Persamaan pembezaan

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari
Persamaan kebezaan dilencongkan ke sini.
Visualisasi pemindahan haba dalam selongsong pam, yang dicipta daripada penyelesaian persamaan haba. Haba sedang dijana secara dalaman dalam selongsong dan disejukkan di sempadan, memberikan keadaan tetap pengagihan suhu.

Persamaan pembezaan atau persamaan kebezaan ialah suatu persamaan matematik untuk suatu fungsi yang tidak dikenali dari satu atau beberapa pemboleh ubah yang mengaitkan nilai-nilai fungsi itu sendiri dan terbitannya dari pelbagai tertib. Persamaan pembezaan memainkan suatu peranan ketara pada kejuruteraan, fizik, ekonomi, dan disiplin lain.

Pembayangan aliran udara ke dalam sebuah model saluran menggunakan menggunakan persamaan Navier-Stokes, suatu set persamaan pembezaan separa

Persamaan kebezaan timbul dalam pelbagai bidang sains dan teknologi: apabila hubungan berketentuan yang melibatkan kuantiti yang berubah-ubah tanpa henti (dimodelkan oleh fungsi) dan kadar perubahannya dalam angkasa dan/atau masa (dinyatakan sebagai terbitan) diketahui atau diharapkan. Ini digambarkan dalam ilmu mekanik klasik, yang mana pergerakan jasad diterangkan melalui kedudukan dan halajunya ketika masa berubah-ubah. Hukum Newton membolehkan perhubungan kedudukan, halaju, pecutan dan berbagai-bagai daya yang bertindak dalam jasad serta penyataan hubungan ini sebagai persamaan kebezaan kedudukan jasad yang tidak diketahui sebagai fungsi masa. Adakalanya, persamaan kebezaan ini (dipanggil persamaan gerakan) boleh diselesaikan secara tidak tersirat.

Contoh masalah yang melibatkan persamaan kebezaan ialah penentuan halaju sebiji bola yang jatuh melalui udara, dengan hanya mengambil kira graviti dan rintangan udara. Pecutan bola ke arah tanah ialah pecutan yang terhasil dari graviti tolak nyahpecutan akibat rintangan udara. Graviti adalah malar tetapi rintangan bolanya dapat dimodelkan sebagai berkadar dengan halaju bola. Ertinya, pecutan bola tersebut sebagai terbitan halajunya, bergantung pada halajunya. Pencarian halaju sebagai fungsi masa melibatkan penyelesaian persamaan kebezaan.

Persamaan kebezaan dikaji secara matematik dari pelbagai perspektif, lazimnya berkenaan dengan penyelesaiannya, iaitu set fungsi yang memuaskan persamaan itu. Hanya persamaan kebezaan yang teringkas membenarkan penyelesaian yang diberi oleh formula-formula yang tak tersirat; itupun, sesetengah ciri-ciri penyelesaian persamaan kebezaan tertentu boleh ditentukan tanpa mencari bentuk tepatnya. Seandainya tiada formula serba lengkap untuk penyelesaiannya, maka penyelesaiannya boleh dianggarkan angkanya dengan menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan analisa sistem secara kualitatif yang ditetapkan oleh persamaan kebezaan, manakala banyak kaedah berangka telah dimajukan untuk menentukan penyelesaian dengan setepat-setepatnya.

Arah kajian[sunting | sunting sumber]

Kajian persamaan pembezaan merangkumi bidang yang luas dalam matematik tulen dan matematik gunaan, fizik, meteorologi dan kejuruteraan. Kesemua disiplin ini ada kaitan dengan ciri-ciri persamaan pembezaan pelbagai jenis. Matematik tulen tertumpu pada kewujudan dan keunikan penyelesaian-penyelasaian, sementara matematik gunaan menitikberatkan justifikasi yang ketat terhadap kaedah-kaedah penganggaran penyelesaian. Persamaan pembezaan memainkan peranan penting dalam pemodelan hampir kesemua proses fizik, teknik ataupun biologi, daripada pergerakan cakerawala, dan reka bentuk jambatan sehinggalah interaksi antara neuron. . Persamaan pembezaan yang digunakan bagi menyelesaikan masalah nyata atau sebenar tidak semestinya dapat diselesaikan secara langsung, yakni persamaan-persamaan ini tidak memiliki penyelesaian bentuk tertutup. Sebaliknya, penyelesaian dapat dianggarkan dengan menggunakan kaedah-kaedah berangka.

