Persamaan kuadratik

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Lompat ke: pandu arah, cari

Dalam matematik, persamaan kuadratik ialah satu persamaan polinomial darjah kedua. Bentuk umumnya adalah

ax^2+bx+c=0,\,

di mana x mewakili suatu pemboleh ubah, dan a, b dan c, mewakili pekali dan pemalar, dengan a ≠ 0. (Jika a = 0, persamaan ini menjadi persamaan linear.)

Pemalar a, b dan c, masing-masing dipanggil, pekali kuadratik, pekali linear dan sebutan malar atau sebutan bebas. Kuadratik datangnya daripada quadratus, iaitu perkataan Latin untuk "kuasa dua". Persamaan kuadratik boleh diselesaikan melalui pemfaktoran, melengkapkan kuasa dua, melukis graf, kaedah Newton dan menggunakan formula kuadratik. Satu kegunaan biasa persamaan kuadratik ialah mengira trajektori dalam gerakan lontaran.

Plot fungsi kuadratik nilai-nyata ax2 + bx + c, mengubah nilai setiap pekali secara berasingan

Rumus kuadratik[sunting | sunting sumber]

Satu persamaan kuadratik dengan pekali-pekali nyata atau kompleks mempunyai dua penyelesaian yang dipanggil punca. Dua penyelesaian ini mungkin atau mungkin tidak berbeza, dan mereka mungkin atau mungkin bukan nyata. Punca-puncanya diberikan oleh rumus kuadratik:

\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

di mana simbol "±" menunjukkan bahawa kedua-dua

\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} dan \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

adalah penyelesaiannya.

Pembeza Layan[sunting | sunting sumber]

Contoh tanda-tanda pembeza layan
<0: x2+12
=0: −43x2+43x13
>0: 32x2+12x43

Di dalam rumus di atas, ungkapan di dalam tanda punca kuasa dua dinamakan pembeza layan persamaan kuadratik, dan sering diwakili dengan menggunakan huruf besar Yunani Delta:

\Delta = b^2 - 4ac.\,

Satu persamaan kuadratik dengan pekali-pekali nyata boleh mempunyai satu atau dua punca nyata yang berbeza, atau dua punca kompleks yang bereza. Dalam kes ini, pembeza layan menentukan nombor dan sifat punca-punca itu. Terdapat tiga kes:

  • Sekiranya pembeza layan adalah positif, terdapat dua punca yang berbeza, di mana kedua-duanya adalah nombor nyata.
Untuk persamaan kuadratik dengan pekali-pekali integer, sekiranya pembeza layan adalah kuasa dua sempurna, maka punca-puncanya adalah nombor nisbah – dalam kes-kes yang lain, punca-punca itu mungkin adalah nombor kuadratik tak nisbah.
  • Sekiranya pembeza layan adalah sifar, terdapat hanya satu punca yang nyata, yang kadang-kala juga dipanggil punca-punca berganda:
 x = -\frac{b}{2a} . \,\!
  • Sekiranya pembeza layan adalah negative, tiada punca-punca nyata yang wujud. Sebaliknya, terdapat dua punca kompleks (tak nyata) yang berbeza, di mana mereka adalah konjugat kompleks antara satu sama lain:
\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} dan  \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a},
di mana i adalah unit khayalan.

Maka, punca-punca adalah berbeza jika dan hanya jika pembeza layan bukan sifar, dan punca-punca adalah nyata jika dan hanya jika pembeza layan adalah bukan negatif.

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Menggunakan Kalkulator (CASIO fx-570MS)[sunting | sunting sumber]

  1. 'ON' kalkulator
  2. Pilih (MODE) sehingga keluar pilihan EQN, tekan 1.
  3. Pilih Degree , tekan 2.
  4. Masukkan nilai a, b dan c.
  5. Dapatkan jawapan x1 dan x2 yang merupakan punca kepada persamaan kuadratik tersebut.

Geometri[sunting | sunting sumber]

Untuk fungsi kuadratik:
f (x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) dengan pemboleh ubah x yang nyata, koordinat-x titik-titik di mana graf bersilang dengan paksi-x, x = −1 and x = 2, adalah punca-punca persamaan kuadratik: x2x − 2 = 0.

Penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan kuadratik

ax^2+bx+c=0,\,

adalah juga pensifar-pensifar bagi fungsi kuadratik:

f(x) = ax^2+bx+c,\,

oleh sebab mereka adalah nilai-nilai x untuk

f(x) = 0.\,

If a, b, and c are real numbers and the domain of f is the set of real numbers, then the zeros of f are exactly the x-coordinates of the points where the graph touches the x-axis.

It follows from the above that, if the discriminant is positive, the graph touches the x-axis at two points, if zero, the graph touches at one point, and if negative, the graph does not touch the x-axis.

Quadratic factorization[sunting | sunting sumber]

The term

x - r\,

is a factor of the polynomial

ax^2+bx+c, \

if and only if r is a root of the quadratic equation

ax^2+bx+c=0. \

It follows from the quadratic formula that

ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right).

In the special case (b^2 = 4ac) where the quadratic has only one distinct root (i.e. the discriminant is zero), the quadratic polynomial can be factored as

ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2.\,\!

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Nota[sunting | sunting sumber]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  • Al-Dīnawarī, Abū Ḥanīfa. 820. Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala.
  • Stillwell, John, Mathematics and Its History, Springer; 2nd edition (January 27, 2004). ISBN 0-387-95336-1.

Pautan luar[sunting | sunting sumber]