis sebagai

${a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = d.$

Dapat ditunjukkan bahwa:

$d = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4) }}$

iaitu

s merupakan semi-perimeter

$s = \frac{(a+b+c)} {2}$

Turutan

Bina segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buat garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan nyatakan panjang garis ini sebagai h.

Didapati bahawa:

$\sin A = \frac{h}{b}$ and $\; \sin B = \frac{h}{a}$

Kemudian:

$h = b\,\sin A = a\,\sin B$

dan

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Lihat juga

• Hukum kosinus