Gelanggang (matematik)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Jump to navigation Jump to search

Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.

Takrif[sunting | sunting sumber]

Secara formal, gelanggang ialah suatu set , dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, dan darab, (di mana adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

  • adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
    1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap , dalam , juga dalam .
    2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap , , dalam , .
    3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam , di mana bagi setiap unsur dalam , .
    4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap dalam , wujud unsur dalam di mana .
    5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap , dalam , .
  • adalah monoid terhadap pendaraban:
    1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap , in , juga dalam .
    2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap , , dalam , .
    3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam , di mana bagi setiap unsur dalam , .
  • Hukum-hukum kalis agihan:
    1. Bagi setiap , , dalam , .
    2. Bagi setiap , , dalam , .