Kuasa dua sempurna

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Pergi ke pandu arah Pergi ke carian
Nombor kuasa dua 16 sebagai jumlah gnomon.

Dalam matematik, nombor kuasa dua sempurna ialah integer yang merupakan kuasa dua integer;[1] dengan kata lain, ia adalah hasil darab suatu integer dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh, 9 ialah nombor kuasa dua sempurna, kerana ia sama dengan 32 dan boleh ditulis sebagai 3 × 3.

Notasi lazim kuasa dua nombor n bukanlah hasil darab n × n, tetapi eksponen setara n2, biasanya disebut sebagai "n kuasa dua". Unit luas ditakrifkan sebagai luas unit persegi (1 × 1). Oleh itu, segi empat sama dengan panjang sisi n mempunyai luas n2. Jika nombor kuasa dua diwakili oleh n titik, titik boleh disusun dalam baris sebagai segi empat sama setiap sisinya mempunyai bilangan titik yang sama dengan punca kuasa dua n.

Nombor kuasa dua sempurna besifat bukan negatif. Integer bukan negatif ialah nombor kuasa dua apabila punca kuasa duanya sekali lagi ialah integer. Sebagai contoh, jadi 9 ialah nombor kuasa dua sempurna.

Integer positif yang tidak mempunyai pembahagi kuasa dua kecuali 1 dipanggil bebas kuasa dua.

Bagi integer bukan negatif n, nombor kuasa dua ke-n ialah n2, dengan 02 = 0 ialah nombor sifar. Konsep segi empat sama boleh diperluaskan terhadap beberapa sistem nombor lain. Jika nombor nisbah disertakan, maka nombor kuasa dua sempurna ialah nisbah dua integer kuasa dua, dan, sebaliknya, nisbah dua integer kuasa dua ialah nombor kuasa dua, sebagai contoh, .

Bermula dengan 1, ada nombor kuasa dua hingga dan termasuk m, di mana ungkapan mewakili lantai nombor x.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Nombor kuasa dua sempurna (jujukan A000290 dalam OEIS) lebih kecil daripada 602 = 3600 ialah:

0 2 = 0
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100
11 2 = 121
12 2 = 144
13 2 = 169
14 2 = 196
15 2 = 225
16 2 = 256
17 2 = 289
18 2 = 324
19 2 = 361
20 2 = 400
21 2 = 441
22 2 = 484
23 2 = 529
24 2 = 576
25 2 = 625
26 2 = 676
27 2 = 729
28 2 = 784
29 2 = 841
30 2 = 900
31 2 = 961
32 2 = 1024
33 2 = 1089
34 2 = 1156
35 2 = 1225
36 2 = 1296
37 2 = 1369
38 2 = 1444
39 2 = 1521
40 2 = 1600
41 2 = 1681
42 2 = 1764
43 2 = 1849
44 2 = 1936
45 2 = 2025
46 2 = 2116
47 2 = 2209
48 2 = 2304
49 2 = 2401
50 2 = 2500
51 2 = 2601
52 2 = 2704
53 2 = 2809
54 2 = 2916
55 2 = 3025
56 2 = 3136
57 2 = 3249
58 2 = 3364
59 2 = 3481

Perbezaan antara mana-mana kuasa dua sempurna dan pendahulunya diungkapkan dengan rumus n2 − (n − 1)2 = 2n − 1. Secara setara, adalah mungkin untuk mengira nombor kuasa dua dengan menambah bersama kuasa dua terakhir, punca kuasa dua terakhir, dan punca semasa, iaitu, n2 = (n − 1)2 + (n − 1) + n.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Nombor m ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan hanya jika seseorang boleh menyusun m titik dalam segi empat sama:

m = 12 = 1 Square number 1.png
m = 22 = 4 Square number 4.png
m = 32 = 9 Square number 9.png
m = 42 = 16 Square number 16.png
m = 52 = 25 Square number 25.png

Ungkapan bagi nombor kuasa dua ke-n ialah n2. Ini juga sama dengan jumlah nombor ganjil n pertama seperti yang boleh dilihat dalam gambar di atas, di mana nombor kuasa dua terhasil daripada yang sebelumnya dengan menambah bilangan mata ganjil (ditunjukkan dalam magenta). Sifat ini menuruti formula berikut:

Contohnya, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Ganjil genap[sunting | sunting sumber]

Kuasa dua nombor genap adalah genap, dan boleh dibahagi dengan 4, kerana (2n)2 = 4n2. Kuasa dua nombor ganjil pula adalah ganjil, dan adalah kongruen dengan 1 modulo 8, kerana (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1, dan n(n + 1) sentiasa genap. Dengan kata lain, semua nombor kuasa dua ganjil mempunyai baki 1 apabila dibahagikan dengan 8.

Nota[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Sesetengah penulis juga memanggil hasil kuasa dua nombor nisbah sebagai nombor kuasa dua sempurna.