Kuasa dua sempurna

Nombor kuasa dua 16 sebagai jumlah gnomon.

Dalam matematik, nombor kuasa dua sempurna ialah integer yang merupakan kuasa dua integer; dengan kata lain, ia adalah hasil darab suatu integer dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh, 9 ialah nombor kuasa dua sempurna, kerana ia sama dengan 3² dan boleh ditulis sebagai 3 × 3.

Notasi lazim kuasa dua nombor n bukanlah hasil darab n × n, tetapi eksponen setara n², biasanya disebut sebagai "n kuasa dua". Unit luas ditakrifkan sebagai luas unit persegi (1 × 1). Oleh itu, segi empat sama dengan panjang sisi n mempunyai luas n². Jika nombor kuasa dua diwakili oleh n titik, titik boleh disusun dalam baris sebagai segi empat sama setiap sisinya mempunyai bilangan titik yang sama dengan punca kuasa dua n.

Nombor kuasa dua sempurna besifat bukan negatif. Integer bukan negatif ialah nombor kuasa dua apabila punca kuasa duanya sekali lagi ialah integer. Sebagai contoh, ${\sqrt {9}}=3,$ jadi 9 ialah nombor kuasa dua sempurna.

Integer positif yang tidak mempunyai pembahagi kuasa dua kecuali 1 dipanggil bebas kuasa dua.

Bagi integer bukan negatif n, nombor kuasa dua ke-n ialah n², dengan 0² = 0 ialah nombor sifar. Konsep segi empat sama boleh diperluaskan terhadap beberapa sistem nombor lain. Jika nombor nisbah disertakan, maka nombor kuasa dua sempurna ialah nisbah dua integer kuasa dua, dan, sebaliknya, nisbah dua integer kuasa dua ialah nombor kuasa dua, sebagai contoh, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$.

Bermula dengan 1, ada $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ nombor kuasa dua hingga dan termasuk m, di mana ungkapan $\lfloor x\rfloor$ mewakili lantai nombor x.

Contoh

Nombor kuasa dua sempurna (jujukan A000290 dalam OEIS) lebih kecil daripada 60² = 3600 ialah:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

Perbezaan antara mana-mana kuasa dua sempurna dan pendahulunya diungkapkan dengan rumus n² − (n − 1)² = 2n − 1. Secara setara, adalah mungkin untuk mengira nombor kuasa dua dengan menambah bersama kuasa dua terakhir, punca kuasa dua terakhir, dan punca semasa, iaitu, n² = (n − 1)² + (n − 1) + n.

Sifat

Nombor m ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan hanya jika seseorang boleh menyusun m titik dalam segi empat sama:

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

Ungkapan bagi nombor kuasa dua ke-n ialah n². Ini juga sama dengan jumlah nombor ganjil n pertama seperti yang boleh dilihat dalam gambar di atas, di mana nombor kuasa dua terhasil daripada yang sebelumnya dengan menambah bilangan mata ganjil (ditunjukkan dalam magenta). Sifat ini menuruti formula berikut:

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Contohnya, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Ganjil genap

Kuasa dua nombor genap adalah genap, dan boleh dibahagi dengan 4, kerana (2n)² = 4n². Kuasa dua nombor ganjil pula adalah ganjil, dan adalah kongruen dengan 1 modulo 8, kerana (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1, dan n(n + 1) sentiasa genap. Dengan kata lain, semua nombor kuasa dua ganjil mempunyai baki 1 apabila dibahagikan dengan 8.