Gelanggang (matematik)

Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.

Takrif

Secara formal, gelanggang ialah suatu set $R$, dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, $+ : R \times R \rarr R$ dan darab, $\cdot : R \times R \rarr R$ (di mana $\times$ adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

• $(R, +)$ adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
  1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap $a$, $b$ dalam $R$, $a + b$ juga dalam $R$.
  2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $(a + b) + c = a + (b + c)$.
  3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam $R$, di mana bagi setiap unsur $a$ dalam $R$, $0 + a = a + 0 = a$.
  4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap $a$ dalam $R$, wujud unsur $b$ dalam $R$ di mana $a + b = b + a = 0$.
  5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap $a$, $b$ dalam $R$, $a + b = b + a$.

• $(R, \cdot)$ adalah monoid terhadap pendaraban:
  1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap $a$, $b$ in $R$, $a \cdot b$ juga dalam $R$.
  2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
  3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam $R$, di mana bagi setiap unsur $a$ dalam $R$, $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$.

• Hukum-hukum kalis agihan:
  1. Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.
  2. Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$.