Gelanggang (matematik)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.

Takrif[sunting | sunting sumber]

Secara formal, gelanggang ialah suatu set R, dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, + : R \times R \rarr R dan darab, \cdot : R \times R \rarr R (di mana \times adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

  • (R, +) adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
    1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap a, b dalam R, a + b juga dalam R.
    2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap a, b, c dalam R, (a + b) + c = a + (b + c).
    3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam R, di mana bagi setiap unsur a dalam R, 0 + a = a + 0 = a.
    4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap a dalam R, wujud unsur b dalam R di mana a + b = b + a = 0.
    5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap a, b dalam R, a + b = b + a.
  • (R, \cdot) adalah monoid terhadap pendaraban:
    1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap a, b in R, a \cdot b juga dalam R.
    2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap a, b, c dalam R, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).
    3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam R, di mana bagi setiap unsur a dalam R, 1 \cdot a = a \cdot 1 = a.
  • Hukum-hukum kalis agihan:
    1. Bagi setiap a, b, c dalam R, a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c).
    2. Bagi setiap a, b, c dalam R, (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c).