Para ahli matematik juga mengkaji penyelesaian lemah (berpandukan terbitan lemah), yang merupakan jenis penyelesaian yang tidak perlu dapat dibezakan pada setiap masa. Peluasan ini sering diperlukan bagi kewujudan penyelesaian, dan ia juga menghasilkan ciri-ciri penyelesaian yang lebih munasabah dari segi fizik, seperti kehadiran kejutan dalam persamaan jenis hiperbola.

Kajian kestabilan penyelesaian buat persamaan pembezaan disebut teori kestabilan.

Tatanama[sunting | sunting sumber]

Teori persamaan pembezaan agak maju dan kaedah yang digunakan untuk kajian mereka mempunyai perbezaan ketara dengan jenis persamaan.

  • Persamaan pembezaan biasa (PPB) adalah persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui (juga dikenali sebagai pembolehubah bebas) adalah satu fungsi yang berubah-ubah tunggal bebas. Dalam bentuk yang paling mudah, fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi sebenar atau kompleks bernilai, tetapi secara umum, ia boleh menjadi vektor bernilai atau matriks bernilai: ini sepadan dengan mempertimbangkan satu sistem persamaan pembezaan biasa untuk fungsi tunggal. Persamaan pembezaan biasa lagi dikelaskan mengikut tertib derivatif tertinggi berkenaan dengan pembolehubah bersandar yang terdapat dalam persamaan. Kes-kes yang paling penting untuk aplikasi adalah tertib pertama dan persamaan pembezaan tertib kedua. Dalam kesusasteraan klasik juga perbezaan dibuat antara persamaan pembezaan jelas diselesaikan berkenaan dengan terbitan dan perbezaan persamaan tertinggi dalam bentuk yang tersirat.
  • Persamaan pembezaan separa (PPS) adalah persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi pelbagai pembolehubah bebas dan persamaan yang melibatkan terbitan separa. tertib itu ditakrifkan sama seperti kes persamaan pembezaan biasa, tetapi lebih jauh ke dalam klasifikasi persamaan eliptik, hiperbola dan parabola terutama bagi persamaan lelurus tertib kedua, adalah amat penting. Beberapa persamaan pembezaan separa tidak jatuh ke dalam mana-mana kategori ini lebih daripada domain keseluruhan pembolehubah bebas dan mereka dikatakan dari jenis campuran.

Kedua-dua persamaan pembezaan biasa dan separa secara meluas dikelaskan sebagai lelurus dan bukan lelurus. Satu persamaan pembezaan adalah lelurus jika fungsi yang tidak diketahui dan derivatif kelihatan kuasa 1 (produk tidak dibenarkan) dan lelurus sebaliknya. Harta ciri persamaan lelurus adalah bahawa penyelesaian mereka membentuk subruang affine ruang fungsi yang sesuai, yang menyebabkan dalam teori lebih maju persamaan pembezaan lelurus. Persamaan pembezaan lelurus homogen adalah subkelas lagi yang mana ruang penyelesaian adalah subruang lelurus iaitu jumlah mana-mana set penyelesaian atau gandaan penyelesaian juga penyelesaian. Pekali fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya dalam persamaan pembezaan lelurus dibenarkan menjadi (diketahui) fungsi pembolehubah bebas atau pembolehubah, jika pekali ini adalah pemalar maka seseorang bercakap daripada pekali persamaan pembezaan lelurus berterusan .

Tidak banyak kaedah jelas penyelesaian persamaan pembezaan lelurus; orang-orang yang dikenali biasanya bergantung kepada persamaan yang mempunyai tertentu simetri. Persamaan pembezaan lelurus boleh mempamerkan tingkah laku yang sangat rumit lebih selang masa yang panjang, ciri-ciri huru-hara. Walaupun soalan-soalan asas kewujudan, keunikan, dan kebolehpanjangan penyelesaian bagi persamaan pembezaan lelurus, dan paparan baik masalah nilai awal dan sempadan bagi PPS lelurus adalah masalah keras dan resolusi mereka dalam kes-kes khas yang dianggap sebagai satu kemajuan penting dalam matematik teori (rujuk kewujudan dan kelancaran Navier-Stokes).

Persamaan pembezaan lelurus sering muncul sebagai anggaran untuk persamaan tak lelurus. Anggaran ini hanya sah di bawah keadaan terhad. Sebagai contoh, persamaan pengayun harmonik adalah anggaran kepada persamaan lelurus bandul yang sah untuk ayunan amplitud kecil (lihat di bawah).

