Persamaan pembezaan

Jangan dikelirukan dengan persamaan beza.

Persamaan pembezaan atau persamaan kebezaan ialah suatu persamaan matematik untuk suatu fungsi yang tidak dikenali dari satu atau beberapa pembolehubah yang mengaitkan nilai-nilai fungsi itu sendiri dan terbitannya dari pelbagai tertib. Persamaan pembezaan memainkan suatu peranan ketara pada kejuruteraan, fizik, ekonomi, dan disiplin lain.

Pembayangan aliran udara ke dalam sebuah model saluran menggunakan menggunakan persamaan Navier-Stokes, suatu set persamaan pembezaan separa

Persamaan kebezaan timbul dalam pelbagai bidang sains dan teknologi: apabila hubungan berketentuan yang melibatkan kuantiti yang berubah-ubah tanpa henti (dimodelkan oleh fungsi) dan kadar perubahannya dalam angkasa dan/atau masa (dinyatakan sebagai terbitan) diketahui atau diharapkan. Ini digambarkan dalam ilmu mekanik klasik, yang mana pergerakan jasad diterangkan melalui kedudukan dan halajunya ketika masa berubah-ubah. Hukum Newton membolehkan perhubungan kedudukan, halaju, pecutan dan berbagai-bagai daya yang bertindak dalam jasad serta penyataan hubungan ini sebagai persamaan kebezaan kedudukan jasad yang tidak diketahui sebagai fungsi masa. Adakalanya, persamaan kebezaan ini (dipanggil persamaan gerakan) boleh diselesaikan secara tidak tersirat.

Contoh masalah yang melibatkan persamaan kebezaan adalah menentukan halaju sebiji bola yang jatuh melalui udara, dengan hanya mengambil kira graviti dan rintangan udara. Pecutan bola ke arah tanah ialah pecutan yang terhasil dari graviti tolak nyahpecutan akibat rintangan udara. Graviti adalah malar tetapi rintangan bolanya boleh dimodelkan sebagai berkadar dengan halaju bola. Ertinya, pecutan bola tersebut sebagai terbitan halajunya, bergantung pada halajunya. Pencarian halaju sebagai fungsi masa melibatkan penyelesaian persamaan kebezaan.

Persamaan kebezaan dikaji secara matematik dari pelbagai perspektif, lazimnya berkenaan dengan penyelesaiannya, iaitu set fungsi yang memuaskan persamaan itu. Hanya persamaan kebezaan yang teringkas membenarkan penyelesaian yang diberi oleh formula-formula yang tak tersirat; itupun, sesetengah ciri-ciri penyelesaian persamaan kebezaan tertentu boleh ditentukan tanpa mencari bentuk tepatnya. Seandainya tiada formula serba lengkap untuk penyelesaiannya, maka penyelesaiannya boleh dianggarkan angkanya dengan menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan analisa sistem secara kualitatif yang ditetapkan oleh persamaan kebezaan, manakala banyak kaedah berangka telah dimajukan untuk menentukan penyelesaian dengan setepat-setepatnya.

Arah kajian

Untuk lebih terperinci berkenaan dengan topik ini, sila lihat [[{{{1}}}]].

Rujukan

• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956
• E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955
• P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006

Pautan luar

• Lectures on Differential Equations MIT Open CourseWare Video
• Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics
• Introduction to modeling via differential equations Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
• Differential Equation Solver Java applet tool used to solve differential equations.
• Mathematical Assistant on Web Symbolic ODE tool, using Maxima
• Exact Solutions of Ordinary Differential Equations
• A bibliography of books about differential equations, from the Mathematical Association of America
• Collection of ODE and DAE models of physical systems MATLAB models
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC