Gerakan berkala

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Umumnya, persamaan bagi pangayun ialah penyelesaian bagi persamaan

 \frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A_0cos(\omega t) \,

dimana

 b \, ialah pemalar redaman
 \omega_0 \, ialah frekuensi sudut
 A_0cos(\omega t) \, ialah faktor luar yang mengayunkan sistem itu

Istilah-istilah penting[sunting | sunting sumber]

  • Amplitud, A\, adalah jarak maksimum dari keseimbangan. Unit SInya ialah meter.
  • Frekuensi,f\, ialah jumlah kitaran dalam satu unit masa. Bagi frekuensi sudut ( \omega\, ) pula, ia berhubung kait dengan  f \, melalui persamaan
 \omega = 2\pi f \,

Unit SI bagi frekuensi ialah hertz,HZ, dimana

1 hertz = 1 Hz = 1 kitaran/saat = 1/saat.

  • Tempoh, T\, ialah masa untuk satu kitaran. Unit SInya ialah saat. Perhubungan diantara tempoh dan frekuensi dan frekuensi sudut ialah
 T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega} \,

Gerakan Harmonik Mudah[sunting | sunting sumber]

Pengayun Berharmoni ialah

  • suatu sistem mekanikal dimana daya berkadar terus dengan sesaran, iaitu  F = -kx \, dimana k\, ialah pemalar spring.
  • mana-mana sistem yang analogus dengan sistem mekanik ini.

Apabila daya yang pemulih berkadar terus dengan sesaran, maka sistem itu dipanggil Gerakan Harmonik Mudah.

Bagi gerakan harmonik mudah, nilai pemalar redaman adalah kosong dan tiada faktor luar yang mempengaryhi sistem ini. Maka persamaan pembezaannya ialah

 \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \,

maka penyelesaian bagi persamaan di atas ialah

 x = Acos(\omega t +\phi) \,

dimana

 \phi\, ialah sudut fasa

maka halajunya ialah

 v_x = \frac{dx}{dt} = -\omega A sin(\omega t + \phi) \,

dan pecutannya ialah

 a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 Acos(\omega t + \phi) \,

dimana persamaan pecutannya ialah

 a_x = \frac{d^2x}{dt} = -\frac{k}{m}x = -\omega^2x \,

oleh itu dari persamaan diatas, frekuensi sudut ialah

 \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \,

maka

 f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \,
 T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \,

Tenaga Di Dalam Gerakan Harmonik Mudah[sunting | sunting sumber]

Untuk rencana lanjutan lihat tenaga

Tenaga yang terdapat pada gerakan harmonik mudah ialah

 E = \frac{1}{2}mv_x^2 +\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 = pemalar \,

Gerakan Harmonik Mudah Sudut[sunting | sunting sumber]

Mengikut kinematik sudut,

 \sum \tau_z = I\alpha_z = I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\kappa\theta \,

Ini adalah anologi dari kinematik linear, dan

 I\, ialah momen inersia
 \kappa\, ialah pemalar kilasan dimana
 \omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}} \, dan  f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\kappa}{I}} \,

Pengayun Berharmonik Pacuan[sunting | sunting sumber]

Ia adalah penyelesaian bagi formula

 \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = A_0cos(\omega t) \,

Pengayun Teredam[sunting | sunting sumber]

Bagi pengayun teredam, persamaan pembezaannya ialah

 \sum F_x = ma_x = -kx -bv_x = -kx -b\frac{dx}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2} \,

Maka penyelesaian persamaan di atas ialah

 x =Ae^{-\frac{b}{2m}t}cos( \omega' t + \phi ) \,

dan frekuensi sudut bagi pengayun teredam ialah

 \omega' = \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}} \,

Redaman Genting[sunting | sunting sumber]

Redaman Genting' ialah situasi dimana \omega' = 0\,. Maka

 0 = \frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2} \, atau  b = 2\sqrt{km} \,

Sistem ini tidak lagi berayun dan kembali ke keseimbangan tanpa sebarang ayunan.

Lebih Redaman[sunting | sunting sumber]

'Redaman Lebih' ialah dimana

 b > 2\sqrt{km} \,.

Situasi ini ialah dimana ayunan kembali ke keseimbangan tanpa ayunan tetapi secara perlahan-lahan. Formula untuk sesaran ialah

 x = C_1e^{-a_1 t} + C_2e^{-a_2 t} \,

dimana  C_1\, dan C_2\, ialah pemalar.

Kurang Redaman[sunting | sunting sumber]

Bagi redaman kurang

 b < 2\sqrt{km} \,

Sistem bagi redaman kurang berayun dengan amplitud yang semakin berkuranngan.

Lihat Juga[sunting | sunting sumber]