Persamaan serentak

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Di dalam matematik, persamaan serentak adalah suatu set persamaan yang mengandungi pelbagai pembolehubah. Set ini selalu dirujuk sebagai suatu sistem persamaan. Satu penyelesaian kepada satu sistem penyelesaian adalah suatu nilai spesifik tertentu kepada semua pembolehubah yang boleh memuaskan semua persamaan. Untuk menari suatu penyelesaian, penyelesai perlu unutk menggunakan persamaan yang diberi untuk mencali nilai tepat bagi setiap pembolehubah. Umumnya, penyelesai meggunakan samada kaedah grafik, kaedah matriks, kaedah penggantian, atau kaedah penyingkiran. Beberapa buku teks merujuk kepada kaedah penyingkiran sebagai kaedah penambahan, kerana ia melibatkan penambahan persamaan (atau pemalar pelbagai persamaan) ke atas satu sama, seperti yang diperincikan lagi di dalam artikel ini.

Ini adalah set persamaan linear, juga dikenali sebagai sistem persamaan linear:


\begin{cases}
2x + y = 8\\
x + y = 6
\end{cases}

Menyelesaikan masalah ini melibatkan penolakan x + y = 6 daripada 2x + y = 8 (menggunakan kaedah penyingkiran) untuk membuang pembolehubah-y, kemudian permudah hasil penambahan untuk mencari nilai x, kemudian menggantikan nilai x ke dalam persamaan lain untuk mendapatkan y.

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah:


\begin{cases}
x = 2\\
y = 4
\end{cases}

yang mana ia juga boleh ditulis sebagai satu pasangan berturutan (2, 4), yang mewakili koordinati titik persilangan dua garis yang diwakili oleh persamaan-persamaan di atas graf.

Mencari penyelesaian[sunting | sunting sumber]

Kadang-kadang tidak semua pembolehubah boleh diselesaikan untuk, dan jadi jawapan untuk sekurang-kurangnya satu pembolehubah mesti dinyatakan dari segi pembolehubah lain dan sebagainya set semua penyelesaian adalah tak terhingga; ini adalah khas bagi kes-kes di mana sistem ini mempunyai sedikit persamaan daripada pembolehubah . Jika bilangan persamaan adalah sama seperti bilangan pembolehubah, maka mungkin (tetapi tidak semestinya) sistem adalah tepat larut dalam erti kata bahawa set penyelesaian adalah terbatas; sistem persamaan linear ini sekiranya ada adalah tepat satu penyelesaian, untuk sistem lain untuk mempunyai beberapa penyelesaian juga biasa. Kadang-kadang sistem mempunyai tiada penyelesaian, ini adalah khas bagi kes-kes di mana sistem mempunyai lebih banyak persamaan daripada pembolehubah. Jika peraturan-peraturan tentang hubungan antara bilangan penyelesaian dan nombor persamaan dan pembolehubah tidak memegang, maka situasi seperti itu sering dirujuk sebagai pergantungan antara persamaan atau di antara bahagian kiri mereka. Sebagai contoh, ini berlaku dalam sistem linear jika satu persamaan adalah gandaan yang mudah (selain mewakili barisan yang sama, contohnya 2 x + y = 3 dan 4 x + 2 y = 6) atau jika nisbah pembolehubah seperti dalam dua persamaan linear yang sama (yang mewakili garis selari, contohnya 2 x + y = 3 dan 6 x + 3 ' 'y = 7 di mana nisbah surat setanding 3).

Sistem dua persamaan dalam dua nilai sebenar tidak diketahui biasanya muncul sebagai salah satu daripada lima jenis, mempunyai hubungan kepada bilangan penyelesaian:

  1. Sistem yang mewakili menyilangkan set tempat seperti garis dan keluk, dan yang tidak adalah salah satu jenis di bawah. Ini boleh dianggap jenis biasa, orang lain yang luar biasa dalam beberapa berkenaan. Sistem ini biasanya mempunyai nombor terhingga penyelesaian, masing-masing dibentuk oleh koordinat satu titik persilangan.
  2. Sistem yang memudahkan ke palsu (contohnya, persamaan seperti 1 = 0). Sistem sedemikian tidak mempunyai titik persilangan dan tiada penyelesaian. Jenis ini didapati, sebagai contoh, apabila persamaan yang mewakili garis selari.
  3. Sistem di mana kedua-dua persamaan memudahkan identiti (contohnya, x = 2x - x dan 0 y = 0). Mana-mana penetapan nilai kepada pembolehubah yang tidak diketahui memuaskan persamaan. Oleh itu, terdapat nombor terhingga penyelesaian: semua mata pesawat.
  4. Sistem di mana dua persamaan mewakili set mata yang sama: mereka adalah matematik setara (satu persamaan biasanya boleh ditukar kepada yang lain melalui manipulasi algebra). Sistem sedemikian mewakili sepenuhnya bertindih baris, atau lengkung, dan lain-lain Salah satu daripada dua persamaan adalah berlebihan dan boleh dibuang. Setiap titik set mata sepadan dengan penyelesaian. Biasanya, ini bermakna terdapat nombor terhingga penyelesaian.
  5. Sistem di mana satu (dan satu sahaja) dua persamaan memudahkan ke identiti. Oleh itu, ia adalah berlebihan, dan boleh dibuang, seperti setiap jenis sebelumnya. Setiap titik set mata yang diwakili oleh persamaan lain adalah satu penyelesaian yang terdapat kemudian biasanya nombor terhingga.

