Keratan kon

Dalam matematik, kepingan kon adalah lokus dari semua titik yang membentuk lengkungan dua-dimensi, yang terbentuk oleh kepingan sebuah kon dengan sebuah bidang. Tiga jenis lengkungan yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah ahli matematik Yunani yang pertama mempelajari kepingan kon secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

Geometri

Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya

Dalam memahami geometrikepingan kon, sebuah kon dianggap memiliki dua kulit yang terbentang sehingga tidak berhingga di kedua-dua arah. Sebuah penjana adalah sebuah garis yang dapat dibuat melalui kulit kon, dan semua penjana saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis kepingan kon

Jika sebuah bidang kepingan kon sejajar dengan satu dan hanya satu penjana, maka keamatannya adalah parabola. Jika bidang keamatan sejajar dengan dua penjana, maka kepingannya akan memotong kedua-dua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang keamatan tidak sejajar dengan penjanaan mana pun. Bulatan adalah hal khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang kepingan memotong semua penjanaan dan tegak lurus paksi kon.

Hal kemerosotan

Hal-hal kemerosotan terjadi jika bidang-bidang pengamatan melalui verteks kon. Keamatan-keamatan dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika hal pengamatan melalui verteks kon namun tidak memotong penjanaan mana pun. Hal ini merupakan elips yang termerosot. Jika bidang pengamatan melalui verteks kon, dan hanya satu kemerosotan, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang termerosot. Sebuah hiperbola termerosot terjadi jika bidang keamatan melalui verteks kon dan dua penjana sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Geometri koordinat

Secara geometri koordinat, epingan kon dapat didefinisikan sebagai:

tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki nisbah yang malar terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandungi F.

Kesipian adalah nisbah antara FM dan M'M. Elips (e=1/2), parabola (e=1) dan hiperbola (e=2) dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.

Nisbah yang malar tersebut disebut kesipian, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan bukan-negatif. Untuk e = 0, kepingan kon tersebut adalah bulatan, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.

Sistem koordinat Cartes

Dalam Sistem koordinat Cartes, grafik dari persamaan kuadrati dengan dua pemboleh ubah selalu menghasilkan kepingan kon, dan semua kepingan kon dapat dihasilkan melalui cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

$ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$

maka:

• Jika h² = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
• Jika h² < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
• Jika h² > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
• Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan bulatan.
• Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.