Gelanggang (matematik)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.

Takrif[sunting | sunting sumber]

Secara formal, gelanggang ialah suatu set , dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, dan darab, (di mana adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

  • adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
    1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap , dalam , juga dalam .
    2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap , , dalam , .
    3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam , di mana bagi setiap unsur dalam , .
    4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap dalam , wujud unsur dalam di mana .
    5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap , dalam , .
  • adalah monoid terhadap pendaraban:
    1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap , in , juga dalam .
    2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap , , dalam , .
    3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam , di mana bagi setiap unsur dalam , .
  • Hukum-hukum kalis agihan:
    1. Bagi setiap , , dalam , .
    2. Bagi setiap , , dalam , .