Masa wajar

Dalam ilmu kerelatifan, masa wajar merupakan selang masa antara dua peristiwa seperti yang diukur oleh jam yang melalui kedua-dua peristiwa itu. Masa wajar bergantung bukan sahaja pada peristiwa-peristiwa berkenaan, bahkan juga pada pergerakan jam antara peristiwa-peristiwa itu. Jam yang dipecutkan akan menyukat selang masa yang lebih singkat antara dua peristiwa daripada yang disukat oleh jam yang tidak dipecutkan (inersia) antara dua peristiwa yang sama. Paradoks kembar merupakan satu contoh untuk kesan ini.

Garis menegak biru tua melambangkan pemerhati inersia yang menyukat selang masa koordinat t dari peristiwa E₁ hingga E₂. Garis lengkung merah melambangkan jam yang mengukur tempoh masa wajar τ antara kedua-dua peristiwa tersebut.

Dari segi ruang masa empat dimensi, masa wajar adalah bersamaan dengan kepanjangan arka dalam ruang tiga dimensi (Euclidan). Pada resamnya, masa wajar biasanya berlambangkan huruf Yunani τ (tau) untuk membezakannya daripada masa koordinat yang berlambangkan t atau T.

Berbanding dengan itu, masa koordinat adalah selang masa antara dua peristiwa seperti yang disukat oleh pemerhati yang jauh yang menggunakan cara tersendiri untuk menentukan masa pada peristiwa. Dalam kes istimewa yang mana pemerhati inersia dalam kerelatifan khas, masa itu diukur dengan menggunakan jam pemerhati dan definisi keserentakan bagi si pemerhati.

Konsep masa wajar diperkenalkan oleh Hermann Minkowski pada tahun 1908, bahkan merupakan ciri-ciri dalam gambarajah Minkowski.

Formalisme matematik

Definisi rasmi masa wajar melibatkan pemerian laluan melalui ruang masa yang mewakili sebuah jam, pemerhati, atau zarah ujian, dan struktur metrik ruang masa tersebut. Masa wajar merupakan kepanjangan arka pseudo-Riemannan bagi garis-garis dunia dalam ruang masa empat dimensi.

Dari sudut pandangan matematik, masa koordinat dianggap sudah sedia ditentukan, malah kita memerlukan ungkapan untuk masa wajar sebagai fungsi masa koordinat. Dari sudut pandangna eksperimentasi pula, masa wajar adalah sesuatu yang diukur dengan ujikaji, kemudian masa koordinat dihitung dari masa wajar beberapa jam yang inersia.

Dalam kerelatifan khas

Dalam kerelatifan khas, masa wajar boleh ditakrifkan seperti berikut:

$\tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt,$

yang mana v(t) adalah kelajuan koordinat pada masa koordinat t, sementara x, y, dan z merupakan koordinat ruang cartesan.

Jika ketiga-tiga t, x, y, dan z diparameterkan oleh parameter λ, maka ini boleh dirumuskan seperti berikut:

$\tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .$

Dalam bentuk kebezaan, ia boleh ditulis sebagai kamiran garis seperti berikut:

$\tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}},$

yang mana P merupakan laluan jam dalam ruang masa.

Untuk mempermudahnya lagi, dalam ilmu kerelatifan khas, pergerakan inersia adalah di mana koordinat-koordinat ruang bertukar pada kadar yang nalar seiringan dengan koordinat temporal. Maka persamaan masa wajar diringkaskan lagi kepada yang berikut:

$\Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},$

yang mana Δ bermaksud "perubahan" di antara dua peristiwa.

Persamaan-persamaan kerelatifan khas merupakan kes-kes istimewa bagi kes umum yang menyusul.

Dalam kerelatifan am

Dengan menggunakan kalkulus tensor, masa wajar diberi takrifan yang lebih ketat dalam ilmu kerelatifan am seperti berikut: Untuk ruang masa yang merupakan manifold Riemannan palsu yang dipetakan dengan sistem koordinat $x^{\mu }$ dan dilengkapi dengan tensor metrik $g_{\mu \nu }$ yang berpadanan, maka masa wajar $\tau \$ yang dialami dalam pergerakan antara dua peristiwa di sepanjang laluan seakan masa P dihitung dengan kamiran garis yang berikut:

$\tau =\int _{P}\,d\tau$

yang mana

$d\tau ={\sqrt {dx_{\mu }\;dx^{\mu }}}={\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.$

(Perhatian: kelaziman hasil tambah Einstein digunakan untuk rumus-rumus di atas. Ungkapan A_μB^μ adalah singkatan untuk A₀B⁰ + A₁B¹ + A₂B² + A₃B³, manakala μ dalam B^μ menandakan indeks, bukan kuasa.)