Logik

Dari Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas.

Logik (daripada perkataan Greek λόγος logos; bermaksud, fikiran, idea, hujah, alasan atau prinsip) adalah satu pengajian tentang prinsip-prinsip kesahihan tentang sesuatu samada secara inferens (sesuatu yang sudah diketahui secara tidak langsung) dan demonstrasi (sesuatu yang diketahui setelah dijalankan kajian).

Logik merujuk kepada turutan cara mendapatkan sesuatu rumusan berasaskan beberapa andaian kukuh. Logik turut digunakan dalam elektronik digital. Tingkah-laku litar digital biasanya diputuskan melalui penggunaan litar-litar logik yang dipanggil get logik.

[sunting] Logik usulan

Logik peringkat kesifar, di mana atom-atom logik merupakan usulan-usulan tunggal, yang biasanya digabungkan menggunakan hubungan 'dan' (∧), 'atau' (∨), 'bukan' (¬) dan 'identiti' (≡), adalah sistem logik yang paling mudah.

Pada asasnya, ia boleh dilihat sebagai suatu sistem formal dengan komponen-komponen berikut:

abjad – huruf-huruf usulan p, q, r, …
        operator-operator logik ¬ (‘bukan’),
                                ⊃ (atau →) (‘babatkan’)
        kurungan-kurungan (, )
perkataan – apa-apa huruf usulan;
            jika w perkataan, (w) juga perkataan;
            jika w perkataan, ¬w juga perkataan;
            jika w1, w2 perkataan, w1⊃w2 juga perkataan.
aksiom – A1: (w1⊃(w2⊃w1))
         A2: (w1⊃(w2⊃w3))⊃((w1⊃w2)⊃(w1⊃w3))
         A3: (¬w2⊃¬w1)⊃(w1⊃w2)
hukum – hukum pemisahan / modus ponens :
         (w1) & (w1⊃w2) → (w2)

Oleh itu, 'atau', 'dan' dan 'identiti' adalah terbitan: misalnya p∨q ialah (¬p)⊃q, sementara p∧q boleh ditulis ¬((¬p)∨(¬q)) dan p≡q sebagai (p∧q)∨((¬p)∧(¬q)).

Dari segi semantik, boleh diadakan tafsiran berlandaskan nombor dedua {0,1} di mana 0 mewakili ‘PALSU’ dan 1 mewakili ‘BENAR’, fungsi pelengkap, C(x)=1-x, dan fungsi kebenaran, T(x,y)=0 jika (x=1, y=0), 1 jika selainnya. Ini membawa kepada algebra Boole. Ia agak sepadan dengan logik tabii.

Boleh dibuktikan bahawa

• Logik usulan tak bertentangan (F dan ¬F tak boleh dibuktikan serentak)
• Logik usulan lengkap
• Logik usulan sahih
• Logik usulan bolehputus

[sunting] Logik predikat

Juga disebut kalkulus predikat. Logik peringkat pertama, di mana pembolehubah dibolehkan di dalam predikat-predikat yang menggantikan atom-atom usulan. Suatu predikat A dengan ariti k ditulis A(x₁, x₂,…, x_k).

Dari segi sistem formal, logik predikat ialah sistem formal dengan

abjad: pemalar; fungsi; pembolehubah; predikat; pengkuantiti semesta ∀ (‘untuk semua’)
perkataan: seperti untuk logik usulan ditambah
                predikat & pengkuantiti semesta
aksiom: seperti untuk logik usulan ditambah  
          A4: ((∀t)B(t))⊃B(u)
          A5: ((∀t)(w1⊃w2))⊃(w1⊃(∀t)w2) dgn t bukan pembolehubah bebas dlm w1
hukum: modus ponens ditambah
          w1 → ((∀t)w1) dgn t pembolehubah bebas dlm w1 (penyeluruhan)

Boleh diterbitkan pengkuantiti wujudan ∃ : (∃x)B(x) ≡ ¬((∀x)¬B(x)).

Logik predikat dikatakan logik peringkat pertama kerana ∀,∃ bertindak hanya ke atas pembolehubah, dan bukan ke atas predikat.

Untuk tafsiran semantik, pemalar, pembolehubah dan fungsi dipetakan ke dalam suatu domain D, sementara predikat-predikat dipetakan kepada {BENAR,PALSU}. Pengkuantiti ∀ ditafsirkan benar untuk semua nilai pembolehubah, dan ∃ benar jika benar untuk sesuatu nilai pembolehubah.

Jika D tak terhad, logik predikat tak bolehputus.

Logik predikat menjadi asas untuk pengaturcaraan logik.