Contoh[sunting | sunting sumber]

Dalam kumpulan yang pertama contoh, mari u menjadi fungsi yang tidak diketahui x, and c and ω dikenali pemalar.

  • Tak homogen pertama tertib lelurus berterusan pekali persamaan pembezaan biasa:
 \frac{du}{dx} = cu+x^2.
  • Homogen kedua persamaan pembezaan biasa lelurus:
 \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.
  • Homogen tertib kedua pekali malar persamaan pembezaan biasa lelurus yang menerangkan pengayun harmonik:
 \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0.
  • tertib Pertama lelurus persamaan pembezaan biasa:
 \frac{du}{dx} = u^2 + 1.
  • Tertib kedua lelurus persamaan pembezaan biasa yang menerangkan gerakan satu bandul panjang L:
 g\frac{d^2u}{dx^2} + L\sin u = 0.

Dalam contoh kumpulan yang seterusnya, fungsi yang tidak diketahui u bergantung kepada dua pembolehubah x dan t atau x dan y.

  • Homogen tertib pertama lelurus persamaan pembezaan separa:
 \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
  • Homogen usaha berterusan pekali persamaan kebezaan separa lelurus tertib kedua jenis elips, yang persamaan Laplace:
 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
 \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.

Konsep berkaitan[sunting | sunting sumber]

  • Persamaan pembezaan kelewatan (PPK) adalah satu persamaan untuk fungsi pembolehubah tunggal, biasanya dipanggil masa, di mana terbitan fungsi pada masa yang tertentu diberikan dari segi nilai fungsi pada masa yang lebih awal.
  • Perbezaan persamaan algebra (PPA) merupakan persamaan pembezaan yang terdiri daripada perbezaan dan terma aljabar, diberikan dalam bentuk tersirat.

Hubungan kepada persamaan perbezaan[sunting | sunting sumber]

Teori persamaan pembezaan adalah berkait rapat dengan teori persamaan perbezaan, di mana koordinat menganggap hanya nilai diskret, dan hubungan melibatkan nilai fungsi yang tidak diketahui atau fungsi dan nilai-nilai di Koordinat berdekatan. Banyak kaedah untuk mengira penyelesaian berangka persamaan pembezaan atau belajar sifat-sifat persamaan pembezaan melibatkan perkiraan penyelesaian persamaan pembezaan oleh penyelesaian persamaan perbezaan yang sepadan.

Kesejagatan penerangan matematik[sunting | sunting sumber]

Banyak undang-undang asas fizik dan kimia boleh dirumuskan sebagai persamaan pembezaan. Dalam biologi dan ekonomi persamaan pembezaan yang digunakan untuk model tingkah laku sistem yang kompleks. Teori matematik persamaan pembezaan mula dibangunkan bersama-sama dengan sains, di mana persamaan telah berasal dan di mana keputusan dijumpai permohonan. Walau bagaimanapun, masalah yang pelbagai, kadang-kadang berasal dalam bidang sains agak berbeza, boleh membawa kepada persamaan pembezaan sama. Apabila ini berlaku, teori matematik di sebalik persamaan boleh dilihat sebagai satu prinsip yang menyatukan di sebalik fenomena yang pelbagai. Sebagai contoh, pertimbangkan penyebaran cahaya dan bunyi di atmosfera, dan gelombang di permukaan kolam. Kesemua mereka boleh digambarkan melalui tertib kedua yang sama persamaan pembezaan separa, yang persamaan gelombang, yang membolehkan kita untuk berfikir cahaya dan bunyi sebagai bentuk gelombang, sama seperti ombak biasa di dalam air. Pengaliran haba, teori yang dibangunkan oleh Joseph Fourier, dikawal oleh persamaan pembezaan separa yang lain kedua, persamaan haba. Rupa-rupanya banyak penyebaran proses, manakala yang seolah-olah berbeza, diterangkan oleh persamaan yang sama; persamaan Black-Scholes dalam kewangan adalah untuk contoh, yang berkaitan dengan persamaan haba.

Persamaan pembezaan ketara[sunting | sunting sumber]

Biologi[sunting | sunting sumber]

Ekonomi[sunting | sunting sumber]

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Wikibuku
Wikibuku mempunyai satu buku topik mengenai

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  • D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
  • W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
  • E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956
  • E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955
  • P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006

Pautan luar[sunting | sunting sumber]