Nombor kompleks

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuk:

a + bi \,

di mana a dan b ialah nombor nyata, dan i ialah unit khayalan. i bersamaan dengan \sqrt{-1}. a dipanggil bahagian nyata nombor itu, dan b dipanggil bahagian khayalan. Nombor nyata boleh disebut sebagai nombor kompleks dengan b = 0, manakala nombor khayalan pula boleh disebut sebagai nombor kompleks dengan a = 0.

Contohnya, 3 + 2i ialah sebuah nombor kompleks dengan bahagian nyata 3 dan bahagian khayalan 2. Katakan z = a + bi, bahagian nyatanya ditulis \mathrm{Re}(z) atau \mathfrak{R}(z), manakala bahagian khayalannya ditulis \mathrm{Im}(z) atau \mathfrak{I}(z).

Nombor kompleks boleh dicampur, ditolak, didarab dan dibahagi seperti nombor nyata, tetapi dengan sifat lain. Contohnya, nombor nyata sendiri tidak boleh memberi jawapan untuk semua persamaan polinomial, manakala nombor khayalan boleh.

Dalam beberapa bidang (terutamanya kejuruteraan elektrik) di mana i ialah simbol untuk arus elektrik, unit khayalan ditulis j.

Kesamaan[sunting | sunting sumber]

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Dalam kata lain, jika dua nombor komples ditulis sebagai a + bi dan c + di dengan a, b, c, dan d adalah nyata, maka kedua-dua nombor itu adalah sama jika dan hanya jika a = c dan b = d.

Operasi-operasi[sunting | sunting sumber]

Nombor kompleks boleh dicampur, ditolak, didarab, dan dibahagi dengan mengenakan hukum-hukum kalis sekutuan, kalis tukar tertib, dan kalis agihan, serta persamaan i^2 = -1:

Campur
\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Tolak
\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Darab
\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
Bahagi
\,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i,
di mana c dan d bukan sifar. Ini diperoleh dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut c + di, iaitu (c - di).

Konjugat

Konjugat untuk nombor kompleks z = a + ib adalah z' = a - ib

  • Z' = Z
  • (Z1+ Z2)' = Z'1 + Z'2
  • (Z1.Z2 )' = Z1' .Z2'
  • (Z1 / Z2 )' = Z'1 / Z2 '


Rujukan[sunting | sunting sumber]

Rujukan Mathematik[sunting | sunting sumber]

Rujukan Sejarah[sunting | sunting sumber]

  • Burton, David M. (1995), The History of Mathematics (edisi ke-3rd), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-009465-9 
  • Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2 
  • Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of \scriptstyle\sqrt{-1} (edisi ke-hardcover), Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1 
    A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
  • H.-D. Ebbinghaus ... (1991), Numbers (edisi ke-hardcover), Springer, ISBN 0-387-97497-0 
    An advanced perspective on the historical development of the concept of number.