Persamaan x 2 + y 2 = 0 boleh dianggap sebagai persamaan bulatan yang berjejari telah merosot kepada sifar, dan supaya ia merupakan satu titik: ( x = 0, y = 0), seperti bulatan normal mengandungi infiniti mata. Ini dan contoh yang sama menunjukkan sebab mengapa dua jenis terakhir yang dihuraikan di atas memerlukan kelayakan "biasanya". Satu contoh sistem persamaan jenis pertama yang diterangkan di atas dengan bilangan tak terhingga penyelesaian yang diberikan oleh x = | x |, y = | y | ( mana notasi | • | menandakan [nilai mutlak]] fungsi), penyelesaian yang membentuk satu kuadran [sistem koordinat Cartesan Koordinat # Cartesian dalam dua dimensi | x - y pesawat]] . Satu lagi contoh adalah x = | y |, y = | x |, yang mewakili penyelesaian [Line (matematik) # Ray | ray]]. Satu lagi contoh adalah ( x 1) ( x + y) = 0, ( y 1) ( x + y) = 0, penyelesaian yang mewakili garis dan titik.

Kaedah penggantian[sunting | sunting sumber]

The two example equations intersect twice. Therefore, there are two solutions.

Systems of simultaneous equations can be hard to solve unless a systematic approach is used. A common technique is the substitution method: Find an equation that can be written with a single variable as the subject, in which the left-hand side variable does not occur in the right-hand side expression. Next, substitute that expression where that variable appears in the other equations, thereby obtaining a smaller system with fewer variables. After that smaller system has been solved (whether by further application of the substitution method or by other methods), substitute the solutions found for the variables in the above right-hand side expression.

In this set of equations


\begin{cases}
x^2 + y^2 = 1\\
2x + 4y = 0
\end{cases}

x is made the subject of the second equation:

x = -2y\,

then, this result is substituted into the first equation:

(-2y)^2 + y^2 = 1.\,

After simplification, this yields the solutions

y = \pm \sqrt{1 \over 5}

and by substituting this in x = −2y the corresponding x values are obtained. The two solutions of the system of equations are then:

x = -2\sqrt{1 \over 5},\  y=\sqrt{1 \over 5} \qquad\mbox{and}\qquad x = 2\sqrt{1 \over 5},\ y=-\sqrt{1 \over 5}.\,

Kaedah penyingkiran[sunting | sunting sumber]

Elimination by judicious multiplication is the other commonly used method to solve simultaneous linear equations. It uses the general principles that each side of an equation still equals the other when both sides are multiplied (or divided) by the same quantity, or when the same quantity is added (or subtracted) from both sides. As the equations grow simpler through the elimination of some variables, a variable will eventually appear in fully solvable form, and this value can then be "back-substituted" into previously derived equations by plugging this value in for the variable. Typically, each "back-substitution" can then allow another variable in the system to be solved.

Matriks[sunting | sunting sumber]

Systems of equations may also be represented in terms of matrices, allowing various principles of matrix operations to be handily applied to the problem. Systems of simultaneous linear equations are studied in linear algebra; they are solved using Gaussian elimination or the Cholesky decomposition. To determine approximate solutions to general systems numerically on a computer, the n-dimensional Newton's method may be used. Algebraic geometry is essentially the theory of simultaneous polynomial equations. The question of effective computation with such equations belongs to elimination theory. See also Cramer's Rule, which computes the quotient of 2 determinants to calculate the solution.

Simultaneous equation models are a form of statistical model in the form of a set of linear simultaneous equations. They are often used in econometrics.

In modular arithmetic, simple systems of simultaneous congruences can be solved by the method of successive substitution.

Simultaneous equations are easier to solve using this method.

Paling kurang-Segiempat sama[sunting | sunting sumber]

Rencana utama: Linear least squares

A set of linear simultaneous equations can be written in matrix form as Ax = y. If there are more equations than variables, the system is called overdetermined, and has (in general) no solutions. The system can then be changed to (ATA)x = ATy. The new system has as many equations as variables (the matrix ATA is a square matrix) and can be solved in the usual way. The solution is a least-squares solution of the original, overdetermined system, minimizing the Euclidean norm ||Ax − y||, a measure of the discrepancy between the two sides in the original system.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Pautan luar[sunting | sunting sumber]