Set

Dalam matematik, set ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang set diteruskan lagi dalam bidang teori set.

Pembinaan

Set boleh dibentuk dengan tatatanda $\{ ... \}$. Sebagai contoh, berikut ialah set warna primer $W$:

$W = \{merah, hijau, biru\}$

Keahlian

Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set adalah ahli atau unsur bagi set itu. Sebagai contoh, $1$ ialah unsur bagi set $\{ 1,2,3,4 \}$.

Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang $\in$. Kenyataan

$x \in A$

bermaksud $x$ ialah unsur $A$. Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang $\notin$.

Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set lain. Sebagai contoh, $\{\{ 1 \}\}$ ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur $\{ 1 \}$, yang pula merupakan set dengan satu unsur $1$. Dalam kata lain, $1 \in \{ 1 \} \in \{\{ 1 \}\}$.

Subset

Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat di dalam set yang lain. Sebagai contoh, set $A = \{x, y, z\}$ adalah subset kepada $B = \{x, y, z, 1, 2, 3\}$. Atau secara matematik, ia ditulis $A \subseteq B$. Sama juga, $B \supseteq A$, tetapi kali ini ia dibaca "$B$ ialah superset bagi $A$" berbanding sebelumnya, "$A$ ialah subset bagi $B$".

Secara formal, $A \subseteq B \leftrightarrow \forall(x \in A \to x \in B)$, atau, dengan menggunakan set kuasa, $A \subseteq B \leftrightarrow A \in \mathcal{P}(B)$.

Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah sama dengan suatu set B jika set A adalah subset B dan B adalah subset A. Dalam simbol,

$A = B \leftrightarrow A \subseteq B \and B \subseteq A$

Operasi

Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.

Kesatuan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur bagi B. Secara formal,

$A \cup B = \{ x : x \in A \or x \in B) \}$

Persilangan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam kedua-dua A dan B. Secara formal,

$A \cap B = \{ x : x \in A \and x \in B \}$

Pelengkap bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,

$A \setminus B = \{ x : x \in A \and x \notin B \}$

Hasil darab Descartes bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi A dan unsur bagi B. Secara formal,

$A \times B = \{ \langle x, y \rangle : x \in A \and y \in B \}$

Kesatuan tak bercantum bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,

$A + B = (\{ 0 \} \times A) \cup (\{ 1 \} \times B)$

Set khas

Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':

$\mathbb{P}$

Set bagi semua nombor perdana.

$\mathbb{N}$

Set bagi semua nombor asli. Iaitu, $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ atau $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

$\mathbb{Z}$

Set bagi semua integer. Iaitu, $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.

$\mathbb{Q}$

Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, $\mathbb{Q} = \{a/b : a, b \in \mathbb{Z} \and b \ne 0\}$.

$\mathbb{R}$

Set bagi semua nombor nyata.

$\mathbb{C}$

Set bagi semua nombor kompleks.

Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu, saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan ukuran kekardinalan. Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah $\aleph_0$ (alef-nol). Teori mengenai kekardinalan ini dikemukakan oleh Georg Cantor.

Lihat juga

• Glosari teori set

Pautan luar

• Keterangan di Wolfram Mathworld
• Keterangan di PlanetMath

Rencana ini merupakan rencana tunas. Anda boleh membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.